Itt található egy szerkesztés a PI pontos értékének megszerkesztéséről. Ami ugye lehetetlen. Viszont kijön ahogy méricskélem. Hozzászólásokat várok.
https://sway.office.com/sZHXV6dwhkECDv2W?ref=Link
Ez egy másik dimenzió. Mértéket kell választani a hossz és a szög esetén is. Fel kell venni mindkét egységet.
Egy szög szinusza a mértékegységtől független. Mert a szög az szög. De számszerű értéket különféle módon rendelhetünk hozzá, és ettől már különbözőek lesznek a trigonometrikus táblázatok.
pi m hosszú szakaszt síkban nem lehet szerkeszteni, de:
ha mondjuk egy 1 m átmérőjű hengerre felfektetsz egy rajzlapot, majd rajzolsz rá egy kört, akkor kiterítve a rajzlapot lesz rajta egy pi m hosszú egyenes szakasz
Azzal egyetértek, hogy a két terület egyezősége r-től független, de inkább úgy fogalmaznék, hogy ha felrajzolunk egy pl.: PI/6 szögű körcikket, akkor a görbe alatti rész és a csatolt háromszög egyenlővé tehető, ha találunk a dimenzionálisan különböző x-hez, amelyhez még r sem társítható az adott szögnél, ahogy írtad, egy olyan (e) szorzót, amellyel az rx*e=K, ahol K az x, e sugarú körívének kerülete. Az valóban zavaró, hogy erre is x-ként hivatkozok a szerkesztés során, ezért elnézést is kérek.
Mivel csak rx jön létre a szerkesztés során, ezért használom az r sugarat osztásra, mivel x önmagában egyenes szakaszként nem jöhet létre a szerkesztés során.
Ha az egység hosszúságú szakasz jól van megszerkesztve, akkor az r*x*e szakasz egy olyan ívhosszt kell megadjon, amely az x, tetszőlegesen felvett szög r sugárhoz tartozó köríve, azaz itt a k körív hossza. Ha pedig k=rx=4w,és k/r=x, akkor x egyeneskénmt is megszerkeszthető, de csak ebben az esetben, tehát kell egy egységszakasz amellyel a dimenzionálisan különböző (görbe,egyenes) alatti területeket azonos területegységszámmal látjuk. A k körív alatti terület ugyanis (r^2*PI)/4 ebben az esetben, amelyből a PI nem ismert, és ezért r^2 -et szoroznunk kell egy olyan számmal, amely egy olyan téglalapot határoz meg, hogy (r^2*PI)/4 legyen a vizsgált és e a mellette fekvő oldala, valamint ez a terület egyezzen ar rw és e oldalakkal rendelkező csatolt háromszögnél kalkulálható területtel.
Szóvel a körcikket PI/6-tal, és tetszőleges r sugárral felrajzolva, egy nem a célnak megfelelő körcikket kapunk, de ha ebből megszerkesztjük a megfelelő (e) egységszakaszt, akkor az x-szög nem csak 108 fok körüli lehet. Egyben ha PI/6-nál valóban nincs ilyen szög, akkor PI/12,PI/24 is szerkeszthető, ott már biztos van megoldás.
Az x szöget vegyük fel önkényesen (Pl.: PI/6), és határozzuk meg hozzá az r-et oly módon, hogy r^2/2*(x-sin(x))=rw, azaz a görbe alatti és a sík alatti terület azonos legyen
Ha x = pi/6, akkor ilyen r nincs.
Az említett két terület egyenlősége r-től független, x-től viszont (sőt, csak attól) függ. Ha x=sin(x), ahonnan x = 1,895494267 (kb.), azaz kb. 108,6°, akkor a két terület egyenlő, r-től függetlenül; ha x az előbbi értékkel nem egyenlő, akkor a két terület nem egyenlő, r-től függetlenül.
Nem mellékesen a jelzett szög, lévén tompaszög, derékszögű háromszögnek nem lehet szöge, ami a további ábrákat értelmezhetetlenné teszi.
Csak annyit fűznék hozzá, hogy a PI egységszakaszból kiindulva bizonyosan nem szerkeszthető, de itt visszafelé gondolkodjunk. Felveszünk egy tetszőleges szakaszt, és elnevezzük PI-nek, ebből próbáljuk meg a hozzá tartozó (e) egységszakaszt megszerkeszteni, mivel PI/e=PI, azaz e úgy kell az (e) egységhez viszonyúljon, mint PI arányszám az (e)-hez. Az x szöget vegyük fel önkényesen (Pl.: PI/6), és határozzuk meg hozzá az r-et oly módon, hogy r^2/2*(x-sin(x))=rw, azaz a görbe alatti és a sík alatti terület azonos legyen. Ekkor w=rx/4 lesz, amit ha van megfelelő egységszakaszunk, akkor geometriailag le tudunk osztani r-el, így megkapjuk hosszként az x=PI/6-ot, amit ugye csak szorozni kell 6-tal, hogy PI legyen belőle.
Ha a két részterület egyenlő, akkor áll fönn az x=2sin(x) egyenlőség, amit ugyan egységszakasz nélkül nem tudunk szerkeszteni, de az r-szeresét igen, mivel w=rx/4 és 4w=rsin(x). Így ebben az esetben Tehát ha megvan az x, önkényesen felvéve, mint szög, akkor a szög egységsugárral megrajzolt ívét rx/r=4w/r képlettel kapjuk meg. Ehhez az osztáshoz kell egy egységszakasz a geometriában, és ez az egységszakasz jön létre, ha minden jól megy a PI befogójú és x szemköszti szöggel rendelkező derékszögú háromszög átfogójának felosztásakor, amely x=PI/6 esetén 6 részre osztandó, és egy ilyen rész lesz az (e) egység.
Így talán érthetőbb. Arra vagyok kíváncsi, hogy az egységszakasz jól van-e megszerkesztve. Ez még nem derült ki eddig, de úgy látom most kezdődnek a legértékesebb hozzászólások, még várom őket, ha bebizonyosodik, hogy rossz a szerkesztés, igérem, hogy többet nem foglalkozom ilyesmivel, de még ez nem történt meg, és én nem találom a hibát a levezetésben.
van ugyan értelme az x-sin(x) kifejezésnek (feltéve, hogy definiáljuk: fokban, vagy radiánban értjük), és simán vizsgálhatunk egy ilyen függvényt, de akkor felejtsük el a geometriát
Azért ez nem ennyire magától értetődő.
Először is, az x-sin(x) kifejezésben az x-et teljesen egyértelműen radiánban (vagyis dimenzió nélkül mértékegységben) értjük, ugyanis abból egy szögfüggvényt, mint dimenzió nélküli mennyiséget, csak ekkor van értelme kivonni. Mint ilyet, a mértékegységet nem is kell kiírnunk (a fokot, az újfokot stb. kötelezően ki kellene írni, túl azon, hogy azokból csak fokot, újfokot lenne értelme kivonni).
Másodszor: a geometriát ehhez nem kell elfelejteni, sőt. A gépészetben leggyakrabban használt fogaskerék-fogprofilnak, a körevolvensnek számításaiban használjuk pl. az involut függvényt, amelyre definíciószerűen inv(x) = tg(x)-x. A dolog a körevolvens származtatásával függ össze.
Vagy például a közönséges ciklois paraméteres egyenletrendszere lehet x = r(t-sin(t)); y = r(1-cos(t)) ... satöbbi.
"Az α komplex számot algebrai számnak nevezzük, ha gyöke valamely nemzéró racionális-egyutthatós polinomnak. A nem algebrai számokat transzcendens számoknak nevezzük."
Átfogalmazva (nem túl pontosan) a transzendens számok nem lehetnek algebrai egyenletek (azaz csak négy alapműveletet tartalmazó egyenletek) gyökei, de természetesen létezik olyan (nem-algebrai) egyenlet, aminek a pi gyöke, pl. x=2*arcsin(1).
A (körzővel és vonalzóval elvégezhető, azaz euklideszi) szerkeszthetőséghez még szigorúbb feltétel tartozik: a szerkesztéssel keresett mennyiséghez vezető egyenlet csak algebrai, de azon belül is legfeljebb másodfokú egyenlet lehet. (Lásd a szögharmadolás és a kocka-megkettőzés ókori problémáit, amelyek harmadfokú egyenletre vezetnek, és így megoldhatatlanok).
Nekem is az az első benyomásom (most, hogy olvasni is tudom), hogy a hátam is borsódzik amikor az x hol szögként, hol hosszként jelenik meg. Egyébként is az ábrán először ki kell találni, hogy szögként az x hova tartozik. Matematikailag van ugyan értelme az x-sin(x) kifejezésnek (feltéve, hogy definiáljuk: fokban, vagy radiánban értjük), és simán vizsgálhatunk egy ilyen függvényt, de akkor felejtsük el a geometriát. Ha pedig geometriai úton gondolkozunk, akkor adjuk meg azt, hogy miként alakul át az x (pl. radiánban) valamiféle hosszúsággá. Enélkül egy másodpercig sem érdemes tovább haladni.
Egyébként is helyenként csak sejtjük, hogy hol vannak derékszögek, és ha csupán emlékeznünk kell rá (mert úgy néznek ki), akkor téveszthetünk. Ilyen vizuális tévedés történik egyébként annál a feladatnál is amelyre céloztam az előző HSZ-ban (a látszat ott ugyanis nem egyezik a valósággal, bár az "egyenlő szárúság" bizonyítása helyes lenne).
Én ott vagyok letapadva, hogy az a szög, amelyre teljesülnie kell az x = 2sinx egyenlőségnek, hogyan lehet tetszőlegesen felvéve. Ezzel az erővel vegyünk fel egy szakaszt és nevezzük ki pi-nek; pipa, lehet hazamenni.
Egyelőre annyit értek, hogy egy derékszögű háromszög átfogója r, az átfogón lévő két szög x és q. (A továbbiakban talán legyen a háromszög ABC, AC=r az átfogó, A-nál legyen x és C-nél q szög.)
Ezt nem értem. Hogyan jelenne meg pi pontos értéke? Számos algoritmus ismert, melyekkel akármeddig kiszámítható. Mostanáig már több, mint 62 billió számjegyét számolták ki. Ha ezt papíron tárolnák, akkor annyi könyv kéne hozzá, amennyi ma Magyarországon van.
Tartok tőle, hogy a csillagászoknak az eddig ismert módszerek és pontosság bőven megfelelnek. A pi értékét elmondhatatlanul pontosabban ismerjük, mint a legkutatottabb légköri vagy csillagközi anomáliákat, amik így sokkal nagyobb zavarokat okozhatnak. (A csoda határait és esélyét nem is firtatnám ... kevés vagyok én ahhoz.)
Valamint ha csodával határos módon mégis jó lenne ez a szerkesztés, akkor meghatározható lenne PI pontos értéke is koordinátageometriai módszerekkel akár. Ez nagy pontosságnövekedést jelentene a csillagászatban pl. meg még ki tudja felsorolni hány helyen.
A kép élességével semmi baj (nálam tűéles); talán a böngésződ akar túl okos lenni és 10 bájtos adattakarékos méretben letölteni. (Más kérdés, hogy a törtvonalak vastagsága a betűméret nagyságrendjébe esik, ami igencsak zavaró.)
A Collatz-sejtéses bekezdéseddel nem értek egyet. Egyrészt egyáltalán nem vagyok meggyőződve arról, hogy "nem foglalkozik vele már senki", másrészt az egy megoldatlan, de nem bizonyítottan megoldhatatlan probléma, szemben a kör négyzögesítésével. Másrészt, bár maga a sejtés tartalma talán nem túl gyakorlati, mégis - mint szinte minden megoldatlan probléma esetén - a megoldásához vezető út rengeteg új tételt, elvet, módszert, egyéb eredményt hozhat. A matematika sehol se tartana, ha minden matematikus csak odáig ment volna, hogy az éppen előtte lévő problémát oldja meg. (pláne, ha még azt se, mert "semmi gyakorlati értéke".)
Ja, félreértés ne essék, a kör szerintem sem négyszögesíthető (körzős-vonalzós szerkesztéssel), szóval azon tényleg kár rugózni. Ennek megfelelően a többi mondandóddal bizony egyetértek.
1. A kép számomra homályosan jelenik meg, így nem tudom értelmezni. Ha valakinek van módszere arra, hogy élesen, és jól olvashatóan legyen látható, akkor kérem segítsen.
2. "jó-e a szerkesztés":
Egy szerkesztés lehet látszólag jó, és a bizonyítás korrekt (de itt pl. megkérdőjelezték a körző és vonalzó korrekt használatát!), ám mégis lehet benne csalás. Én simán fel tudnék dobni egy olyan skiccet, amellyel teljesen korrekt módon bebizonyítom, hogy minden háromszög egyenlő szárú, azaz végül is egyenlő oldalú, bár ez az állítás természetesen hamis.
3. Érdemes-e ezzel foglalkozni? Régebben (lehet, hogy mostanában is) számos olyan bizonygatás jelent meg itt az index fórumán is, hogy létezik örökmozgó ami - köztudomásúan - ugyancsak lehetetlen. Aztán arra akarta rávenni a fórumtársakat, hogy fecséreljék el az idejüket, és találják meg benne a hibát. Amellett, hogy a mai korban, amikor a növekvő és egyre csak súlyosbodó szakemberhiánnyal küzd az egész világ, és sokan nemsokára nem a szakmájukban, hanem más területeken kell, hogy felkészültségük használatával teljesítsenek az emberiség túlélése érdekében, egy ilyenfajta felhívást elvtelennek tartok, feltéve ha tudatosan éppen az lenne a burkolt célja, hogy ennek ellenében tevékenykedjen. Remélem, és bízom benne, hogy nem erről van szó, hanem csupán a világ dolgaiban való tájékozatlanságáról.
4. Pl. a Collatz sejtéssel sem foglakozik már senki, bár volt hogy egy egyetem hosszú napokra teljesen leállt miatta (a vicc szerint a feladat megfogalmazásával a matematika haladásának leállítása volt a cél). Valamikor egy fórumtársunk - talán az örökmozgókkal kapcsolatban - azt írta, hogy szentelhetnénk akár évekre, hónapokra való időt azzal, hogy a fából készült szekér kerekének szétesését modellezzük rögös úton, és még eredményt is érhetnénk el, de minek?
5. Személy szerint úgy gondolom, hogy ha valaki olyan felkészültnek tartja magát, hogy egy ilyen probléma kipattan az agyából, és a nagyszerű megoldásával ezt az önmagáról alkotott véleményt tudatni akarja mindenkivel, akkor ezt a képességét kamatoztassa inkább azzal, hogy saját maga próbálja megtalálni benne a hibát, ha kételkedik állítása helyességében. Vagy pedig törődjön bele, hogy valahol valami nem stimmel, és engedje el az egészet. A mai világunkban az egyik fő probléma éppen az, hogy milliók (sőt százmilliók) szenvednek attól, hogy van valamilyen lényegtelen problémájuk, amelyet saját maguknak felnagyítanak, és képtelenek azt elengedni, s olyan dolgokkal törődni helyette, amelyek sokkal fontosabbak az életben.
