Ezt nem értem, segítsetek, légy szíves! Keresem F(z) függvényt, amiről két dolgot tudok, egyrészt: dF/dz = -1 / (1 + z^2), továbbá lim {z -> végtelen} F(z) = 0. Van tehát egy határozatlan integrál, amiben az integrációs konstansot a végtelenben vett határértékből számoltam ki. Nekem F(z) = pi/2 - arctg(z) jött ki, a WolframAlpha szerint pedig F(z) = arctg(1/z). Mindkettő jó megoldás, mert ha deriválom, mindkét esetben visszakapom a dF/dz = -1/(1+z^2) függvényt, és mindkettő a végtelenben valóban 0 lesz. Pedig ez két különböző függvény! De ha úgy veszem, ez a feladat egy elsőrendű, közönséges, állandó együtthatós inhomogén diff.egyenlet, amihez van egy mellékfeltétel (talán ez okozza a galibát, hogy a végtelenben van a ''kezdőfeltétel'' és amiatt nem egyértelmű a megoldás)? Márpedig a lineáris elsőrendű közönséges állandó együtthatós differenciálegyenlet egyetlen kezdőfeltétellel egyértelmű megoldást kellene adjon.
Igen, foglalkozott a pakolással, de a neve helyesen Coxeter. A MathSciNet-ben 12 cikket találtam a neve alatt, aminek a címében vagy az összefoglalójában előfordul a "packing" szó. Pl.:
Coxeter, H. S. M.; Few, L.; Rogers, C. A. Covering space with equal spheres. Mathematika 6 (1959), 147–157.
Találtam egy nagyon jó könyvet a témáról: George G. Szpiro: Keplers conjecture : how some of the greatest minds in history helped solve one of the oldest math problems in the world John Wiley & Sons Inc; First Edition (January 1, 2003)
A könyv a 68-tól a 73. oldalig nagyon részletesen elmagyarázza Fejes bizonyítását, sok ábrával. Nagyon élvezetes olvasmány, és nem csak ez a része. Életrajzi adatokat, anekdotákat is tartalmaz, valamint néhány szurkáló megjegyzést is, pl. ezt:
A matematikai cikkekről köztudott, hogy nem éppen a figyelemfelkeltő címeikről híresek, de még ebben a savanyú választékban is Fejes-Tóth választása kétségtelenül telitalálat. A német nyelven írt cikk egy Thue cikkére emlékeztető címet viselt: Über einen geometrischen Satz (Egy geometriai tételről). Ez garantáltan nem keltett különösebb érdeklődést. Felületesen úgy tűnik, hogy a tételnek semmi köze a körpakolásokhoz.
Igen. Feltehetjük, hogy adott m-re az n maximális. Ez azért jó, mert akkor ha m tart a végtelenbe, akkor n tart a végtelenbe, és viszont. Az mxm-es négyzetet kicsinyítsük le 1x1-es négyzetre, ami által az n pont közötti minimális távolság legalább 2/m lesz. A cikkbeli tétel szerint ha n tart a végtelenbe (tehát ha m tart a végtelenbe), akkor
Többek között azt igazolja itt Fejes Tóth, hogy ha m tart a végtelenbe, akkor egy mxm-es négyzetben legfeljebb m2(1/gyök(12)+o(1)) pont adható meg úgy, hogy bármely kettő távolsága legalább 2 legyen.
De explicite ezt nem mondja ki, és ha ezt nem írtad volna itt le, akkor magamtól rá sem jöttem volna, hogy amit ír, az ezt jelenti. Kösz!
Erről a cikkről van szó: L. Fejes Tóth: Über einen geometrischen Satz, Math. Z. 46 (1940), 83-85.
A cikket megtalálod itt. Többek között azt igazolja itt Fejes Tóth, hogy ha m tart a végtelenbe, akkor egy mxm-es négyzetben legfeljebb m2(1/gyök(12)+o(1)) pont adható meg úgy, hogy bármely kettő távolsága legalább 2 legyen.
Ja, egyébként azért akartam megkeresni Fejes Tóth cikkét, mert kíváncsi voltam, hogy Bodnár vajon azt a bizonyítást írta itt le, vagy valaki másét, esetleg saját eredménye ez a bizonyítás. Tudja ezt valaki? Ha saját bizonyítása, akkor miért nem publikálta rendesen? Ha másé, akkor kié?
Mi ez a cikk szerinted? Én rendkívül kaotikusnak látom az erre a bizonyításra való hivatkozásokat, van aki 1940-es cikket emleget, de nem mondja meg, hogy pontosan mi ez a cikk, van aki 1943-asra hivatkozik, de az a cikk nem körökkel, hanem gömbökkel foglalkozik (Über die dichteste Kugellagerung) , valójában pedig szerintem egy 1949-es cikkről van szó, Über dichteste Kreislagerung und diinnste Kreisiiberdeckung, legalábbis ebben körökről van szó, és ez az egyetlen cikke, amiben szerepel Thue neve is, akinek a bizonyítását pontosította. De mindegyik cikk németül van, és nem tudom egyszerűen megállapítani, hogy pontosan miről szólnak.
"Raj- zoljunk be egy kicsivel nagyobb segédkört, mely éppen akkora, hogy az eredeti kör köré írható szabályos hatszöget is magába foglalja. A területeket három részre fogjuk bontani (A), B) és C)), és mindegyikről külön-külön belátjuk, hogy ott a területek aránya legfeljebb a megsej- tett optimális (kb. 0,9)."
Az ábrát jobban megnézve, gondolom az hiányik, hogy "zoljuk bele az ábrába a pakolt fekete kör köré írt hatszög köré írt kört. Ez lesz az ábrán a nagyobbik kör"
Sajnos valami szedési hiba van a könyvben, vélhetően az, hogy ezen a helyen a kép eltakarja a szöveget, amiből kiderülne, hogy mi az a kisebb ls nagyobb kör, amiről a kép alatt beszél.
Köszönöm a cikkekeket! Időközben találtam egy olyan cikket is erről a problémáról, ami az én szintemhez közelebb áll, mint ezek. Ide teszem ennek is a linkjét, hátha mást is érdekel: Bodnár József: Kepler narancsai
Úgy értettem, hogy normális esetben a doboz oldalai a golyók átmérőjének az egész számú többszörösei, ez pedig kirívó eset, ahol bejön a gyök2-es szorzó.
Én fordítva látom. A legtöbb doboz esetében legalább az egyik oldal nem az átmérő egész számú többszöröse.
Ha jól értem, akkor a próbálkozás az a prímszámok kereséséhez hasonló megoldás, definiálni számtani sorozatokat és a kapott összegeket sorba rendezve megnézni, mely számok tartoznak több sorozatba, és azok a problémásak, amelyek csak a egysorosba tartoznak.
Nem így szoktunk prímszámokat keresni. Számelmélészként azt is elmondhatom, hogy nem látok kapcsolatot a dobozok és a prímszámok keresése között.
Bár ilyen programot se ismerek, talán python programozót kell rá keresni?
A programozó majd eldönti, hogy milyen nyelvet használ a feladatra. A feladatnak van egy elméleti és egy gyakorlati része. Először ki kell találni egy algoritmust (ez matek), majd le kell programozni.
Úgy értettem, hogy normális esetben a doboz oldalai a golyók átmérőjének az egész számú többszörösei, ez pedig kirívó eset, ahol bejön a gyök2-es szorzó.
Ha jól értem, akkor a próbálkozás az a prímszámok kereséséhez hasonló megoldás, definiálni számtani sorozatokat és a kapott összegeket sorba rendezve megnézni, mely számok tartoznak több sorozatba, és azok a problémásak, amelyek csak a egysorosba tartoznak.
Vagy inkább az általános iskolai halmazok keresési feladat, hogy mely számok tartoznak több részhalmazba, hiszen csak százig kell számolni?
Bár ilyen programot se ismerek, talán python programozót kell rá keresni?
Az 5db esetében csak egy megoldás van, a 2x2 és középen az egy, gyök 2 a magasság.
Nem tudom, hogy a gyök 2 hogy jött ki neked. Ha 5 db r sugarú golyót elhelyezel a megadott módon, akkor a befoglaló doboz élei 4r, 4r, (1+gyök(2))r.
Az sem igaz, hogy csak egy megoldás van, pl. lerakhatsz 3 golyót egy síkba úgy, hogy páronként érintsék egymást, és utána fölé és alá is rakhatsz 1-1 golyót, amik mind érintik az előző 3-at. Ez az 5 golyós konstelláció berakható egy merev dobozba (nem karton) úgy, hogy a golyók ne tudjanak elmozdulni.
Hasonlóan, 4 golyó is elrendezhető úgy, hogy mindegyik érintse az összes többit (szabályos tetraéderes elrendezés), ami pedig berakható egy merev dobozba.
A golyók darabszáma alapján kell megtalálni, hogy milyen dobozméret alternatívák vannak pl. 30-100db golyónál.
Nem hiszem, hogy erre lenne egyszerű képlet. Inkább számítógépes programmal próbálkoznék, de úgy se tűnik egyszerűnek. A "próbálkoznék" alatt azt értem, hogy ilyen megoldási utat javaslok, nem pedig papíron számolósat.
A gömbpakolás azt jelenti (definíció szerint, bármely dimenzióban), hogy a (közép)pontokat egymástól páronként legalább 2 távolságra kell elhelyezni. Tehát van ez a távolsági feltétel, és a kérdés az, hogy ez milyen sűrűséget enged meg a (közép)pontokra.
A síkon ez a probléma jóval egyszerűbb, mint magasabb dimenzióban. A síkra rácsszerű elrendezést feltételezve Lagrange (1773) adta az első bizonyítást, általános elrendezésre pedig Fejes Tóth (1943). A 3-dimenziós térre rácsszerű elrendezést feltételezve Gauss (1831) adta az első bizonyítást, általános elrendezésre pedig Hales (1998). A sík esetére egy rövid bizonyítást találsz itt, de nem tudom, hogy helyes-e (nem találtam meg lektorált folyóiratban). Javaslom ennek a cikknek a tanulmányozását.
A doboz nagyságán a formák közti különbségre gondoltam.
A feltétel az, hogy a golyók ne mozduljanak el a dobozban.
A legegyszerűbb az egy soros megoldás, ott a hossz a korlát.
Ugyanez mehet 2-3-4-stb sorossal is, adódik, hogy 2-3-4-stb. számsorra érvényes.
Az 5db esetében csak egy megoldás van, a 2x2 és középen az egy, gyök 2 a magasság.
7db-nál is csak egy megoldás van, az egy soros.
8db-nál jön be elsőként a sok alternatíva, lehet 1, 2 vagy 4 soros is, vagy 4x2 emeletes, sőt 2sorosnál 3x2 és a 2 maradék középre, ismét gyök 2 a magasság.
A golyók darabszáma alapján kell megtalálni, hogy milyen dobozméret alternatívák vannak pl. 30-100db golyónál.
