Egy Dirichlet-sor inverz Mellin-transzformáltja az x (nemegész) változóban azt adja meg, hogy az együtthatóknak mennyi az összege x-ig. Az inverz Mellin-transzformált két apróság erejéig a Fourier-transzformált (miután a függvényt egy alkalmas függőleges egyenesre megszorítottuk). Lásd Perron-formula.
Példák. A zeta(s) inverz Mellin-transzformáltja az egészrész függvény, a -zeta'(s)/zeta(s) inverz Mellin-transzformáltja a prímhatványokat számláló (második) Csebisev-függvény.
Köszönöm, hogy megnézted. Ezek szerint a megoldás magasabb matematikai eszközöket használ. Nem meglepő, hogy nem kaptam rá megoldást, és az sem, hogy nem tudtam kihozni a ,,szokásos'' módszerekkel.
Az egyenlet visszavezethető a Mordell-egyenlet speciális eseteire (aminek kiterjedt irodalma van), és ebből kiderül, hogy a jelzett három megoldás az összes megoldás.
1. Ha x páros, akkor az egyenlet átírható mint
(2x/2)2 = y3 + 24.
A fenti linken található táblázat szerint az (y,2x/2) pár az alábbiak valamelyike: (−2,4), (1,5), (10,32), (8158,736844). Tehát igazából (y,2x/2)=(−2,4) vagy (y,2x/2)=(10,32), azaz (y,x)=(-2,4) vagy (y,x)=(10,10).
2. Ha x páratlan, akkor x>=3, és az egyenlet átírható mint
(2(x-3)/2)2 = (y/2)3 + 3.
A fenti linken található táblázat szerint az (y/2,2(x-3)/2)=(1,2), azaz (y,x)=(2,5).
Egy kis segítséget szeretnék kérni. Az egyik internetes oldalon találkoztam az alábbi feladattal:
Oldjuk meg az egyenletet az egész számok körében: 2^x=y^3+24.
Először arra gondoltam, hogy a 24 egy elírás lehet, és az valójában 27, mert akkor a jobb oldal szorzattá alakítható, így a feladat lényegesen egyszerűbb lenne. Aztán néhányan beírtak három megoldást, (4;-2); (5;2) és (10;10),de teljes megoldást/levezetést senki nem írt. Tudna ebben nekem valaki segíteni?
(Az oldal nem profi matematikusoknak szól, ezért az is lehet, hogy a kitűző arra gondolt, hogy ezeket a megoldásokat kell megtalálni. Engem a bizonyítás érdekelne, hogy nincs több megoldás, vagy az, hogy esetleg van még további, akár végtelen sok megoldás.)
Pontos sejtésünk van arról, hogy aszimptotikusan hány megoldása van egy adott lineáris egyenletrendszernek prím változókban. Továbbá ehhez a pontos sejtéshez többféle heurisztikus úton el lehet jutni, ill. sokféle egyenletrendszerre be is lehet bizonyítani. Tehát jó okkal hiszünk benne.
A Goldbach- és Polignac-sejtések az említett általános sejtésnek speciális esetei. Furcsa lenne, ha az egyik igaz lenne, a másik pedig nem. Azt mindenesetre tudjuk, hogy végtelen sok olyan páros szám van, ami két prím különbségeként végtelen sokszor előáll. Továbbá tudjuk, hogy 2 és 246 között van ilyen páros szám, ill. a páros számok egy pozitív sűrűségű része ilyen.
Ez az összes olyan egész megoldás, amiben b nem nulla. Lássuk, miért. Irjuk át az egyenletet a következő alakba (nemnulla b esetén):
(ln c)/(ln d) = a1/b.
A két oldal közös értékét jelölje k. A jobb oldal miatt k algebrai egész, és azt kell belátnunk, hogy k (közönséges pozitív) egész. Tegyük fel, hogy k nem egész. Ekkor k irracionális algebrai szám, vagyis Gelfond és Schneider egy 1934-es tétele miatt dk transzcendens. Ugyanakkor dk=c egész, ami ellentmondás.
Azt gyanítom k-nak egésznek kell lenni. Ha k racionális tört akkor annak a béedik hatványa is racionális tört, ha viszont például k gyök 2 lenne, akkor úgy sejtem a c nem lesz egész. Nem egész k esetén vagy az a,b lehet egész vagy a c,d
