[Eukleidész] "Egyiptom királyának (Ptolemaiosz) kérdésére, hogy van-e valami könnyebb módszer a geometria elsajátításához, mint az Elemek áttanulmányozása, így felelt: „A geometriához nem vezet királyi út.”" (https://hu.wikipedia.org/wiki/Eukleid%C3%A9sz_(matematikus))
Legyen akkor itt egy matematikafilozófiai kérdés nektek: a profeszionális matematikusok általában specializálódnak a matematika valamely szűk szakterületére . Ez nem baj, de hogyan lehet a matematika egészét felölelni-megragadni, de nem úgy ahogyan a Wikipédia is teszi, mert ő az egyszerűbb magyarázat helyet, amit az átlag érdeklődő is megérthetne, e helyet agyon-túl formalizálja a cikkeinek a matematikai tartalmát ?
Úgy tudom, hogy ha adott pl. egy elektron, akkor ennek az elektronnak egyszerre nem lehet meghatározni a helyzetét és a sebességét tökéletes pontossággal. De ettől még (na itt jön, amiről aztán tényleg csak nagyon felületes ismereteim vannak, nagyon lehet, hogy hülyeséget mondok) értelmezhető az elektron helyzete és sebessége, és létezik a helyzet és a sebesség
Az elektron helyzete és sebessége nem értelmezhető, amíg meg nem mérik. A fizikai mennyiségeket önadjungált (hermitikus) operátorok jelenítik meg. Ezek sajátértékei mindig valós számok, és ezek azok amiket aztán mérési eredménynek nevezünk. Vagyis amíg meg nem mérjük, addig egy csomó lehetséges érték van csak, és a mérés során ezek valamelyike jelenik meg bizonyos valószínűséggel. Szabad részecskénél ez lehet folytonos, kötöttnél meg diszkrét értékek (pl. ezért létezhet spektrumanalízis).
A Bell egyenlőtlenségre alapozva kísérleti bizonyíték van arra, hogy nincsenek rejtett paraméterek, vagyis titokban sem tudja a részecske saját maga sem hogy melyik konkrét állapotban van.
"értelmezhető az elektron helyzete és sebessége, és létezik a helyzet és a sebesség."
Próbáld csak meg egy alapállapotú hidrogénatomban - hogy lesz s (vagy akármilyen más) orbitálod? Ha úgy képzeled, hogy az elektron gombolyag alakú határozott pályán mozog, akkor meg az erőtörvényről nem tudsz számod adni.
Úgy tudom, hogy ha adott pl. egy elektron, akkor ennek az elektronnak egyszerre nem lehet meghatározni a helyzetét és a sebességét tökéletes pontossággal. De ettől még (na itt jön, amiről aztán tényleg csak nagyon felületes ismereteim vannak, nagyon lehet, hogy hülyeséget mondok) értelmezhető az elektron helyzete és sebessége, és létezik a helyzet és a sebesség. (Talán ezt hívják realizmusnak.)
Lehet, hogy az igazság is csak történeti jelentőségű fogalom és valami mással kell helyettesíteni. Mindenesetre ha hiszünk egy teljesen objektív valóságban (akár szellemi, akár fizikai valóság), szerintem szükség van az igazság fogalmára.
A filozófia szerintem már régen elvetette az igazság fogalmát, ők is úgy látták, ahogyan te.
Kicsit átgondoltam, és elbizonytalanodtam Occam-ot illetően. Mert akkor pl. a párhuzamossági axiómára is ezt lehetne mondani, azt pedig mégse mondhatom, hogy az euklideszi geometriával nem vagyunk előbbre.
Könnyen lehet, hogy az, hogy a matematikát elsősorban a fizikai, technikai használhatósága miatt tanultam, eltorzította valamennyire a szemléletemet. Fizikában az a szokás, hogy ha egy jellemzőt sehogy se lehet meghatározni, akkor arra célszerű gyanakodni, hogy nem jól választottuk meg azt a jellemzőt, talán máshogy, más paraméterekkel kellene jellemezni az objektumot.
Kicsit így vagyok ezzel az igaz/hamis szembeállítással is. Mintha ezt nem lenne célszerű mindig létező két állapotú, egybites mennyiségnek definiálni, aztán utólag hozzátoldani, hogy néha elvileg se lehet meghatározni hogy melyik. Persze ettől még megtehető, csak arra lehet gyanakodni, hogy nem a jó jellemzőt sikerült definiálni.
Meg Occam borotvája is eszembe jut róla. Mintha felvennénk egy plusz axiómát (valójában igaz az, csak elvileg se bizonyítható). Mivel vagyunk ettől előrébb?
Az igazság (feltételezzük, hogy az absztrakt univerzumunkban létezik) és a bizonyíthatóság (a dedukció) nem esik egybe, azaz a bizonyíthatóság nem elegendő minden, a nyelvben megfogalmazható állítás igazságának eldöntésére. A nemteljességi tételek nem azt mondják, hogy nem létezik igazság.
Azt már mi döntjük el, hogy formalisták vagyunk (nem foglalkozunk igazsággal),
vagy platonisták vagyunk (elhisszük, hogy létezik igazság, de azt sohasem fogjuk megismerni).
A logika negatív tételei alapján (pl. nemteljességi tételek) tudjuk, hogy sohasem fogjuk tudni deduktívan megragadni ezt az absztrakt univerzumot, de feltesszük, hogy létezik.
Szerintem a nem teljességi tétel nem azt mondja hogy nem tudunk megragadni valami létezőt, hanem azt, hogy nincs olyan, nem létezik.
A következő hozzászólás inkább matematikafilozófiai, mintsem metamatematikai.
Még régebben ebben a topicban valami olyasmit mondtam, hogy a matematika a formális szimbólumok tudománya. Akkor az volt az érvem, hogy a matematika alapjai körbenforgóak; amikor mondjuk az igazság fogalmát szeretnénk definiálni, akkor használunk valamilyen meta-igazság fogalmat. Ezt a problémát meg tudjuk kerülni úgy, hogy egyszerűen nem tulajdonítunk jelentést a formuláinknak, csupán szimbólumokkal operálunk, betűket írunk papírra bizonyos szabályok szerint. Ekkor az igazság fogalma fel sem merül a rendszerben (csupán a metarendszerben). Az akkori álláspontomat tartom annyiban, hogy tudományos keretet a formális szimbolika ad a matematikának.
Lehetséges azonban egy másik feloldás is, mégpedig a matematikai platonizmus. Ez körülbelül azt jelenti, mint a filozófiai platonizmus csak matematikai objektumokra vonatkozóan. Azaz elhisszük, hogy létezik egy absztrakt matematikai univerzum, amelyben minden állítás vagy igaz, vagy hamis, és ez az univerzum az alapstruktúrája minden matematikai gondolkodásnak. A logika negatív tételei alapján (pl. nemteljességi tételek) tudjuk, hogy sohasem fogjuk tudni deduktívan megragadni ezt az absztrakt univerzumot, de feltesszük, hogy létezik. Ekkor feltesszük azt is pl., hogy a kontinuum-hipotézis vagy igaz, vagy hamis, csak a mi axiómarendszerünk alkalmatlan ennek a ténynek az eldöntésére. A formális megközelítésben a kontinuum-hipotézis sosem kerül elő, mint bizonyítható vagy cáfolható állítás, és így mondhatnánk azt, hogy értelmetlenség a kontinuum-hipotézisről beszélni. (Persze ha ZFC berkeiben maradunk)
Platonistaként jelentést tulajdonítunk a formuláknak és az intuíciónk ad támpontot az állítások igazságának megítélésére. Bízunk benne, hogy az intuitív gondolkodásunknak szigorú szimbolikus, formális keretet adhatunk, és erre a logika pozitív tételei adhatnak okot (teljességi tétel). A mai matematikusok túlnyomó többsége platonista. Gödel is az volt.
De ha már intuícióról beszélünk. Az intuíciónk sem adhat támpontot bárminek az eldöntésére, és erre épül az intuicionista matematikafilozófia, de ez már más téma.
Szóval ha kicsit érdekel a téma (bárkit), nyugodtan írd le, mi a véleményed erről. Érdemes hinni egy olyan absztrakt univerzumban, amit sohasem tudunk megismerni, vagy inkább érdemes arra koncentrálni, amit el tudunk érni (és bizonyítani tudunk), ezzel feladva olyan alapvető fogalmakat, mint pl. az igazság?
Adott egy R kétváltozós predikátum. Másodrendű logikában hogyan formalizálnátok azt az állítást, hogy az "a" elemből kiindulva az R predikátum iterálásával megkaphatjuk a "b" elemet, azaz létezik olyan a=a_{1}, ... ,a_{n}=b sorozat, amelyre bármely i-re R(a_i,a_{i+1})
Amint lxt írta, a nullával történő osztás (konstruált) érvénytelensége az az elméletkör, ami leírja a lenti problémákat.
**1{=#1" egy kimagaslóan nehéz probléma. Ha valaki bebizonyítaná, következne belőle az összes milleniumi probléma megoldása. Nem hiszem, hogy valaki még az évezredben megoldhatná.
Amikor a matematika, a művészet és a zsenialitás találkozik, a keletkező szellemi atomvillanás felhasítja a tér-idő kontinuumot. Szerintem is az 1-!(1) a matematika egyik legfontosabb kérdése, csak ezt még kevesen látják.
A (vélt) paradoxonok legtöbbje hamis – másrészt a legtöbben nem egyszerűsítő feltételekkel operálnak, hanem axiomatikus (fel)tételekkel.
Ilyen pld. a nullával történő osztás (konstruált) érvénytelensége – mint ahogyan a nullával való szorzás esetében is, a műveletet megelőző értéket vagy műveletsor (rész)eredményét tekintjük semmisnek – nem létezőnek, érvénytelennek – és nem a (rész)műveletet; a szorzandót érintetlenül hagyva, haladnánk tovább... ugyanis nem történt semmi… apropó, ez nem paradoxon?:-)
A váratlan dolgozat/akasztás tétele nem (igaz) paradoxon.
A kéttényezős igaz paradoxon képlete: 1 – 1, vagy másként 1 + !(1)
Véletlenül visszatévedtem a topicba. Megosztom veletek a gondolataimat a váratlan dolgozat (=váratlan akasztás) paradoxonnal kapcsolatban. Szerintem a következő gondolatmenet egy relatíve egyszerű feloldás-szerűsége a paradoxonnak.
Egy egyszerűsítő feltétel: felteszem, hogy a következő héten csak egy tanítási nap van, a többi szünet- a gondolatmenet kiterjeszthető több napos hétre.
Egy észrevétel: ha a diák bizonyítani tudja, hogy jövő héten (ami egy napos) dolgozat lesz, akkor az nem lesz meglepetés. Ezért az a mondat, hogy a jövő heti dolgozat meglepetés lesz legalább annyit jelent, hogy a diák nem tudja bizonyítani, hogy jövő héten dolgozat lesz (kontrapozíció). Tehát az a mondat, hogy jövő héten meglepetés dolgozat lesz annyit jelent, hogy "jövő héten dolgozat lesz és nem bizonyítható, hogy jövő héten dolgozat lesz és X" valamilyen X állításra.
Ez az állítás lehet igaz. Ez is paradoxonnak tűnhet, vagyis hogy van olyan igaz állítás, amely nem bizonyítható.
Az eredeti gondolatmenet ott vérzik el, hogy a hét utolsó napján mégis lehet váratlan dolgozatot írni.
A "ki lehet következtetni" és a "megmondom" ugyanaz (nem is értem mit szeretnél velük), ha hozzávesszük hogy a matematikai problémákban szereplő személyek végtelen okosak, könnyen látható hogy az "ismerem a jövőbeni gondolataidat" is ugyanaz ezekkel.
Ez attól függ mit jelent a "nem fogod tudni"... Azt, hogy "nem mondom meg előre", vagy azt, hogy "nem lehet logikusan kikövetkezteni", vagy azt, hogy "én mint jós ismerem a te jövendőbeli gondolataidat is"
