Gondolom a ritkasag akkor tortenik ha nincs nulla?
Ha a számjegyek összege n, akkor nagyjából 1/n az esélye annak, hogy n-nel osztható a szám. Tehát igen, a nullák segítenek, hiszen akkor kisebb az n és nagyobb az 1/n.
Ha a banktol kerek 1000 drb 1-dollarost, akkor mar elofordult, hogy a gyerek nem talalt 2 egymasutani szamot. Ez esetben semmilyen statisztika (matek) nem bir segiteni....
Mivel 8-jegyű számokról van szó, ezért csupán kb. 1/90 az esélye, hogy lesz köztük 2 egymás utáni. Szóval az unoka ne szomorkodjék. Persze most feltételeztem, hogy az összes 8-jegyű szám azonos eséllyel fordul elő, és a leosztás véletlenszerű.
Ha a banktol kerek 1000 drb 1-dollarost, akkor mar elofordult, hogy a gyerek nem talalt 2 egymasutani szamot. Ez esetben semmilyen statisztika (matek) nem bir segiteni....
Először hallok a Harshad-számokról. A megfelelő Wikipedia-oldalon olvashatjuk, hogy létezik 20 darab egymás utáni Harshad-szám, ráadásul végtelen sok ilyen szám 20-as létezik, míg 21 darab egymás utáni Harshad-szám nem létezik. Ez más számrendszerekben is igaz, a maximális hossz a számrendszer alapjának a duplája. És mindezt a 90-es években találták ki.
Az nem annyira varázslat, de persze nagyon zseniális. A Riemann-zeta a prímek felett Euler-szorzatra bomlik (ami tükrözi a számok egyértelmű prímfelbontását), ezért a logaritmikus deriváltja mínusz előjellel
-zeta'(s)/zeta(s) = sumn Lambda(n)/ns
ahol Lambda(n)=log(p), ha n a p prím hatványa, és Lambda(n)=0, ha n nem prímhatvány.
Ez a Dirichlet-sor elkódolja a
psi(x) = sumn<=x Lambda(n)
számlálófüggvényt, tehát lényegében a prímek számlálófüggvényét (a prímek magasabb hatványai ritkák, a log(p) pedig egy nagyon szép súlyfüggvény).
A zeta'/zeta lényegében a psi(x) Mellin-transzformáltja (egyfajta Fourier-transzformáltja), és emiatt a psi(x) finom viselkedését a zeta'/zeta gyökei határozzák meg és viszont. A zeta'/zeta gyökei pedig a zeta gyökei, illetve az s=1 pont (a zeta pólusa).
A Riemann-sejtés azzal ekvivalens, hogy psi(x) = x + O(x1/2.log2x).
A Riemann-sejtés leginkább számelméleti természetű, pontosabban automorf reprezentáció természetű. Azok az L-függvények, amelyek kellően hasonlítanak a Riemann-zetára, mind automorf formából származnak, és az automorf L-függvényekre empirikusan mind teljesül a Riemann-sejtés.
Nem hiszem, hogy a Riemann-sejtést pusztán geometriai vagy analitikus úton fogják bizonyítani. Ha így is lenne, szükség lenne a bizonyítást kiterjeszteni az automorf L-függvényekre, amit nem lehet számelmélet vagy reprezentációelmélet nélkül megtenni, hiszen az automorf L-függvény definíciója (mi egy automorf forma stb.) ezen elméletekbe van ágyazva.
A sumn n-s sor csak az 1-nél nagyobb valós részű s-ekre definiálja a zetát (a sor csak itt konvergens), tehát az s=-2 pontban nem használható. Az 1-nél nem nagyobb valós részű számokra a Riemann-zetát holomorf kiterjesztéssel definiáljuk, amely kiterjesztés egyértelmű (az s=1 pontban pólus van, a többi pontra van holomorf kiterjesztés). A teljes zetára is van kompakt képlet, csak kicsit bonyolultabb a sumn n-s sornál. A személyes kedvencem:
A fenti képletben az integrál a teljes komplex számsíkon lokálisan egyenletesen konvergens, ezért ott holomorf függvényt definiál. Ezért a bal oldal holomorf a C-{0,1} halmazon, míg az s=0 és s=1 pontokban egyszerű pólusa van. A bal oldal az ún. completed zeta function, amiről a képlet alapján látszik, hogy invariáns az s->1-s cserére (ez a zeta függvényegyenlete). Mivel Gamma(s/2)-nek pólusa van a negatív páros számokban, ezért a zeta(s)-nek gyöke van ezekben a számokban. Ezek az ún. triviális gyökök. A Riemann-sejtés szerint minden más gyök valós része 1/2. Másként szólva: a fenti képlet jobb oldalának minden gyöke a Re(s)=1/2 egyenesen van.
>The Riemann zeta function ζ(s) is a function whose arguments may be any complex number other than 1, and whose values are also complex. It has zeros at the negative even integers; that is, ζ(s) = 0 when s is one of −2, −4, −6, .... These are called its trivial zeros.<
Egy másik kérdés pedig az, hogy mi a reciprocitási-tételek számelmélet történeti jelentősége?
Erre a kérdésre nehéz röviden válaszolni, mert a számelmélet jelentős része a kvadratikus reciprocitási tételből nőtt ki. A legfontosabb irány a Langlands-program (a névadó nemrég kapott Abel-díjat), amely - elnagyoltan - az automorf L-függvények közötti kapcsolatokat próbálja megérteni. Ennek a programnak része annak bizonyítása, hogy az Artin L-függvények automorfak, amely problémának a legegyszerűbb speciális esete ekvivalens a kvadratikus reciprocitási tétellel.
Kifejtem kicsit jobban. A számelmélet egyik alapkérdése, hogy "hogyan néznek ki" a Q feletti (véges) Galois-csoportok, hiszen ezek kódolják el a Q algebrai szimmetriáit. Ezeket a Galois-csoportokat (mint minden véges csoportot) jól megragadják az irreducibilis reprezentációi, az irreducibilis reprezentációkat pedig egy speciális módon elkódolja az Artin L-függvény. Konkrétan az Artin L-függvény azt az információt tartalmazza, hogy az egyes Frobenius-elemeknek mi a karakterisztikus polinomja az adott reprezentációban, a Frobenius-elemek pedig kimerítik a Galois-csoportot (vö. Csebotarejev sűrűségi tétele). A triviális reprezentációhoz tartozó L-függvény a Riemann zeta. Azt sejtjük, hogy a többi Artin L-függvény is hasonlóan viselkedik, mint a Riemann zeta: kiterjed holomorfan a komplex síkra, kielégít egy függvényegyenletet, és a gyökök kielégítik a Riemann-sejtést. A Langlands-sejtésekből az első két állítás azonnal következne, a harmadik állítás pedig speciális esetévé válna az automorf L-függvényekre vonatkozó általános Riemann-sejtésnek.
Például legyen q egy prímszám, és tekintsük a K:=Q(sqrt{q}) kvadratikus bővítést. A kételemű Gal(K/Q)={1,c} csoportnak két reprezentációja van, mindkét reprezentáció 1-dimenziós. Az egyik a triviális reprezentáció, amikor minden elem az identitással hat, a megfelelő Artin L-függvény a Riemann zeta. A másik reprezentáció az, amikor az 1 az identitással hat, a c pedig mínusz identitással. A megfelelő Artin L-függvény automorf, mert megegyezik a (q|.) kvadratikus Dirichlet-karakter L-függvényével. Na most ez a Dirichlet-karakter periodikus mod 4q, magyarán ha p egy prímszám, akkor csak a p mod 4q maradéktól függ, hogy p kvadratikus maradék-e mod q vagy sem. Ez az állítás a kvadratikus reciprocitási tétel egy átfogalmazása! Ennek a jelenségnek az általánosítása más számtestekre (más Galois-csoportokra) folyamatos kutatások tárgya, és Langlands programjába illeszkedik. Pl. kb. 100 évvel ezelőtt sikerült megérteni ugyanezt tetszőleges (véges) kommutatív Gal(K/Q) csoportra. Ebben az esetben is 1-dimenziósak a reprezentációk, és minden Artin L-függvény egy Dirichlet-karakterből származik (ha pedig a Q alaptestet helyettesítjük egy számtesttel, akkor a Dirichlet-karakterek szerepét a Hecke-karakterek veszik át).
Szeretnék egy kis kitérőt az Atiyah professzorral kapcsolatos bizonytalanságok után. Kezdem egy idézettel:
„A matematika a tudományok királynője, és a matematika királynője a számelmélet.”
(G. F. Gauss)
Ezt az eszmefuttatást tovább gondolták, de nem tudom hogyan. Valahogy így: "a kvadratikus reciprocitási-tétel pedig ékszer a királynő koronáján". Ki tudja a pontos idézetet? Egy másik kérdés pedig az, hogy mi a reciprocitási-tételek számelmélet történeti jelentősége? Köszönettel.
Közben egyébként az abc-sejtés körül is áll a bál. Lásd itt, illetve itt. A második linken "none" tegnapi posztját kell nézni, ami a zöld válasz alatt van ("September 2018: There has been a back-and-forth etc.").
Lehet, hogy megmutatta az eredményeit teljes titoktartást kérve. Lehet, hogy jó a bizonyítása, és az nem csak azért lenne különleges, mert a matematika (szerintem) legnagyobb megoldatlan problémáját oldaná meg, hanem mert ezt 89 évesen tenné (nem tudok igazán kiemelkedő eredményről, amit 80 év felett ért el volna valaki). Minden lehetséges.
A legvalószínűbb az, hogy ő meg van győződve az igazáról, nem beszélte meg senkivel a bizonyítást (ebből a szempontból talán hátrányos az, hogy tényleg óriási matematikus), de a végén nem látunk semmiféle bizonyítást.
Azt nem értem, hogy egy ilyen kaliberű ember biztosan körül van véve kiváló matematikusokkal, kollégák, hallgatók stb. Azt hinném, hogy megmutatja néhány szakértőnek az eredményeit, mielőtt széles körben előadja - hiszen mindenki tévedhet. Ezzel megkímélheti magát a kellemetlenségtől, ha valamit elnézett. veszíteni meg semmit se veszít.
Atiyah az egyik legnagyobb matematikus, aki valaha élt. A Riemann-sejtés távol áll a kutatásaitól, de ettől még lehet igaza. Rossz jel, hogy egy egyszerű bizonyításról beszél, ami 60-80 éves cikkekre épít, illetve hogy ezt egy előadásban - ráadásul nem is matematikai eseményen - akarja bejelenteni. Rossz jel az is, hogy az elmúlt években több ilyen szenzációs bejelentése volt, amik hibásnak bizonyultak, de nem világos számomra (nem tudom), hogy elfogadta-e, hogy azok hibásnak bizonyultak. Legnagyobb valószínűséggel egy káprázatos elme szomorú hanyatlásának vagyunk szemtanúi. Én azért adok egy kis esélyt annak, hogy igaza van, vagy legalább vannak kiváló gondolatai a Riemann-sejtéssel kapcsolatban. Ha a Riemann-sejtést bebizonyítják, akkor nekem teljesen át kell programoznom magam. Pl. több eredményem pár sorban következik az általános Riemann-sejtésből, tehát azok okafogyottá válnának.
Egyébként csütörtök este hallottam először a dologról, és igen meglepődtem rajta.
Tudtommal hétfőn lesz az előadás, de a matematikus közösség elég szkeptikus. Egy 89 éves emberről van szó, aki több hibás bizonyítást adott az elmúlt években.
Ha igaza lenne, az teljesen felforgatná a számelméletet és más területeket.
Külön érdekesség lenne, ha egy ennyire idős ember ér el ennyire jelentős eredményt. Az emberek a 20-as 30-as éveikben szoktak kiemelkedőt alkotni. 70 felett inkább csak összefoglalókat, visszaemlékezéseket írnak.
