Én egyszer rendbetettem magamnál ezt a dz-vel átosztok-átszorzok kérdést
Azzal nincs is semmi probléma, én is használom, még akkor is, amikor integrálszámítást tanítok. A 274-esbeli bizonyításba nem is kötöttem volna bele soha.
A 276-ban meg is találjuk a megoldást, nem csak ellenőrizzük a megtalált megoldást. A Newton-Leibniz formula egy precíz tétel folytonosan differenciálható függvényekre. (A szokásos bizonyítás éppen a Lagrange-középértéktétellel megy.)
valojaban helyettesiteses integralas tortenik, ez van minden szeparibilis diffegyenletnel: dx/dt=f(t)/g(x) gyors formalis megoldasa, ha atszorzok: g(x) dx = f(t) dt, mindket oldal integraljat veszem (az egyik oldal x szerinti, a masik t szerinti, hoppa!!) : G(x)=F(t)+c, ahol F,G a primitiv fuggvenyek, ebbol a megoldas x(t)=G^-1(F(t)+c). c a kezdeti ertekbol jon ki. Ez volt a "mernoki" megoldas. Most irjuk kicsit maskent: g(x) x'(t)=f(t) alakba is irhatom az egyenletet. most mindket oldalt t szerint integralom: int g(x) x'(t) dt= int f(t) dt. most jon a helyettesiteses integral y=x(t) uj valtozoval, ekkor az x'(t) dt a helyettesitesben eppen dy lesz, a kapott egyenlet integralas utan tehat G(y)=F(t)+c, pont ugyanaz mint az elozo esetben (hiszen y=x(t))
Sajna most el kell mennem, de még egyet hamarjában beírok:
Én is a precízség híve vagyok általában, már amennyire telik, még ha ez sokszor nem is sugárzik ki belőlem, mert a gyorsaság sokszor pripritást kap a precízség felett.
Én egyszer rendbetettem magamnál ezt a dz-vel átosztok-átszorzok kérdést (mint ahogy szerintem minden precíz mérnök--fizikus ezt megteszi), azóta magam számára megnyugtatóan használom, mint távirati stílust. Be is írtam ide valamelyik topikba még régebben az elgondolásom, az is igaz, hogy néhány precíz ember nem értett egyet beírásommal.
Szerintem alapos okkal állitom, hogy igen erős alapokat kaptak a villamosmérnökök
komplex függvénytanból. Utánanéztem most és örömmel állapitottam meg, régi tisztelt tanárom kezében vannak.:_) A jegyzetbe is beleolvastam. Korrekt, szép, mindenféle bonya csillagszerű meg egyéb tartományok nélkül. Ezután ha valaki akarja el tudja olvasni Duncan: bevezetés a komplex fv.tanba c. könyvet is.
Lineáris függvénynek (a keresett p(z) függvényről van szó) konstans a deriváltja. De ez megint visszafelé gondolkodás.
Szóval: feladat az alap diffegyenletből vezessük le az ismert eredményt. Én leírtam, ahogy a mérnök tudja, mert így tanítják. Amire kíváncsi vagyok az az, hogy hogyan néz ki a nem meseszerű levezetés. Értsed: nem kekeckedem.
Nem értem. Az a kérdés, hogy a fenti egyenletnek, ahol a jobb oldal z-től nem függ, miért az a megoldása, hogy p=p0+ro*g*z? Mert ha ez a kérdés, akkor az triviálisan bizonyítható: d(p-ro*g*z)/dz=0, vagyis a Lagrange-féle középértéktétel szerint p-ro*g*z egy konstans, vagyis maga a p0 (a z=0-n felvett érték).
Egyébként a differenciálformák nyelvén az általad beírt megoldás is tökéletesen precíz.
Habár a súlyzóhoz nincs köze, ezért itt OFF, de kapcsolódik az utóbbi témához.
Vegyünk egy példát a mérnöki és a matematikusi matematikai levezetések közötti különbségre.
Legyen a feladat a nyomás meghatározása állandó sűrűségű nyugvó (inerciarendszerben) közegben, pl. vízben, a felszíntől lefelé, ami, mint tudjuk,
p=p0+ro*g*z, ahol z a felszíntől lefelé mért koordináta, g a térerő(vektor lefelé mutató kompnense) ro a sűrűség, állandó, p0 a felszínen (ahol z=0) a nyomás, p pedig a nyomás a z helyen. Kiindulás a Navier-Stokes egyenletből.
Ezt az egyenletet nem írom ide be, de a mondott esetben
gradp=ro*g formát ölti.
azaz:
dp/dz=ro*g
(aki akar precízkedni, az hozzámondja, hogy szorozzuk a fenti egyenletet a lefelé mutató egységvektorral, ami, mondjuk, még elég szemléletes a mérnöknek)
Most dz-vel szorzok: (!!!)
dp=ro*g*dz
Mindkettőt integrálom saját változója szerint: (!!!)
p-p0=ro*g*z
Pongyolának pongyola, de fizikailag szemléletes és érthető (nekem).
Hogy vezetjük le matematikailag korrekten? Erre tényleg kíváncsi vagyok.
Melyik levezetést javasoljuk egy mérnöknek, akinek nem levezetni, hanem használnia és értenie kell a képletet?
(Kérdésem minden rosszindulattól vagy bántó szándéktól mentes, szándékom szerint legalábbis.)
Hát igen, pl. a Műszaki Egyetemen amikor nekem analízist tanítottak, nem igazán derült ki, hogy pontosan melyik része az egzakt matek, és melyik része nem annyira.
Igazából az analízis óra úgy nézett ki, hogy nekünk informatikusoknak a gyakorlati életben (akkori gyakorlati tapasztatatainkhoz képest) semmilyen gyakorlati problémához nem köthető matematikai fogalmakat, definíciókat, tételeket daráltak, és még annyira nem is voltak alaposak, de ez nem derült ki, mivel azt sem tudtam, hogy milyen lenne az alapos...
Namost szerintem vagy legyen valami nagyon-nagyon alapos és gondolkodtató, vagy legyen gyakorlati problémákhoz köthető.
Az egy kissé érdekes, hogy egy informatikusnak olyan matematikát tanítanak, ami egy villamosmérnöknek vagy egy gépészmérnöknek a gyakorlatban fontos lehet.
Hogy lehet úgy komplex függvénytant tanítani, hogy az embernek halvány lila fogalma sincs, hogy miért pont ezek a definíciók, tételek érdekesek?
Én egy egyszerű stratégiát alkalmaztam: amit nem értettem rendesen, azt fogtam és rövid úton elfelejtettem.:) Így borzasztóan keveset tudok, de azt úgy ahogy értem, oszt jól van.:)
Szerintem volt jópár elhibázott dolog a BME-n a matekoktatásban. Szerencsére voltak olyan tárgyak is, ahol nekem legalábbis sokkal tisztább volt a kép, (diszkrét matematika, matematikai logika).
Nekünk annak idején valami olyasmit mondott a mechanika gyakvezetőnk, amikor az "átosztok dx-szel"-féle bűvészkedést nehezményeztük (éppen analízis-előadásról jövet), hogy "a matematikusok ki tudnak találni olyan függvényeket is, amelyek mindenütt folytonosak, és sehol sem differenciálhatók, de az ilyen függvények a matek példatárakon kívül másutt nem fordulnak elő... "
Naszóval nincs ezzel semmi gond, ha az ember tisztában van azzal, hogy nem az az egzakt matek, amit ilyenkor művel...
Az a baj, hogy sok embernek tanítanak felsőfokú matematikát (pl. mérnököknek, fizikusoknak), de nem tanítják meg nekik rendesen, mit jelent a matematikában bizonyítani valamit. Helyette megtanítják őket valamennyire intuitívan gondolkodni, érezni őket, mi igaz és mi nem, továbbá megtanítják őket sok matematikai tételre, és utána szabadon eresztik őket. Aztán gyakran matematikai ámokfutás lesz a vége. Már bocs, de így érzem.
Én még emlékszm, hogy amikor az iskolában az integrálást tanították, azt mondták, hogy az int f(x) dx egy egységes jelölés, csak formájában utal a szorzásra meg az összeadásra, matematikailag azonban ez nem az. (Az integrál jele ugyanis a szummát jelölő S betűre hajaz.)
A műszaki gyakorlatban azonban ez a matematikai jelölés visszakapja a szorzás és összeadás eredeti értelmét. Ezért mondja matmérnök, hogy a konstans kiemelhető az integrál elé, még ha eredileg pl. a d mögött volt is, és a formális jelölés részét képezte. Kétségtelen, pongyola. Az én véleményem szerint egyszer kell rendbetenni a szavak jelentését, megmagyarázni, hogy mi az összefüggés a korrekt formalizmus és az intuitív szóhasználat ill. levezetés között, aztán már használható az intuítív "levezetés". Máskülönban a hétköznapi mérnöki számolások, levezetések jó áttekinthetősége sérül. A korrektséget áldozzuk fel a könnyebb érthetőség kedvéért.
Más kérdés, hogy aki járatos a szigorú formalizmusok világában, annak számára nem sérül az érthetőség, meglehet, éppen az intuitív szóhasználat az érthetetlen. De ezért nem ugyanaz a mérnök mint a matematikus. Mindkettő a maga dolgát végzi. A mérnöki matematikaoktatás dolga ezt a kérdést rendbentenni, a mérnök dolga meg ezt megtanulni, már, ha élnie kell vele.
Én is köszönöm, mert így olyan tételeken gondolkozom, amik vagy újak számomra, vagy nem igazán dolgoztam még velük. Most azonban (ma éjjel) még el kell olvasnom egy hosszú cikket, ezért elbúcsúzom egy időre.
Nem ezért jogos az észrevételem. Hanem azért, mert
(1) Te egy konstans e vektorról beszéltél a bizonyításodban, és a közbülső lépések (pl. div(fe)=grad(f).e) is ilyenre igazak csak. Ellenben az n általában (valójában soha) nem konstans, vagyis e-t nem választhatod n-nek. Olyan, mintha szilvalevet tankolnál az autódba.
(2) Te a tételt mindenfajta V térfogatsorozatra (ami a p-hez tart) kimondtad, tehát ilyen általánosságban is kell igazolnod. Vagyis nem hivatkozhatsz arra (mint itt most teszed), hogy mi történik egy kocka felületén (ahol n bár továbbra sem konstans, de valóban csak 6 különböző értéket vesz fel).
Nem a végső konklúziót kritizáltam, hanem a közbülső általános megjegyzésedet, ami hibás logikára ad alkalmat. Mondok egy példát. XY azt állítja, hogy bebizonyította, az x3+y3=z3 egyenletnek nincs pozitív egész megoldása. Ez egy igaz állítás amúgy, mert Euler valóban bizonyította. XY bizonyítása a következő:
Ha a,b,c,d egész számok és a+b=c+d, akkor a=c vagy a=d. Tegyük fel, hogy x3+y3=z3, ahol x,y,z tetszőleges egészek. Ekkor x3+y3=z3+03, vagyis a kiindulási megjegyzésünk értelmében x3=z3 vagy x3=03. Az utóbbi esetben x=0, az előbbi esetben pedig y3=0, vagyis y=0. Tehát x vagy y mindenképpen nulla, a bizonyítás kész.
Valaki megkritizálja XY bizonyítását így: nem jó a bizonyítás, mert a kiindulási lépés, miszerint ha a+b=c+d, akkor a=c vagy a=d, hamis. Hiszen például ha a=1, b=4, c=2, d=3, akkor a+b=c+d, ellenben sem a=c, sem a=d. XY így védekezik: nem fogadom el a kritikát, mert nálam a,b,c,d köbszámok, a felhozott ellenpéldában pedig (a=1, b=4, c=2, d=3) nem.
Igaza van XY-nak? Nem. Mert burkoltan azzal védelmezi a bizonyítását, amit bizonyítani akar. Olyan ellenpéldát, amit XY elfogadna (a+b=c+d, ahol sem a=c, sem a=d, ellenben a=köbszám, b=köbszám, c=köbszám, d=0) nem lehet XY számára felhozni, mert Euler bizonyította (helyesen) hogy nincs ilyen ellenpélda.
(3) mondtál helyette egy zöldséget ("válasszuk a konstans e-t a változó n-nek")
Ennek a következő a precizebb értelme: Alkalmazzuk a Gradienstételt a kocka minden lapjára külön külön. en csak akkor nem nulla, ha e párhuzamos n, az összes többi lapon a felületi integrál zérus. Igy a jobboldal valójában 6 nem zérus értékű felszini integrál és 30 zérus értékü integrál összege. Ez Descartes koo.rsz-ben igaz.
Ugyanakkor pedig az integrálátalakitó tételek valójában invariáns alakban vannak megfogalmazva. Ezért nagyon is jogos az észrevételed.
De az integrálátalakitó tételek bal és jobb oldalán ugyanazon függvények gradiense divergenciája vagy rotációja van mindig. Egyszerüen nem választhatom f és g fv . igy.
