A vákuum ált.rel.-es definíciója, hogy az energia-impulzus tenzor nulla. Tehát ha mondjuk van számottevő (gravitációs hatással rendelkező) elektromágneses sugárzás, akkor az már nem számít vákuumnak. Viszont az Einstein-egyenletből (Ricci tenzor-0.5*metrika*Ricci skalár=const*(E.I. tenzor)) látható, hogy ha az energa-impulzus tenzor nulla, akkor a Ricci-skalár is nulla, vagyis a Ricci tenzor is. A metrikus tenzor természetesen nem tűnik el, már csak a rá kirótt axiómák miatt sem.
egy konkrét megoldást feltételzve a geodetikusok tényleg olyanok-e, mint a valóságban szabadon eső testeké
Ezt a mondatot nem értem. Általában úgy szokás kísérleti oldalról érvelni az áltrel mellett, hogy kiindulunk valamilyen megoldásból (pl. a Callie által is említett Schwarzschild m.o. elég jól közelíti a Nap gravitációs terét). A Schwarzschild megoldás konkrétan vákuum-megoldás (Ricci-tenzora zérus), és gömbszimmetrikus. Ezeknek örülünk, hiszen ez konzisztens a Nap körüli térről alkotott elképzelésekkel. De ha kísérletileg akarjuk ellenőrizni, hogy tényleg ez-e a geometriája a téridőnek, akkor meg kell vizsgálni, hogy a valóságban létrejövő geodetikusok (fényutak vagy szabadon eső testek, praktikusan bolygók pályái) egyeznek-e az elmélet által jósolt (a metrika ismeretében kiszámolható) geodetikusokkal.
Igen, az idézet is arról szól, hogy Einsteinnek volt szüksége a matematikusokra és nem fordítva. Az más kérdés, hogy Einstein elmélete később nagyon sok érdekes kérdést és fogalmat adott a matematikának, a matematikai területek osztályozásában az általános relativitáselmélet az egyik nagy terület, lásd itt.
Azt persze elismerem, hogy az egész történet egyszerű gondolatkísérletekkel kezdődött, a matematikai apparátusra csak utána lett szükség.
Matematikára csak amiatt volt szüksége, hogy matematikusok is tanulmányozhassák elgondolásait.
Ez a kijelentés vetekszik azzal, amikor pár éve az USA-ban tanítottam integrálszámítást és volt egy "physics major" diákom, aki nagyon nem értette a dolgot. Motiváció gyanánt mondtam neki, hogy az integrálszámítás nagyon fontos a fizikában. Tág szemekkel rám nézett és azt mondta: azt hittem, csak a differenciálszámítás fontos ott.
Egyébként az általános relativitáselméletről szóló első cikk két részből állt: az első ún. "fizikai részt" Albert Einstein írta, míg a második ún. "matematikai részt" Grossman Marcel. Eredeti példány beszerezhető 1600 CHF-ért itt.
Mivel ez gyenge hatás, az eltérések is kicsik az euklidészitől
Engem az érdekelt volna, hogy mennyire kicsik (számszerűen). Amúgy meg azt gondoltam volna, hogy a közelünkben a Föld gravitációja jobban beleszól a görbületbe (meg minden másba), mint a Napé.
Egyrészt az ált.rel. szerint a Ricci-tenzor vákuumban nulla.
Miért? A metrikus tenzor és a stressz-energia-tenzor tudtommal nem tűnnek el vákuumban, az pedig furcsa lenne, ha a gravitációs és kozmológiai konstanssal (és a skaláris görbülettel) pont nullára kombinálódnának.
egy konkrét megoldást feltételzve a geodetikusok tényleg olyanok-e, mint a valóságban szabadon eső testeké
Mire használható akkor ez a dolog? Hol merül fel ez természetes módon?
Modulusok tenzorszorzata az egyik legalapvetőbb konstrukció az algebrában. Pl. ha Q a racionális számok teste, p egy prímszám, K a Q egy véges algebrai bővítése, akkor ha veszed a K-nak és a Qp-nek mint Q-algebráknak a tenzorszorzatát, akkor a prodP KP algebrát kapod, ahol P végigfut a p-t osztó K-beli prímideálokon. Egy másik példa pl. egy K test Brauer-csoportja, amit a K feletti centrális egyszerű algebrák bizonyos ekvivalencia-osztályai alkotnak, a csoportműveletet ezen algebrák K feletti tenzorszorzata indukálja. Rengeteg egyéb példát lehet mondani az algebrából, algebrai geometriából, algebrai topológiából, algebrai számelméletből, stb.
Egyrészt az ált.rel. szerint a Ricci-tenzor vákuumban nulla. Tehát az ÁR mérési próbájánál azt kellene megnézni, hogy tényleg nulla-e az Rik. Nos, ilyen mérésről én nem tudok, ugyanis inkább azt szokás ellenőrizni, hogy egy konkrét megoldást feltételzve a geodetikusok tényleg olyanok-e, mint a valóságban szabadon eső testeké. Ilyen módon nyilván egy sokkal erősebb feltevést ellenőrizünk le, mint a Ricci-tenzor zérus volta. De ha csak az utóbbit akarnánk megvizsgálni, akkor is a geodetikusokat kellene nézegetni: a Ricci-t jelentése ugyanis valami olyasmi, hogy ha kijelölök egy (4d) térfogatelemet, és azt tologatom a gedoetikusok mentén, akkor a térfogatváltozás mennyire tér el az Euklideszihez képest.
OK. Én egy konkrét alsó és felső becslést szeretnék látni a Ricci-tenzor mátrixára (mind a 16, azaz 10 együtthatóra). Ha ilyen nincs, akkor megelégszem egy konkrét felső becslésre egy A4-es papírlapon elférő fényháromszög szögdeffektusára (a terület függvényében). Ugyanis arról szeretném matmérnököt meggyőzni, hogy a Ricci-tenzort lokálisan mérő kézikészülék egyelőre meghaladja a technológiai fejlettségünket.
1. Nem vitatom, ebben teljes mértékben igazad van.
2. A Friedmann-modellek (mind a 3 típus), állandó görbületűek, és a metrika mindenhol ugyanolyan. Na itt van köztünk a nézeteltérés. Nézd meg ezt a görbületet leíró képletet (a Wikipédia vonatkozó szócikkéből ollóztam):
k=+1,0-1 annak megfelelően, hogy melyik spéci 3d Riemann-sokaságot használom, "a" pedig - az általad is említett - 3d tér "méretét" leíró fg. De R egyáltalán nem állandó (kivéve ha "a" is állandó). Vagyis egyáltalán nem igaz, hogy a téridő görbülete csak a 3d altér görbülete alapján meghatározható lenne, hiszen a 3d altér görbülete állandó (const*k), a téridő görbülete viszont a dinamikától is függő változó mennyiség.
A Föld jó közelítéssel egy külső Schwarzschild-téridő-ben tengeti mindennapjait, amit a Nap gravitációja alakít ki. A Ricci-tenzor is ennek megfelelő. Mivel ez gyenge hatás, az eltérések is kicsik az euklidészitől, de az ált rel. kísérleti bizonyítékai (Merkúr, fényelhajlás,stb) kielégítő pontossággal alátámasztják.
Vagyis,ha egy valódi térbeli háromszög szögösszegét mérnénk meg pontosan,nagyobbat kéne kapni 180 foknál, Gauss híres mérése ilyet adott volna,ha elég pontosan mérhetett volna.
Mindenestre mindkettőjüket megnyugtatja a tudat, hogy ilyen feltételek között legfeljebb egyszer találkozhatnak; ami egyrészt azért jó, mert nem jön létre ikerparadoxon, másrészt azért, mert amúgy is útálják egymást...
Ezt a honlapot is ajánlom. U.is Szilasi József: Bevezetés a differenciálgeometriába c. könyvéből tanultam, és nagyon szeretem. Ez a KLTE-n a hivatalos tankönyv volt.
Érdekes, Freud-könyv csak arra az esetre definiál bilifüggvényt amikor V=W. Biztos, mert W~=V esetben nincs kvadratikus alak, így sem ortogonalitás se definitség, se tehetetlenségi tétel... nem csinálható. Mire használható akkor ez a dolog? Hol merül fel ez természetes módon?
Nem azert nem tudjuk a Ricci-tenzort megmerni, mert parcialis diff.egyenleteket nem tudnank jol megoldani, hanem mert a terido a mi kornyezetunkben nagyon hasonlit a Minkowski-teridore. Egy fizikus megirhatna nekunk, hogy milyen becslesek ismeretesek a Ricci-tenzorra a kornyezetunkben.
Mielott az 55076-ban javasolt konyveket vagy barmi mast elkezdesz olvasni, erdemes az alabbi ravezeto feladatokon elgondolkodnod.
1. Legyen V mondjuk egy 4-dimenzios vektorter az R felett (R a valos szamok halmaza). Mutasd meg, hogy a V->R linearis lekepezesek (homomorfizmusok) a nyilvanvalo muveletekkel egy L vektorteret alkotnak. Mennyi a dimenzioja? Ha a V-nek bazisa (v1,v2,v3,v4), akkor ebbol hogyan gyartanal bazist az L-ben?
2. Legyen V mondjuk egy 4-dimenzios, W pedig egy 5-dimenzios vektorter az R felett. Mutasd meg, hogy a VxW->R bilinearis lekepezesek a nyilvanvalo muveletekkel egy B vektorteret alkotnak. Mennyi a dimenzioja? Ha a V-nek bazisa (v1,...,v4), a W-nek bazisa (w1,...,w5), akkor ebbol hogyan gyartanal bazist a B-ben?
Fizikusoknak évtizedek óta a "Vektorszámítás" c. háromkötetes tankönyvből tanítják, persze abban sok minden más is van, vektoranalízis, diffegyenletek és hasonlók.
Ha tudsz olyan leírást, ami egy kicsit bővebben vezeti be a tenzort (nem baj, ha angolul van, de a magyarnak nyilván jobban örülnék), akkor megköszönném!
Magyar nyelven ajánlom Fried: Általános algebra (2. kiadás, Tankönyvkiadó, 1989) 8.6-8.7 fejezetét (214-224 oldal). Elég absztrakt, de nagyon precíz, ami jó.
Angol nyelven ajánlom Lang: Algebra (3rd edition, Springer, 2002) Chapter XVI (pages 601-640). Ez egy olvasmányos, kiegyensúlyozott tárgyalás. A könyvet megtalálod a gigapedia.org oldalon djvu formátumban. Ha nem találod vagy bármi kérdésed van, szólj!
Érdekes dolog, hogy a görbült téridő fogalma nem megy a jóemberek fejébe, a görbületlené viszont OK nekik, azt védelmezik ezerrel.
Pedig a különbség csak annyi,hogy euklidészi vagy nemeuklidészi szerkezetű-e.
Mindenképpen van geometriai szerkezete. Azt elfogadják,hogy olyan szerkezetű (a szerintük "semmi" ), hogy benne a háromszögeknek 180 fok a szögösszege, azt viszont, hogy olyan szerkezetű, hogy < 180, nem. Ez inkább pszichológiai jelenség.
1, Az én űrhajósaim a méterrudak összehasonlításával mérik meg a másik rendszer méterrúdját 2, Az én űrhajósaim az idők összehasonlításával figyelik meg, hogy melyik óra jár gyorsabban
Abban adok igazat, hogy a téridő görbületét a fizika, vagyis az anyag tulajdonságai szabják meg. Pl. az Univerzum tágul, emiatt az euklideszi geometriát közelíti. Sőt, mintegy 6 milliárd éve gyorsulva tágul, és emiatt nem követünk el hibát, ha az Univerzumot euklideszi geometriájúnak tekintjük.
Olvastam azt is, hogy az Univerzumra nemcsak az elliptikus Riemann-geometria húzható rá, hanem elképzelhető olyan eset is, hogy az Univerzum hiperbolikus, Bolyai-Lobacsevszki geometriájú is lehetne.
Ezzel csak azt mondom, hogy az anyag eddig ismert tulajdonságaiból absztraháltunk a Riemann-geometriára (Grossmann és nem Einstein, mert az áltrel Riemann geometriáját Grossmann dolgozta ki Einstein számára. Ezt csak azért teszem hozzá, mert Grossmann 16 éves koráig Budapesten élt)
