Az algebrai csoport olyan algebrai varietást jelent, amin a csoportműveletek morfizmusok. Algebrai varietás polinomokkal definiált halmaz (igazából ez az affin varietás, a projektív varietás egy sóhajnyival bonyolultabb), a morfizmusok pedig a polinomiális leképezések a varietásra megszorítva (megint csak affin varietásokra szorítkozva).
Aha, akkor nem is a görbe a lényeg, hanem a görbe pontjain definiált összeadás művelet.
Az is fontos, hogy algebrai görbéről van szó, és hogy az összeadást és az inverzet polinomiális leképzések (ún. morfizmusok) adják meg. Ezért van az - használva némi algebrai geometriát - hogy az összeadást meg lehet adni az egyenesek huzogatásával, ahogy mondod (konkrétan a görbén három pont akkor és csak akkor van egy egyenesen, ha az összegük nulla). És az is algebrai geometriával jön ki, hogy minden ilyen görbe (nulla karakterisztikájú test felett) izomorfia erejéig megegyezik az y2 = x3 + ax +b affin görbe projektivizáltjával (a projektivizált a végtelen távoli pont hozzáadását jelenti, ez a végtelen távoli pont tölti be a nulla szerepét az összeadásban).
Vagy van még valami egyéb tulajdonság, ami kell?
Nem világos a kérdés. Az elliptikus görbéknek sok tulajdonsága van: minden évben több, mint 100 cikket írnak róluk a matematikusok (új tételekkel, tehát új tulajdonságokkal).
Aha, akkor nem is a görbe a lényeg, hanem a görbe pontjain definiált összeadás művelet.
Jó gondolom, hogy csak az y^2 = x^3 + ax + b egyenletű görbékre igaz, hogy - ha a görbe bármely két pontján át egyenest húzok, akkor pontosan egy további pontban fogja metszeni a görbét (0 esetet kivéve)
- ha a két pont racionális koorinátájú, akkor a harmadik pont is az lesz
Az elliptikus görbék (kommutatív) algebrai csoportok is egyben. Ez azt jelenti, hogy olyan (kommutatív) csoportok, ahol az összeadás és az inverzképzés morfizmusok a görbén (azaz megadható az alaptest feletti polinomokkal). Ez az extra struktúra az elliptikus görbéket nagyon gazdaggá teszi, pl. egy racionális elliptikus görbe racionális pontjai egy végesen generált Abel-csoportot alkotnak, amelynek torziója csak néhányféle lehet (ismerjük a teljes listát). Egyszerűen olyan dolgokról lehet beszélni, olyan dolgokat lehet egyáltalán megkérdezni egy egy elliptikus görbe esetében, amiről más görbék esetében nem. Általában véve egy görbe beágyazható a Jacobi-varietásába, ami ugyan (kommutatív) algebrai csoport, de a dimenziója már nem 1 (kivéve az elliptikus görbe esetét, amikor a Jacobi-varietás a görbe maga).
Az elliptikus görbék diofantikus értelemben is nagyon speciálisak. Ha egy racionális görbe génusza g és van racionális pontja, akkor g=0 esetén végtelen sok racionális pontja van, g>1 esetén véges sok racionális pontja van, és g=1 esetén lehet véges vagy végtelen sok racionális pontja, de ezeket véges sok elem generálja (ahogy említettem fent). A g=1 eset az elliptikus görbe esete.
El tudnátok mondani egyszerűen, hogy miért fontosabbak az elliptikus görbék, mint bármely más polinommal leírható sík görbe? Mitől érdekesebbek az y^2 = x^3 + ax + b egyenletű görbék, mint mondjuk az y^3 + a*y^2 = b*x^2 + c egyenletűek? (Azt tudom, hogy már Diophantoszt is érdekelte ez az egyenlet, de miért pont ez?)
nem én találtam ki, hogy a természet leírásának a nyelve a matematika. ;)
mennyi a valószínűsége annak, hogy 4 és 6 között találunk prímszámot?
úgy értem, holnap délután 4 és 6 között. ;)
ha megadok két egész számot, akkor az adott intervallumban vagy vannak prímszámok, vagy nincsenek.
valószínűségről akkor beszélnék, ha ugyanabban az intervallumban ma délelőtt véletlenszerűen lennének, holnap délután pedig egy bizonytalan időre eltűnnének.
Udvariasan kérek mindenkit, hogy ebben a topikban csak a számelméletről legyen szó, illetve ami hozzá kapcsolódik. A pendrive-ok és elektromos szikrák élete itt off-topik.
A BME v2-ben voltak ilyen székek. Vas lábak, jó szigetelő kupakok alul a lábakon, fa ülőke, amit átmenő lapos fejű csavarok tartottak. Dörzsöléssel fel lehetett tölteni őket, aztán várni, hogy leüljön valaki. A csavarfejnél keletkező szikra látványos élettani hatással járt. :-)
Amiként a páros számok kettő vagy több, de véges (páros) számú páratlan számra bonthatóak, úgy nem lehet több a páratlan (minden második, ami páros:-)) számok páratlan összege (mint szorzat is), a mindenkor ismert legnagyobb prímszámnál.
Érdekesség: a páros számokat (lehetségesen) alkotó páratlan számok egyike mindig prím. Bár lehet, ezt itt pont nem kellett volna megemlítenem.
1,2; és ennél tovább már csak azért sem sorolnám az egész számokat, mert nincs értelme.:-)
Az általam vázolt (lehetséges) okok miatt, nem volna érdemes naponta mások pendrive használata - lévén a problémának semmi köze, a használatos pendrive számához.
Mekkora az esély annak, hogy ha én mindennep 5 perndrájra elmentem a fejlesztést, egyszer arra ébredek, hogy bekrepált a winyóm mind az 5 pendrájvval együtt?
Nem látom, miért kételkedne bárki is a sejtésben (leszámítva, hogy még nincs bizonyítva). Elég sok számelmélészt ismerek (több százat), de még nem hallottam ilyen véleményt.
Köszönöm én is, Maynard bizonyítását nem ismertem. Én továbbra is azt tartom valószínűbbnek, hogy a sejtés nem igaz, de ma már valóban megalapozottnak tekinthető. Érdekes lenne egy felmérés, szerintem biztos vannak olyan számelmélészek is, akik kételkednek benne.
Ha nem is arra bizonyítás, hogy minden páros szám ilyen, de nagyon is valószínű, hogy van olyan páros szám, ami ilyen.
Azt, hogy van ilyen ún. Polignac-szám, Yitang Zhang igazolta pár évvel ezelőtt. Az ő módszeréből az is kijön, hogy legfeljebb 70 millió az első ilyen szám, amit mára 246-ra sikerült javítani.
James Maynard azt is igazolta, hogy tetszőleges k-ra végtelen sok prím k-as is van korlátos hosszú intervallumban. Ráadásul az intervallum hosszára is van becslésünk k függvényében. A Polignac-szám létezése ennek a tételnek speciális esete (k=2).
Polignac (1849) francia nemesember sejtése, aki pusztán megfigyeléses alapon mondta, amit mondott. Ma viszont többféle heurisztika van (szitaelmélet, körmódszer) rá, amivel még aszimptotika is jósolható az adott különbségű prímpárok számára (adott x-ig). A sejtés része egy jóval általánosabb sejtésnek, ami szintén megalapozottnak tekinthető (lásd itt).
Annyit egyébként már most tudunk, hogy végtelen sok olyan páros szám van, ami végtelen sokszor előáll prímhézagként. Sőt, tudjuk, hogy az ilyen ún. Polignac-számok sűrűsége nagyobb 1/354-nél, továbbá a köztük levő hézagok korlátosak (de konkrét korlátot nem tudunk rájuk). A legkisebb Polignac-szám legfeljebb 246. Egyébként nem ismerek olyan számelmélészt, aki kételkedne Polignac sejtésében.
Úgy tudom, de ha szükséges, majd a matematikusok kijavítanak, hogy a Green-Tao tétel valami hasonlóról szól, hogy tetszőlegesen hosszú prímszámokból álló számtani sorozat létezik, ez tehát azt jelenti, hogy nem is tűnik olyan messzinek annak bizonyítása, hogy létezik olyan páros szám, ami végtelen sokszor előfordulhat prímek közötti hézagként. Ha nem is arra bizonyítás, hogy minden páros szám ilyen, de nagyon is valószínű, hogy van olyan páros szám, ami ilyen.
"azt sejtjük, hogy minden páros szám végtelen sokszor előfordul hézagként"
Már nem emlékszem, kinek a sejtése ez, régebben olvastam. Felmerül a kérdés, hogy van-e bármiféle megalapozottsága, hiszen eddig sem a 2-ről, sem bármelyik nagyobb páros számról nem igazolták. Szerintem nem több egy hasraütésszerű feltételezésnél, amihez hasonlót bármelyik matematikus meg tudna fogalmazni. Ha valahogy eldönthető lenne, én nagy összegben mernék fogadni, hogy ez a "sejtés" nem igaz.
