"De igen. Térjünk vissza (4787)-hez: megkérdeztem ott Tőled, hogy hogyan definiálsz igazságot belső ZFC-modellre NBG-ben."
NBG-ben én ugyanúgy definiálnám a modellbeli igazságot mint ZFC-ben a halmazbelit. Azaz a formula összetettsége szerint haladva rekurzívan, a részformulák igazságát már minden kiértékelésre ismerve. Ez ZFC-ben azért nem működött mert a transzfinit rekurzióban nem lehetett osztálynyi sok előzményből rekurzívan számolni, de NBG-ben ha jól látom ennek már nincs akadálya. Ezzel egy osztálymodell elméletet teljes lesz.
L valódi osztály, így szerintem nem lehet eleme senkinek.
Igen, persze, rossz a formalizáció. Nem vagyok formában, borzasztó:(
Lehetne úgy, hogy nem <L,k> párokról, hanem phi(L,k,p) formuláról beszélünk, amely pontosan akkor igaz az NBG-univerzumban, ha L|=psi, mikor k psi Gödel-száma.
Teljesen szükségtelen, redundáns (és rossz) volt rendezett párokat tekinteni.
Ha az L-ben igaz formulák Gödel-számait akarod összegyűjteni akkor ahhoz nem kell előtte definiálni, hogy mikor nevezünk egy formulát L-ben igaznak?
De igen. Térjünk vissza (4787)-hez: megkérdeztem ott Tőled, hogy hogyan definiálsz igazságot belső ZFC-modellre NBG-ben.
Ekkor az <L,k> rendezett párok egy halmazt alkotnak
L valódi osztály, így szerintem nem lehet eleme senkinek.
ahol k olyan formula Gödel-száma, amely igaz L-ben...És akkor ez L igazságdefiníciója.
Ha az L-ben igaz formulák Gödel-számait akarod összegyűjteni akkor ahhoz nem kell előtte definiálni, hogy mikor nevezünk egy formulát L-ben igaznak?
Tekintsük azt az állítást, hogy 'van V-nek egy j elemi beágyazása egy M tranzitív modellbe'. Ezt ZFC-ben csak úgy tudnám megfogalmazni, hogy léteznek ilyen meg ilyen formulák, amikről ZFC-ben bizonyítható ez meg az. Szerintem nem elegáns ha kényszerből beszélünk a ZFC-ből való bizonyíthatóságról. Sőt ha a V osztálynak mint modellnek a bizonyíthatóságból kiindulva definiálod az elméletét akkor az nem lesz teljes.
Úgy tudom, NBG-ben definiálható az NBG-ben definiálható belső ZFC-modellek igazsága, tehát igazad van.
Először is, NBG-ben van egy triviális igazság-definíció a belső modellekre.
Nyilván, ha L egy belső modell, akkor van - még a halmazelméletben is - egy definíciója. Ez a definíció elvárás szerint rekurzív, de ezt nem tudom belátni.
L esetében osztállyal felírva
"létezik! L valódi osztály, hogy minden x eleme L-re létezik alpha rendszám, hogy x eleme L_{alpha}".
Ekkor az <L,k> rendezett párok egy halmazt alkotnak, ahol k olyan formula Gödel-száma, amely igaz L-ben. E rendezett párok halmaza legyen S.
Ekkor S-nek van egy definíciója az NBG nyelvén, phi(<L,k>,...p,..) pontosan igaz lesz az NBG-univerzumban, p halmazparaméterek.
És akkor ez L igazságdefiníciója.
Kérdés azonban, hogy pl. egy rekurzívan definiálható L, V esetében phi is rekurzív? Hogy az, azt igazolni kellene (ha az). Sőt: optimális esetben phi-t írjuk fel. Ezt nem látom, hogyan kell, a kérdésem erre vonatkozik.
--
Azonban teljesen megfelelőnek találom a ZFC halmazelméleti belső modellek igazságának hagyományos kezelését, aritmetika nélkül.
Itt az a helyzet, hogy szintén ha M belső modell, akkor M|=psi pontosan akkor, ha F az M belső modell meghatározó definíciója, és ekkor relativizálunk, azaz minden x változót úgy írunk fel, hogy hozzátesszük: "és x F tulajdonságú".
Tehát
psi*:="létezik x psi(x,p) és F(x)".
psi ekkor pontosan akkor igaz M-ben, ha psi* igaz V-ben.
Ezért, ha igazoljuk halmazelméletből, hogy psi*, akkor M|=psi bizonyos.
Még a Reflection Principle-t is felírhatjuk M-re:
psi* (azaz M|=psi) <=> minden Y halmazhoz létezik Y", hogy Y része Y", és Y"|= psi*.
Ellenben ha jól látom NBG-ben az egy adott osztályra (pl: V, L) relativizált formulák igazsága definiálható, így NBG-ben dolgozva mondhatjuk azt az elegánsabb formulát, hogy:
minden phi in ZFC esenét L|=phi.
Úgy tudom, NBG-ben definiálható az NBG-ben definiálható belső ZFC-modellek igazsága, tehát igazad van.
A kérdésem az, hogy Te hogyan csináltad?
A másik, hogy én a ZF|-ZFL tételt nem tartom kudarcnak, bár L igazsága persze nem definiálható. Ha úgy tetszik, L igazsága nem definiálható általában ZF-ben, tehát nincs osztály-modellelméletünk, de definiálható speciális formulákra, ZF-re, V=L-re.
Aritmetizálva PRA-ban persze igazolhatjuk, hogy L|=phi (Kunen), és ezzel nincs gond (PRA ekkor metaelmélet), de az, hogy L|=ZF, szerintem ZF-tétel. Ugyanis a relativizált semmi más, mint hogy az 'eleme' relációt megszorítottuk jóldefiniálható halmazok egy osztályára, ami ZF-ben definiálható relációt jelent.
Azaz, xe*y iff x,y eleme L_{alpha}, alpha rendszám, és egyébként x tényleg eleme y. Ez miért nem jó, miért nem mondhatjuk, hogy az L igazsága néhány formulára (pl. ZF, azaz rekurzívan végtelen sokra) mégis definiálható ZF-ben? (De nem az L egész elméletéé.)
Tehát a másik kérdésem, hogy erről mi a véleményed?
Így teljesen rendben van, azaz a bizonyíthatóság aritmetizálásán kívül nem tudjuk másképpen csinálni mert az igazság nem definiálható.
Ellenben ha jól látom NBG-ben az egy adott osztályra (pl: V, L) relativizált formulák igazsága definiálható, így NBG-ben dolgozva mondhatjuk azt az elegánsabb formulát, hogy:
Sőt, nem írjuk fel. Az abszolútsági igazolások folyamán ugyanis úgy járunk el, hogy feltesszük, hogy van mindenféle M tranzitív belső modell. ZF|-ZFL a jó tehát.
A V=L relatív konzisztenciájára vonatkozó eredmény pedig abból következik, hogy ZF-modellben az L mindig definiálható a Gödel-operációkkal (minden rendszámra a szintje). Így akkor is, ha nincs is más halmaz; és ekkor is igaz persze az a ZF-tétel, hogy L-ben ZF.
Összefoglalva, azt hiszem, hibásan erőltettem V=L bevitelét az L|=ZF igazolásba.
Egyetértettem Veled a relativizációval kapcsolatban (meg hát az tankönyvi konstrukció), csak indokolatlanul írtam fel V=L segítségével.
Tehát: "Ha L-ben vagyunk, akkor benne ZF" egy ZF-tétel.
Persze mondani lehetne azt is, hogy ezt a tényt, hogy L-ben vagyunk, a ZFL relativizált rendszer felírása már tartalmazza, mert a relativizált eleme reláció definíciójában már benne van az, hogy olyan elemek között áll fenn, amelyek konstruálhatók, ezért V=L felírása felesleges.
Ha viszont esetleg minden halmaz konstruálható, akkor V=L, és igaz az abszolútság is, és az is, hogy L-ben (így V-ben) ZF, és úgysincs más belső modell, mint L (de azért persze beszélhetünk feltételesen mindenféle M belső modellről az abszolútság kapcsán).
Eredetileg erre gondoltam, ezt írtam fel ZF|-"V=L->ZF" alakban. De ahogyan mondtad, ez nem lehet jó, legfeljebb az intuíció érthető.
Tehát akkor szerinted az plédául, hogy ZF|- 'V=L' -> ZF , azt fejezi ki, hogy L modellje ZF-nek? ZF-ből minden ZF-beli phi formula és tetszőleges psi formula esetén triviálisan levezethető, hogy psi-->phi, úgyhogy biztosan nem erre gondoltál, de nem tudom hogy helyette mire.
A relativizációt akartam V=L segítségével felírni; nézzük részletesen.
Az alábbiakat fejből írom, de Jech (1971) alapján.
Tétel. Az, hogy x konstruálható, abszolút bármely tranzitív M-re, amelyre igaz ZFC-nek egy (konkrét) psi tétele.
Gödel. 1. Legyen M zárt psi-re (azaz, konvencióval M|=psi), M tartalmaz minden rendszámot, akkor az "x konstruálható" mondat abszolút M-re.
2. Speciálisan, "x konstruálható" abszolút L-re is, ezért ott igaz.
Következmény. Ha M-ben ZF axiómái igazak és minden rendszám M-ben van, akkor L része M-nek.
Következmény. Con(ZF)=>Con(ZF+"minden halmaz konstruálható", azaz V=L).
Úgy gondoltam, hogy ennél az eljárásnál engedjük, hogy M (és így V) különbözzön L-től, ezért az M-beli 'eleme' reláció és az L-beli 'eleme' reláció különböző dolgok.
Ezért, és ezt külön mondtam, a második ZF 'eleme' relációja más, mint az elsőé.
Ezt azonban csak írtam, de nem jelöltem. Az L-beli ZF 'eleme' relációját definiáljuk a V-beliből úgy, hogy kimondjuk, hogy csak konstruálható halmazok között értelmezett, és ott megegyezik a V-belivel.
Ezért tehát ZF|- "V=L"->ZF felírása pongyola így önmagában, mert olyan, mintha a második ZF epsilonja pont az elsőé volna, és ha így volna, Neked lenne igazad.
De nem, pont ez a relativizáció lényege.
Ezután viszont az a kérdés, hogy ha jó is, amit most írtam, jogos-e ezt
ZF|-"V=L"->ZF formába önteni. Ezt már láttam így leírva, de ez így nem pontos.
Talán
ZF|-"V=L"->ZFL
volna a szerencsés, ahol ZFL azt fejezi ki, hogy ebben a (különben végtelen sok axiómából álló) ZF-ben epsilon relativizált, azaz éppen az L-beli 'eleme' reláció.
De én ezt tudtam, épp ezért mondtam is, hogy a második ZF már a relativizált formulákból áll.
Azt kifejezi, hogy a ZF axiómákból és a V=L-ből AC levezethető,
de azt is, hogy a ZF axiómákból levezethető, hogy HA minden halmaz konstruálható, akkor a konstruálható halmazok ZF(C)-modellt alkotnak.
Tehát akkor szerinted az plédául, hogy ZF|- 'V=L' -> ZF , azt fejezi ki, hogy L modellje ZF-nek? ZF-ből minden ZF-beli phi formula és tetszőleges psi formula esetén triviálisan levezethető, hogy psi-->phi, úgyhogy biztosan nem erre gondoltál, de nem tudom hogy helyette mire.
"Ez a relativizáció egy formalizációja, mert ha ZF-et és V=L-t felteszed, és abból vezeted le, hogy L-ben ZF, akkor CSAK a konstruálható halmazokra, azaz L-re vezeted le, hogy igaz rajta a ZF."
Még annyi, hogy
ZF|-'V=L'->ZF -ben
az első ZF nincs relativizálva, a második viszont (V=L feltevése miatt) igen.
Például, ha az abszolútsági eredményeket ZF-ben igazolod (ügyelve, hogy halmazokra mondd ki és ne osztályokra), az még nincs relativizálva, és felhasználod az abszolútságot tranzitív belső modellekre, így L-re, abból következik a második ZF (az implikáció utótagja), ami viszont már relativizált.
Lehet, hogy valamit félreértek, de szerintem amit írsz az azt fejezi ki, hogy a ZF axiómákból és a V=L axiómából levezethető a kiválasztási axióma, nem pedig azt, hogy a konstruktív hierarchia modellje ZFC-nek.
Azt kifejezi, hogy a ZF axiómákból és a V=L-ből AC levezethető,
de azt is, hogy a ZF axiómákból levezethető, hogy HA minden halmaz konstruálható, akkor a konstruálható halmazok ZF(C)-modellt alkotnak, azaz L-re igaz a ZF relativizáltja erre a belső modellre.
Ez a relativizáció egy formalizációja, mert ha ZF-et és V=L-t felteszed, és abból vezeted le, hogy L-ben ZF, akkor CSAK a konstruálható halmazokra, azaz L-re vezeted le, hogy igaz rajta a ZF.
De hiszen Gödel 1938-40-es relatív konzisztencia-eredménye pont ez volt: ha a ZF konzisztens (V-ben igaz), akkor konzisztens, hogy ZF+AC, sőt, ZF+GCH (L-ben). (ZF|-GCH->AC, de ez 1947-ig nem volt ismert, Sierpinski).
Gödel különben osztályelméletet használt, ha jól emlékszem, de ez nem szükséges.
Amúgy például, hogy a Gödel-féle konstruktív hierarchia osztélymodellje ZFC-nek, azt is csak úgy tudnám formalizálni, hogy az L(x) formula olyan, hogy ZFC-ből bizonyítható a ZFC formulák L-re vett relativizáltja.
ZF|- 'V=L' -> ZFC.
Dedukció-tétellel persze
ZF+V=L|- ZFC (és még sok formula).
Lehet, hogy valamit félreértek, de szerintem amit írsz az azt fejezi ki, hogy a ZF axiómákból és a V=L axiómából levezethető a kiválasztási axióma, nem pedig azt, hogy a konstruktív hierarchia modellje ZFC-nek.
Különben, L persze definiálható osztály, ezért ha V-ben nem ZFC, akkor is létezik (definiálható), hiszen metaelméleti a definíció, a Gödel-operációkkal is lehet, formulákkal is.
Viszont az, hogy L-ben ZFC, már nem automatikus (nem metaelméleti).
Ez a formula számomra azt jelenti, hogy ZF-ből levezethető a V=L axióma és a ZFC axiómák. Nyilván nem ezt akartad mondani, hiszen ha ZF konzisztens akkor ez biztos, hogy nem teljesül.
Teljesen igazad van, elírás volt.
Helyesen kondicionális:
ZF|- 'V=L' -> ZFC.
Dedukció-tétellel persze
ZF+V=L|- ZFC (és még sok formula).
Ez egyébként pont az, amit írtam a relativizálásról.
Ez a formula számomra azt jelenti, hogy ZF-ből levezethető a V=L axióma és a ZFC axiómák. Nyilván nem ezt akartad mondani, hiszen ha ZF konzisztens akkor ez biztos, hogy nem teljesül.
Nem nagyon értem a jelöléseidet, ZF|-C már eleve nem áll fenn ha ZF konzisztens.
V=L az az axióma, hogy "minden x-re létezik alpha rendszám, hogy x eleme L_{alpha}".
Azt mondja tehát V=L, hogy ha valami egyáltalán halmaz, akkor mindig konstruálható, azaz a Konstruktív Hierachia eleme.
ZF-ből ekkor (V=L alatt) igazolható, hogy L elemeire (tehát amelyek valamely L_{alpha} elemei) az AC igaz (sőt, L is definiálhatóan jólrendezhető, de most mindegy).
Még ha van is nemkonstruálható halmaz, L akkor is definiálható, és elemeire igaz V=L (hiszen csak L-beli elemeken kvantifikálsz ekkor, V=L relativizált formula). V-ben persze ekkor V=L hamis.
Sőt, ZF-ben az is igazolható, hogy L elemeire (amelyekre V=L igaz) ZF (mármint ZF axiómáinak L-relativizáltja).
Amikor relativizált formulákról beszél valaki (és Jech is így igazol L|=ZF-et), akkor azt használod, hogy L-nek (elemeinek) vannak tulajdonságai, hogy ha ZF, akkor L zárt a ZF-re (az L-beli halmazok összessége zárt ezekre, azaz ha a ZF-formulák csak L elemein kvantifikálnak, és a paraméterek is belőlük valók, akkor a ZF-axiómák teljesülni fognak L-en). Ezek a tulajdonságok egyrészt a V-beli ZF-ből, másrészt az L-en igaz V=L-ből (vagy ezzel ekvivalensen: L definíciós módjából) adódnak.
Jech a 161. oldalon definiálja a relativizációt. Definition 12.6. és utána, ezt olvastam.
Ha a Ferenczi-könyvet olvastad, ez nem jelenthet gondot. Igaz, ott elsőrendű rendszerek vannak, de akkor is. Olyan egyszerű, hogy célszerű egyedül próbálni.
Hát utána fogok nézni. (Mondjuk véges sok formula esetében a konzisztencia eldöntése számomra is triviális)
Amúgy például, hogy a Gödel-féle konstruktív hierarchia osztélymodellje ZFC-nek, azt is csak úgy tudnám formalizálni, hogy az L(x) formula olyan, hogy ZFC-ből bizonyítható a ZFC formulák L-re vett relativizáltja.
És hogy dönthetem el egy axiómrendszerről nulladrendben, hogy konzisztens-e?
Ha a Ferenczi-könyvet olvastad, ez nem jelenthet gondot. Igaz, ott elsőrendű rendszerek vannak, de akkor is. Olyan egyszerű, hogy célszerű egyedül próbálni.
Helyes és teljes axiómarendszert ad az eljárás, amit adtál?
Egy modellelméletre nézve lehet helyes és teljes egy igazolási rendszer.
4. Ekkor Ult := {[f]:f eleme V^kappa} egy ZFC-modell. Legyen a neve ultrahatvány.
<Ult, E*> elemien ekvivalens V-vel a Los-lemma miatt. Talán az elemi ekvivalencia az egyetlen, amely, modellelméleti tétel lévén, formulákról szól, és nem halmazokról.
Tétel. Ha phi formula, akkor
<Ult, E*>|=phi <=> phi.
Ez pontosan olyan állítás, mint a Reflection Principle. Nem V|=phi, hanem csak phi.
A fenti idézet jó, csakhogy elsoszulott kérdése az volt, hogy hogyan lehet a teljes elemi beágyazást (ahol valódiságot különben nem említett) kizárólag halmazokkal felírni (a valódi osztály-konvenciókat pedig jelezni).
Nekem gondot szokott okozni az igazolások végső formába írása, ezért vállalkoztam a feladatra, ma már látom, hogy néha didaktikailag máshogyan csinálnám.
Egy helyen viszont feloldás nélkül meghagytam a valódi osztályra való hivatkozást, így a válaszom nem is jó. Ez a fenti idézet.
<Ult,E*> ugyanis valódi osztály. Hasonlóan V=L-hez, fel kellene írni ezt az univerzumot, |=-relációját, kizárólag halmazokra való hivatkozással.
Bár a konstrukció szerintem továbbra is felírható kizárólag halmaz-referenciával, V=M-axiómát egyelőre nem látok. M definíciójának alapja ugyanis V, ez a tény a definíció része. Az axióma úgy nézne ki, hogy
'minden x F(x)', ahol az F predikátum pontosan jellemezné az M belső modell minden elemét. Csakhogy a jellemzés maga a j:V->M valódi, elemi beágyazás, tehát V része annak.
Az tehát a probléma, hogy az M-hez tartozást, úgy tűnik, nem lehet anélkül felírni, hogy ne utalnánk M-en kívüli halmazra. L esetében (és HOD-nál, K-knál, core modelleknél) ez nem így van (pl. V=L).
-
A másik probléma, hogy hogyan is írom fel, hogy <Ult,E*>|=phi. Valódi osztály következményrelációja kell, és bár minden további nélkül írjuk, hogy L|=phi, azért ez mégsem pontos.
Itt a Los-lemmát kellene használni, de definícióként, Ult-ra való utalás nélkül.
Ezt lehet is.
Definícióval, Ult|=phi(...[f_i]...),
iff
{x : x - a mérhető - kappa eleme, és phi(...f_i(x)...)} eleme U, U az ultrafilter.
A Los-lemma itt nem tétel, hanem plauzibilis definíció. Ugyanez történik az elemi beágyazás felírásakor, ahol a minden halmazhoz tartozó konstans függvények ekvivalencia osztályai lesznek a "halmazok": ha x halmaz, akkor [cx] lesz az x-nek megfelelő interpretált, konvencióval j(x), és erre mondjuk tételként, hogy
phi(...[cx]...) <=> phi(...x...).
Ezt az előbbi Los-definícióból igazoljuk.
Ez az intuíciónak megfelel; Jech például Los-lemmát használ, és Ult nála olyan, mint bármelyik ZFC-modell. Lehet, hogy én néztem el, de ez így nem tűnik pontosnak, mert - úgy tűnik -, ha a Los-definíciót lemmaként használjuk, valódi osztályra igazolunk (kétségkívül hihetően).
Értem és köszönöm (a linkeket most nincs időm tanulmányozni, talán majd később). Továbbra is az a véleményem, hogy amit nem lehet formalizálni elsőrendű elméletként, az nem matematika (persze ettől még lehet tudomány). Természetesen nem csak ZFC-ben lehet formalizálni, hanem bármilyen más elsőrendű elméletben.
Amúgy például, hogy a Gödel-féle konstruktív hierarchia osztélymodellje ZFC-nek, azt is csak úgy tudnám formalizálni, hogy az L(x) formula olyan, hogy ZFC-ből bizonyítható a ZFC formulák L-re vett relativizáltja.
Szerintem ilyen szituációkban nem tudunk többet tenni, mint azt bizonyítani, hogy valamik bizonyíthatóak, hiszen végtelen sok formula teljesülését egy osztályban már nem tudom 'és'-el összekapcsolni, ha pedig kvantifikálnék formulák felett, akkor a formuláknak az osztályban való igazságát kellene tudnom definiálni, ami nem megy.
és ha itt bizonyítunk valamit végtelen sok formula bizonyíthatóságról, azzal legyünk elégedettek annyira mintha tényleg bizonyítottuk volna őket.
Logikus ismerősöm szerint pedig vannak dolgok amiket már nem nagyon lehet formalizálni, de ha nagyon akarjuk, akkor azért értjük őket és tudunk gondolkodni róluk.
Egyszer a formalizálhatóság korlátairól kérdeztelek és mondtad, hogy nem tudsz ilyen korlátról. Gondoltam, hogy ha elmondom ezeket, akkor talán lesz valami ötleted a formalizálásukra.
