K: A Lorentz transzfomáció csak konstans (t,x) (vagy (t,x,y,z)) értékekre használható, vagy egy t->x(t) függvényre is? V: Természetesen a (t',x')=L(v)(t,x(t)) gond nélkül kiszámítható.
K: De én szeretném az x'-t a t' függvényében kifejezni! V: Ez nagyon jogos igény, de nem feltétlenül könnyű megcsinálni... tkp az x'(t') = (ch α x - sh α id)*(ch α id - sh α x)-1 (t') függvényt kell meghatározni. (itt "x" az eredeti függvény, "id" az identikus függvény, a "-1" a függvény invertálás, a "*" a függvénykompozíció jele)
K: Példaképpen legalább a lineáris esetet meg tudnád mutatni? V: Legyen x=at+b, ekkor x'=(a ch α - sh α)/(ch α - a sh α)*t' + b/(ch α - a sh α). Pl ha v=4/5, ch α=5/3, sh α=4/3 esetén
a b a' b' 1 0 1 0 0 0 -4/5 0 0 1 -4/5 3/5 4/5 0 0 0
Vizsgájuk tehát egy tömegpont mozgását két, azonos origójú rendszerben: vesszős és vesszőtlen, a vesszős sebessége a vesszőtlenben W, az x irányban.
A pont helye változik tehát az idő függvényében: r=(x(t), y(t), z(t)), ha úgy tetszik: R=(t, x(t), y(t), z(t)) ill. r'=(x'(t), y'(t), z'(t)), ha úgy tetszik: R'=(t', x'(t), y'(t), z'(t)) Felírható: R'=L(W)*R, ahol L a Lorentz transzformáció mátrixa. De nem írható fel: r'=L(W)*r, már csak azért sem, mert a komponensek száma nem megfelelő. (Persze ez utóbbit fel lehetne írni mondjuk r'=l(W)*r, valamiféle l Galilei mátrix-szal.) Mind r és r', mind R és R' persze vektorok Nevem Teve értelemben, tehát összeadhatók, számmal szorozhatók stb. pl. ha több ilyen pont mozog, egymáshoz képesti helyzetük megadható pl. különbségképzéssel (szorzás -1-gyel, összeadás) a választott koordinátarendszerben.(Persze nem a hozzájuk rögzítettben.)
Namost a pont sebessége: v=(dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt), ha úgy tetszik: V=(dt/dt, dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt) ill: v'=(dx'(t')/dt', dy'(t')/dt', dz'(t')/dt'), ha úgy tetszik: V'=(dt'/dt', dx(t')/dt', dy(t')/dt', dz(t')/dt')
aholis a V-k első tagja 1. (Ha nem lenne specrel, akkor t'=t lenne és v'=l(W)*v stimmelne, ami mutatja, hogy a v és v' vektorok, nem csak Nevem Teve értelemben, hanem abban az értelemben is, hogy ugyanúgy transzformálódnak, mint r.)
De van specrel.
Ekkor azonban nem írható fel, hogy v'=L(W)*v, a komponensek száma miatt, ez nem is érdekes, de, és ez a lényeg: V' sem írható fel, mint L(W)*V. Éppen ezért V és V' nem vektorok abban az értelemben is, hogy ugyanúgy transzformálódnak, mint az R-ek.
Hanem.
Számítsuk ki a tömegpont sajátidejét. dT=gyök(dt2-dx2-dy2-dz2) ez ugyanakkora, mint dT'=gyök(dt'2-dx'2-dy'2-dz'2), ezért itt a ' nem kell már. Integráljuk ezt a mozgás folyamán, az origóból indulva, aholis T=0 legyen. T minden pontban ismert mindkét rendszerben, a tömegponttal történő egyes eseményekhez azonos T tartozik mindkét rendszerben. Ezért T természetesebb paraméter a mozgás megadásához, mint t ill. t':
R=(t(T), x(T), y(T), z(T)) ill. R'=(t'(T), x'(T), y'(T), z'(T))
Definiáljuk a sebességet ennek deriváltjaként:
U=(dt/dT, dx(T)/dT, dy(T)/dT, dz(T)/dT) ill. U'=(dt'/dT, dx'(T)/dT, dy'(T)/dT, dz'(T)/dT)
Itt tehát a vektorok első tagja nem 1, hanem 1-nél nagyobb, ami dT definíciójából látszik: dT kisebb mindkét dt-nél.
Azonban (és ez mondandóm lényege) U'=L(W)*U, tehát ez a sebesség megfelel annak, hogy ugyanúgy transzformálódik, mint R -> R'-be.
Ez utóbbi pongyolán, de helyesen fogalmazva abból látható, hogy R'=L(W)*R -> dR'=L(W)*dR -> dR'/dT=L(W)*dR/dT -> U'=L(W)*U, mivel dT mindkét rendszerben ugyanakkora.
Más kérdés, hogy ennek mi a köze az általunk vektorként tisztelt v-hez ill. v'-höz.
Még egy körülmény, ami a fentieket azonos értelemben kiegészíti:
Minden trafótól elvárjuk, hogy invariáns mennyiségeket invariánsan hagyjanak. Pl. ilyen egy vektor hossza. Az L(W) trafóval az R és R' hossza azonos, és ugyanígy azonos az U és U' hossza (Minkowski), ez utóbbi éppen =1 mindkettő. Nem azonos azonban a V és V' hossza, ezért sem lehet V vektor.
Az impulzusvektorhoz ez úgy kapcsolódik, hogy az impulzus is úgy lesz vektor, ha nem m*dx/dt, hanem m*dx/dT képlettel definiáljuk. Ekkor az időszerű komponenens m*dt/dT alakilag, azaz:
I=m*dR/dT legyen az impulzusvektor (egyelőre). Ennek hossza tehát megmaradó mennyiség, magától, éppen m. m tehát a I vektor hossza. Az első tag jelentése: Vegyünk most egy, a vesszőtlen rendszerben W állandó sebességgel haladó m tömegű pontot. Ekkor ez a tömegpont a vesszős rendszerben áll: x', y', z'=0, dt'=dT. Ekkor az I így néz ki: (m, 0, 0, 0).
A vesszőtlen rendszerben az első tag: m*dt/dT=m/gyök(1-W2), ami kifejtve: m+m/2*W2+ ..., azaz ez az energia, így m-et nevezhetjük nyugalmi energiának, de az is látható volt, hogy m az I vektor invariáns hossza.
I tehát nem az impulzusvektor, ahogy előbb mondtam, hanem az energia-impulzus vektor.
Más kérdés, hogy külön az m*dx/dT, m*dy/dT, m*dz/dT-k megmaradnak-e, ill. milyen formában. Ez már fizika, impulzusmegmaradás. Az jön ki, hogy ennek hossza (Euklidesz) megmarad. Ebből tehát kijön az energiamegmaradás is.
Úgy látszik, hogy a Te általad leírtakkal ellentétben az általam leírtak nem érthetőek, és nem követhetőek (ez persze az énszámomra nem új, néha magam sem értem magam), a hiba nem a Te készülékedben van. Arról ugyanis már több alkalommal meggyőződhettünk, hogy készüléked jó.
Én azt hiszem, értem amit írsz, jó is, csak én másra akarok kilyukadni, amit nem tudok rendesen kinyökögni.
Érthető és követhető leírást csak hosszas fejtegetésekkel tudnék adni. Jöjjön, vagy hagyjuk? (Mondjuk: szerintem se túl fontos a mondanivalóm. Habár én végül az impulzus"vektor"hoz szeretnék így eljutni, meg a tömeg<->energiához)
Amit leírsz érthető és követhető, eltekintve egy apró elütésől: az utolsó formulában dx helyesen dt, ha jól értem. Igen, elnézést az elírásért.
A többit nem egészen értem, egy (t,x,y,z) eseménynek nincs sebessége csak egy t->(x(t),y(t),z(t)) függvénnyel leírható 'mozgó pontnak', (ezt írhatjuk (t,x(t),y(t),z(t))-nek is, itt a 't' nem szám hanem változó). Ez a sebesség is egy függvény t->(vx(t),vy(t),vz(t)) = (dx/dt,dy/dt,dz/dt), amit írhatunk (t,vx(t),vy(t),vz(t))-ként is.
[Most látom hogy mivel zavartalak meg: az időnek az idő szerinti deriváltja természetesn kiszámítható (dt/dt=1), de praktikus értelme nincs, talán kár is volt előhoznom]
(Megjegyzés: egy eléggé pongyola jelölést alkamaztam, a 'dx/dt' korrektül x'(t) nek írandó (sőt, igazábol az 'x' fölé kellene egy pontot tenni!), csakhogy az x' itt egész mást jelent... úgyhogy maradjunk ennél a pongyola jelölésnél, csak vigyázzunk, hogy ne egyszerűsítsünk d-vel: dx/dt = x/t alapon)
Köszönöm válaszod. Amit leírsz érthető és követhető, eltekintve egy apró elütésől: az utolsó formulában dx helyesen dt, ha jól értem.
Ha pl. a két koordináta, t és x egy az origóból induló mozgó tömegpont koordinátái az alaprendszerben, akkor ennek sebessége w=x/t. A (t,x) deriváltja (1,w).
A vesszős rendszerben (a két rendszer origója ugyanaz az esemény, a tömegpont indulása) ezen pont koordinátái t', x', ennek sebessége tehát w'=x'/t'. A (t',x') t szerint ideriváltja: L(v) (1,w), ami nem (1,w').
Ezért az (1,w) nem vektor.
Hanem:
V: A (vx,vy,vz) sebesség nem vektor. Ez a válsaz. A "hely"koordináták: (t,x,y,z), ezek az L(v) szerint transzformálódnak a koordinátarendszer váltásakor:
L(v) (t,x,y,z), = (t',x',y',z'). A helykoordináta t szerinti deriválta: (1,w,0,0) nem vektor, mert transzformáltja nem L(v) (1,w,0,0)
Hanem a T sajátidő szerinti derivált a vektor: (dt/dT, dx/dT, dy/dT, dz/dT), mert erre
(könnyű belátni: dT invariáns, mindkét rendszrben ugyanaz.)
Szavakban: a hagyományos (3-as) sebesség nem vektor, de a 4-es sebesség igen, nem csak azért, mert összeadhatók, szorozhatók stb., hanem mert követik a koordaniátatranszformációs szabályt is.
Én ahol lineáris algebrát tanultam, ott a vektorok arról ismerkedtek meg, hogy lehetett őket összeadni, kivonni, skalárral szorozni, van köztük nullvektor (és még pár hasonló egyszerű feltétel, bővebben itt: Vektortér - Wikipédia). Ha az a kérdés, hogy a transzformált deriváltja hogyan viszonyul az eredeti deriváltjához, azt is kiszámíthatjuk:
K0: Kedves Nevem Teve:lehet-e ezt a fórumot úgy játszani, hogy egyvalaki feltesz egy kérdést, és egy másvalaki megválaszolja, vagy csak úgy lehet, hogy a kérdés mellé egyből beírjuk a választ is?
Lenne ugyanis egy RAQ-om, egyelőre a válasz nélkül írom be, hátha valakit elgondolkodtat:
K: legyen egy K: t-x-y-z koordinátarendszerem, és egy másik K': t'-x'-y'z', mely az előzőhöz képest x irányba mozog V sebességgel. A K és K' koordinátái által definiált "hely"vektorok lineáris teret alkotnak, a két kord.rsz. között a Lorentz trafó az átváltás, mely felírható, minta a koord.trafó mártixa, ahogy korábbi kedves válaszodban is láthattuk bemutatva.
Én valahol azt hallottam, hogy egy vi indexes mennyiség nem attól válik vektorrá, hogy i=1, 2, ..., hanem attól, hogy komponensei követik a koordinátatrafót. A sebesség komponensei azonban nem követik.
Fenti példánknál maradva x->x' trafót nem követi a vx->vx' trafó, még kevésbé követi a vy->vy' trafó, hiszen pl. a vy sebességet transzformálni kell, az y-t pedig nem. A sebesség tehát nem vektor e szerint?
K: De én láttam egy olyan számítást, ahol két sebességet csak úgy símán összeadtak! Az úgy biztos rossz volt, nem?! V: Nem. Ha egy adott rendszeren belül névze két tárgy egymás felé mozog v1 és v2 sebességgel, akkor az őket elválasztó L távolságot L/(v1+v2) idő alatt győzik le (vagyis akkor találkoznak); ha viszont a gyorsabb üldözi a lassabbat, akkor L/(v1-v2) idő alatt.
K: Ez természetesen azt is jelenti, hogy az egyik tárgyból nézve a másik sebessége v1+v2 illetve v1-v2. V: Természetesen nem jelenti azt. Pontosan ilyenkor van szükség a sebességek összeadásának lenti képletére: (v1+v2)/(1+v1*v2) illetve (v1-v2)/(1-v1*v2) a helyes.
Ez arra is rámutat, hogy a sebességösszeadásban semmi csoda nincs, csak nem a koordinátahányadosokat (x/t) kell összeadni, hanem azok arth-ikat. Ugyanúgy, mint a megszokott síkbeli koordinátarendszer-elforgatásoknál nem a meredekségeket (y/x), hanem azok arctg-eiket, a szögeket.
Így tehát semmi csoda nincs a c határsebesség mivoltában.
Személyes megjegyzés: Amikor ezt megtudtam, nekem ez okozta az AHA élményt a specrel tanulásában. Ezért is vetettem fel kérdésemet.
K: Tegyük fel hogy három rendszerünk van (K, K' és K''), amelyek origója egybeesik, K-hoz képest K' sebessége v, K'-höz képest K'' sebessége w. Hogyan történik a koordináták átszámítása K-ból K''-be? V: Legegyszerűbben a Lorentz-transzformáció kétszeri alkalmazásával: (t'',x'')=L(w)(t',x')=L(w)L(v)(t,x).
Arra is mód van, hogy az L(w)-t és az L(v)-t mátrixnak tekintve először a L(w)L(v) szorzatot számítsuk ki. Ha mondjuk v= th α és w=th β akkor L(th β)*L(th α)= ( ch β -sh β ) ( ch α -sh α ) = ( ch β * ch α + sh β * sh α -ch β * sh α - sh β * ch α) = ( -sh β ch β ) ( -sh α ch α ) = ( -sh β * ch α - ch β * sh α sh β * sh α + ch β * ch α) =
( ch(β+α) -sh(β+α) ( -sh(β+α) ch(β+α)
Ezt az eredményt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ilyenkor nem a sebességek adódnak össze, hanem a sebességek area tangens hiperbolikusza. Egyszerűbben szólva v+w = th (α + β) = th (ar th v + ar th w) = (v+w)/(1+v*w).
A hiperbolikus képletekben az a jó, hogy rögtön látszik, hogy a rapiditás a Lorentz-transzformációk csoportjának kanonikus paraméterezése, azaz ez lesz az a változó, ami "összeadódik".
off K: Igaz, hogy a forgás centrifugális erőt hoz létre? Vagy inkább centripetálisat? Esetleg mindkettőt? V: Maradjunk annyiban, hogy a forgómozgás feltétele az, hogy a testre ható erők eredőjének sugárirányú komponense Fr= -m*rv2/r2 legyen.
K: De ezt az erőt nem a forgás hozza létre? V: Nem. Az adott helyzettől függ, hogy ezt az erőt gravitáció, kötél, rúd vagy bármi más hozza létre.
K: Ez az egyenletes körmozgásra is igaz? V: Igen, azzal a kiegészítéssel, hogy ott a testre ható erők eredőjének sugárra merőleges irányú komponense nulla kell legyen.
K: Mit jelent az, hogy a Lorentz-transzformáció felfogható hiperbolikus forgatásnak? V: Nézzük az egyszerűsített képletet: t'=(t-x*v)/sqrt(1-v2) x'=(x-t*v)/sqrt(1-v2)
Tegyük fel, hogy v=th α = sh α/ch α valamilyen α számra. Ekkor 1/sqrt(1-v2) = ch α tehát a transzformáció mátrixa az alábbi alakra egyszerűsödik: ( ch α -sh α ) ( -sh α ch α )
Én úgy tudom, egy hangsebességnél gyorsabban repülő hangját nem halljuk a földfelszínen Ez tévedés.
csak amikor a hullámfront elér bennünket, akkor hallunk egy robbanás-szerű hangot Ez kb stimmel: amikor átlépi a hangsebességet, erős hang ('robbanás') keletkezik, amit ő maga persze nem hall, de a földön lévők igen.
De ne ragadjunk le a hangnál, az alapkérdés az volt, hogy ha a gravitáció fénynél nagyobb, akár végtelen sebességgel terjed, megmérhetjük-e ezt fény segítségével, és nem következik-e triviálisan, hogy mindenképpen fénysebességet mérünk, hiszen a fény által közvetített hatások ilyen sebességgel terjednek.
Mit jelent az, hogy az, hogy "a fény segítségével mérünk"?
De van egy még érdekesebb kérdésem: nem furcsa, hogy abban a Világegyetemben, amely tele van pörgő, forgó, keringő óriási tömegekkel, ráadásul az egész tágul, vannak objektumok, amelyek közel fénysebességgel tágulnak, eddig egyetlen gyengécske gravitációs hullámot sem sikerült detektálni. Épp azért, mert gyengécske...
Egyébként nem tudom miért nem lehet a Holdat arra használni, hogy megmérjük a gravitáció terjedési sebességét. Az árapály csúcsának az idejét kellene kimérni, és ezt ahhoz viszonyítani, mikor látszik a Hold éppen felettünk. Ha a kettő egyidőben történik, akkor a gravitáció fénysebességű. Ha a csúcs korábban érkezik, akkor gyorsabb a fénynél, ellenkező esetben lassabb. Persze biztos nem egyszerű a mérést elvégezni, de a kőzetben rengésmérő műszerekkel talán ki lehetne mérni valamit. Nem hinném hogy ez jó lenne, például azért sem, mert a Föld átellenes oldalán is dagály van olyankor... nomeg a dagály egyharmadáért a Nap felelős, csak kétharmadáért a Hold...
Én úgy tudom, egy hangsebességnél gyorsabban repülő hangját nem halljuk a földfelszínen, csak amikor a hullámfront elér bennünket, akkor hallunk egy robbanás-szerű hangot, ezt nevezik hangrobbanásnak, ebből a Doppler-effektust kihámozni nem tudom hogyan lehet.
De ne ragadjunk le a hangnál, az alapkérdés az volt, hogy ha a gravitáció fénynél nagyobb, akár végtelen sebességgel terjed, megmérhetjük-e ezt fény segítségével, és nem következik-e triviálisan, hogy mindenképpen fénysebességet mérünk, hiszen a fény által közvetített hatások ilyen sebességgel terjednek.
De van egy még érdekesebb kérdésem: nem furcsa, hogy abban a Világegyetemben, amely tele van pörgő, forgó, keringő óriási tömegekkel, ráadásul az egész tágul, vannak objektumok, amelyek közel fénysebességgel tágulnak, eddig egyetlen gyengécske gravitációs hullámot sem sikerült detektálni. Mintha egy óriási óra belsejében lennénk, de nem hallanánk a fogaskerekek surrogását, vagy a lengőkerék percegését. Az egésszel azt szeretném érzékeltetni, hogy nagyon úgy néz ki nincsenek gravitációs hullámok.
Egyébként nem tudom miért nem lehet a Holdat arra használni, hogy megmérjük a gravitáció terjedési sebességét. Az árapály csúcsának az idejét kellene kimérni, és ezt ahhoz viszonyítani, mikor látszik a Hold éppen felettünk. Ha a kettő egyidőben történik, akkor a gravitáció fénysebességű. Ha a csúcs korábban érkezik, akkor gyorsabb a fénynél, ellenkező esetben lassabb. Persze biztos nem egyszerű a mérést elvégezni, de a kőzetben rengésmérő műszerekkel talán ki lehetne mérni valamit.
Nem kell nekem kiadnom a hangot, van annak saját hangja. Köszönöm és a varakozás idejéből (vagyis a hang 'vöröseltolódásából') következtetek a távolodás sebességére.
Úgy gondolod, hogy egy hangnál gyorsabban mozgó repülő után küldesz egy hanghullámot, majd megvárod, míg a visszaverődött hullám megérkezik? Gratulálok, és türelmes várakozást...
Nekem meg az a kérdésem, hogy ha egy szuperszónikus repülő hangját figyeljük, vajon megállapíthatjuk-e a sebességét (mondjuk a Doppler-effektus alapján)?
Nekem is van egy kérdésem: mondjuk ha a repülő fénysebességnél gyorsabban repülne, vagy mondjuk végtelen lenne a sebessége, és a sebességét radarral mérnénk, mit mondanánk mekkora a sebessége?
Újabb kérdésem: ha a gravitációs hullámok sebességének méréséhez rádióhullámokat és fényt használnak, nem lehetséges, hogy emiatt nem is kaphatnak más eredményt, csak fénysebességet?
Persze a cikkből semmi konkrétum nem derül ki. Viszont lenne egy kérdésem. Ha a Nap eltűnik, és a Föld még több, mint 8 percig a pályáján marad, mi tartja akkor ott? A térben haladó gravitációs hullámok? Ezek ráadásul nem is visznek energiát, mint a fotonok, mert ha így lenne, akkor mi ennek a kifogyhatatlan energiának a forrása? Hiszen egy tömeg az idők végezetéig képes vonzani egy másikat, a vonzóerő nem fogy el.
K: Valaki azt mondta, hogy a fény sebessége c=1. V: Hazudott. A fény sebessége körülbelül 300,000,000m/s.
K: Igazából azt mondta, hogy a mértékegységek úgy is megválaszthatók, hogy a fény sebessége c=1 legyen. V: Ez igaz. Ha például az időt méterben mérnénk... K: Az lehetetlen! V: De ha mégis lehetséges lenne, akkor így számolnánk ki: t[méter]=t[másodprec]*c; például 1µs = 300m.
K: És akkor hogyan számolnánk ki a sebességet? V: A méterben vett távolságot osztanánk a méterben megadott idővel, és egy dimenziótlan számot kapnánk, pl c=1.
K: Mi lenne ennek az előnye? V: Egyes képletek egyszerűbbek lennének, pl: t'=(t-x*v/c2)/sqrt(1-v2/c2) x'=(x-t*v)/sqrt(1-v2/c2) helyett t'=(t-x*v)/sqrt(1-v2) x'=(x-t*v)/sqrt(1-v2)
"A fénysebességgel terjedő rengési hullámok akár a Földet is elérhetik - mostanáig azonban még nem sikerült igazolni a létezésüket."
Végül is ez a lényeg.
"A Geo 600 a tengerentúli érzékelőkkel együtt bejelzett, amikor Ausztráliában földrengés következett be. "
Ha másra nem, arra jó lesz, hogy földrengéseket jelezzen előre. Azért nem lehet kis dolog megalkotni egy olyan berendezést, ami ennyi komoly zavaró hatásnak van kitéve, miközben a keresendő hatás nagyságrendekkel kisebb lehet.
Sajnos csak kép formájában tudtam kimásolni, remélem, nagyban látszik majd!
Miért bizonyítja ez, hogy a gravitációs hatás fénysebességgel illetve ahhoz közel terjed? (A mérés +/- 20%-os.)
Nem a "gravitáció" fénysebességű, hanem a gravitációs hullám... persze ezt nem nagyon lehet kimérni, hiszen ritkaság hogy jelentős mennyiségben tömeg keletkezzen vagy megszűnjön... de mintha nemrég lett volna egy ilyen hír az index-en is http://index.hu/tech/tudomany/gravrenges/
