Az ez sajnos nem az mögött vmi olyasmire gondoltam, mint ami szembenő biciklisták közt ide-oda röpködő légyről szóló példa megoldásában van. Azaz valahogyan egyszerűen látszik, hogy a kiindulási négyzet oldala a megoldás.
De amúgy amit mondasz, elég egyszerű. Ui. ha éppen s oldalhosszú a négyzet és v a bogarak pillanatnyi sebessége, akkor egy infinitezimális dt idő alatt mindegyik bogár v.dt utat tesz meg a szomszédos csúcs felé (adott körüljárás szerint). Tehát dt idő múlva az új négyzet oldalhossza a Pitagorasz-tétel szerint ((s-v.dt)2+(v.dt)2)1/2=s-v.dt+O((dt)2). Tehát ds/dt=-v, vagyis a négyzet oldala ugyanakkora mértékben csökken, mint amennyivel a bogarak által megtett távolság nő. Tehát minden bogár egy oldalhossznyi utat jár be a találkozásig.
Azt kellene bizonyítani, hogy a négyzetek oldalhossza éppen a bogarak sebességével csökken (ami első ránézésre triviális).
Rosenkrantz bizonyítása tökéletes (precízen formalizálható) és az én 1017-esem is az (ez utóbbi előnye, hogy a pályát pontosan leírja). Tehát csak annyit mondhatsz, hogy ezeknél van egyszerűbb (frappánsabb) bizonyítás.
Szerintem írj egy pár soros programot. Beleírod a menetrendet, meg egy véletlen időpont generátort és egy eredmény összegzőt. Sacc/kb kevesebb mint 50 sor.
Ha látod az eredményt, mindjárt megnő a fogékonyságod az itt elhangzott megoldásokra.
Az a meggondolás, amely szerint a bogár pillanatnyi sebessége 45°-os szöget zár be a bogárhoz húzott sugárral, (mert a bogarak mindíg ugyanolyan középpontú négyzet csúcsaiban vannak) , arra a következtetésre vezet, hogy a bogár által megtett út a kiindulási négyzet köré írható kör sugarának a gyökkétszerese, ami éppen a négyzet oldala. Szerintem is van egyszerű megoldás. Ez sajnos nem az.
Helyezzük el a 4 bogarat a komplex számsík 4. egységgyökeibe és nevezzük át őket a megfelelő számokra. Egész pontosan úgy rendezzük el a bogarakat, hogy az i vonzza az 1-et, a -1 vonzza az i-t, a -i vonzza a (-1)-et, végül az 1 vonzza a (-i)-t. Ha f(t) jelöli az 1 bogár t pillanatbeli helyzetét, akkor a forgásszimmetria miatt i.f(t) adja meg az i bogár helyzetét ugyanebben a pillanatban. Az 1 bogár az i bogár felé igyekszik, ezért a sebessége c.(i-1).f(t), ahol c egy pozitív konstans. Itt hallgatólagosan feltételeztem, hogy minden bogár sebessége arányos a szerelmétől való távolságával. Enélkül a feltételezés nélkül nem logaritmikus spirál jön ki a bogarak pályájára. Visszatérve, azt kaptuk, hogy f'(t)=c.(i-1).f(t), vagyis f(t)=C.ec(i-1)t, ahol C egy konstans. Tudjuk, hogy f(0)=1, vagyis C=1, vagyis f(t)=ec(i-1)t. Ez azt jelenti, hogy a bogarak valóban végtelen logaritmikus spirálon mozognak, aminek ívhossza
Bocsánat. Visszavonom az előzőt: tényleg oldalhossznit tesznek meg.
És szerintem a bizonyítás matematikailag teljesen korrekt: belátható, hogy a szomszédos pontok sebessége mindig merőleges. Így két pont távolsága mindíg pontosan olyan sebességgel csökken, ahogyan az egyik halad, vagyis a távolságot annyi idő alatt küzdik le, amíg egy oldalhossznit megtesznek.
Ez persze így önmagában matematikailag enyhén szólva nem teljes, de mindenki érzi, hogy konvergál... :-)
Én egyáltalán nem érzem, hogy oldalhossznyit mennének.
Sőt az intuícióm azt súgja, hogy fejenként oldalhosszni* PI / 4 - et mennek, vagyis összesen a négyzetbe beleírható kör kerületét teszik meg, és mindegyik egy-egy negyedkört tesz meg.
Be tudnátok bizonyítani, hogy rossz a sejtésem? (de ha nem is negyedkört, bár az lenne a legyszebb, akkor is kevesebb mint oldalhossznit tesznek meg szerintem.)
Gyanítom, hogy korrekten csak eléggé komplikáltan lehet bizonyítani a dolgot. Akkor pedig ez az a fajta feladvány, ahol egy matematikus megnézi, tényleg annyi-e az annyi, aztán ha igen, akkor jó lesz szórakoztató feladványnak.
Ha meg nem annyi, akkor piros pontos példa lesz belőle matek szakosoknak... :-)
Gondolom a következő kissé fatengelyes differenciálszámítással: - a bogár megy egy kis dx-et a párja felé, ezzel dx-et lefarag a távolságból - közben az egy erre merőleges dy-t tesz meg - mivel a dy merőleges, ha elég kicsi, nem változtat a maradék távolságon
Ez persze így önmagában matematikailag enyhén szólva nem teljes, de mindenki érzi, hogy konvergál... :-)
Minden a menetrenden múlik. Pl. ha az állomásra mindig x:01,x:06,x:11,x:16,...,x:56-ra jön balról, és mindig x:02, x:07, x:12, x:17,...,x:57-kor jön jobbról a szerelvény, akkor az esetek 20%-ban fog erre, és 80%-ban arra menni ezzel az eljárással.
Ja, a 2. feltetelt akartam épp beírni, de előtte frissítettem és akkor láttam, hogy már beírtad. :) Az első eszembe se jutott, az azért szerintem triviális. A 2. viszont nem.
Csak leírom szavakban is. Az autó menetidejéből faragott le 10 percet a sétával (ha nem szokott az autó várni). Ha egyenletes az autó sebessége oda és vissza, akkor 5 percet az oda, 5-öt a visszaútból faragott le. Ha az autó ötreért volna az állomásra, akkor 5 perccel előbb találkoztak, vagyis 4:00-tól 4:55-ig sétált.
Valamiért :) nincs kedvem végignézni a megoldásodat, de ez a rész biztos rossz, mert az eredeti feleadat nem így szól:
"A res most egy fuggoleges vonal C ponton at. Ha ebben van villamos es kohint az or akkor A vagy B rab nyer, aszerint, hogy A bol B be vagy B bol A ba halad a villamos."
Te egyszerűen egy másik feladatot akarsz megoldani. Te ugyanis feltételül szabtad, hogy a pillanat pont akkor legyen látható, amikor az őr köhint, de az eredeti feladat szerint az a lényeg, hogy a köhintés után honnan tűnik fel a villamos. Nem rögtön, nem a most számít, hanem az, hogy legközelebb honnan jön.
Van ennek egy másfajta megfogalmazása is, ami talán kevésbé félreérthető. Fickó mindig 4 és 5 között hagyja el a munkahelyét (véletlenszerűen, egyenletes elosztást feltételezhetünk) és ezután vagy hazamegy vagy pedig először meglátogatja az anyját. Hogy igazságos legyen kitalál egy módszert annak eldöntésére, hogy hova menjen. Lemegy a metróba, ahol felszáll a legközelebb beérkező szerelvényre, függetlenül attól, hogy az jobbra vagy balra megy. A jobbra menő szerelvény hazaviszi, a balra menő meg az anyjához. Ez igazságos módszernek tűnik, mivel 4 és 5 között mindkét irányba ugyanakkora időközönként jár a metró. Anyja egy idő után mégis panaszkodik, hogy ritkán látogatja, ezért a fickó elgondolkodik és rájön, hogy igaza van az anyjának, mert nem az esetek 50%-ában megy meglátogatni, hanem jóval kevesebbszer. Hogy lehetséges ez?
Hát én ezt most úgy gondolom, hogy a 10 percenként induló villamosok, még ha az egyik késleltetve indul is, a sínpálya fix kiszámolható xk pontjain találkoznak szembe egymással. Legyen a börtön az xb helyen. Ekkor legyen i olyan, hogy xi < xb < xi+1. A kérdés az, hogy a börtön az xi vagy az xi+1 ponthoz esik-e közelebb.
Ezt nem teljesen értem, ill. nem látom át. Miért valószínűbb a később induló (és ezért később a börtön elé érkező) villamos megpillantása a korábban indulónál?
Másik homályos érzésem, hogy minél több villamos járkál, annál kevésbé számít, hogy mennyire közel esik a börtön az egyik végállomáshoz, azaz annál inkább kiegyenlítődnek az esélyek.
