Ez a topik a Logikai feladványok offtopik szálából jött létre, melyben Dulifuli kifejtheti, hogy miért nem *lehet* az, hogy az idő és a tömeg relatív, a többiek meg megpróbálhatják megértetni vele, ill. kérdésekkel tesztelni a Dulifuli-jelenséget.
Még hozzátenném, hogy én a természetes számokat nem pontként fogom fel, hanem kis önálló élőlényekként, mindegyik saját kis lelkivilággal: 0,1,2,3,stb. Kb. úgy, ahogy egy kémikus a kémiai elemeket felfoghatja (szén, oxigén, ólom stb.)
A természetes számok tulajdonságait axiómák rögzítik. Ezeknek az axiómáknak több modellje van (ez is Gödel nemteljességi tételének egy változata), olyan modellje is, amiben sokkal több elem van, mint a szokásos természetes számok. Sőt, annál is sokkal több eleme van, mint ahány pont egy végesdimenziós térben elférhet. De még annál is több eleme, mint ahány részhalmaza van ezeknek a tereknek. Ezekben a modellekben tehát olyan "nemstandard természetes számok" is vannak, amiket cseppet sem lehet úgy elképzelni, mint a szokásos "standard természetes számok"-at. Ezek a szokásos 0,1,2,3,4,... szimbólumokkal jelölt számok mindegyikénél nagyobbak, mégis lehet őket összeadni, szorozni, vannak közöttük páros és páratlan számok, négyzetszámok, prímszámok stb., csak elképzelni őket igen nehéz (én úgy mondanám: lehetetlen). Némiképp paradox, hogy minden formális elméletet csak axiómákkal lehet megragadni, de az elmélet egy konkrét modelljét már nem lehet axiómákkal megragadni (a nagyon egyszerű modellektől eltekintve). Itt közbevetem, hogy persze ha valaki felsorolja a modellben igaz összes állítást, akkor ez a formulahalmaz jellemzi, megragadja a modellt; ezzel a formulahalmazzal az a baj, hogy algoritmikusan nem felismerhető (magyarán nincs véges eljárás, ami egy állításról eldönti, hogy az adott modellben igaz-e vagy sem, ez Church egy híres tétele), ami miatt ez a formulahalmaz nem tekinthető axiómarendszernek. Ugyanakkor mégis mindenki fejében él egy konkrét modell a természetes számok axiómarendszerére: 0,1,2,3,4,... (szépen egyesével eljutunk minden számhoz). Ez az axiómák ún. standard modellje, amit a halmazelméletben (tehát konkrét halmazokkal) meg lehet konstruálni. A számelmélészek igazából ezzel a konkrét modellel foglalkoznak, tehát a "mindennapi" számokkal. De a probléma az, hogy a halmazelmélet axiómáinak is több modellje van (pl. van olyan modellje, amiben igaz a kontinuumhipotézis, de olyan is, amiben nem). Tehát ugyan a halmazelmélet nevű univerzumban rögzíteni tudjuk (rá tudunk mutatni), hogy konkrétan mit értsünk természetes számok alatt, de ettől még mindenki fejében más konkrét modell élhet a halmazokról. És itt most nem elképzelésbeli különbségekről beszélünk, hanem arról, hogy "mi igaz a halmazokra és mi nem". Szóval ez a kérdés sokkal-sokkal összetettebb, mint gondolod, és minden oldalról mélyen megvizsgálták már matematikusok a matematika saját eszközeivel. Az axiómarendszerek és modellek mély tudománya a matematikai logika: egyetemi tantárgy, könyvek százai, cikkek tízezrei szólnak róla.
Elfogadom, mert nem ismerem eléggé. Mindenesetre el tudom képzelni azt is, hogy ha a természetes számokat nem pontnak, hanem pont körüli n-dimenziós (azaz n szabadságfokú) környezettel együtt fogjuk fel, akkor a matematika is úgy bele menne a sötétbe, ahogy ezt fizikában manapság a húrelmélet teszi. Gondolom.
Úgy gondolom ilyen kétely a matematikában nem létezik, ha már az axiómát megtette a matematikus alaptételnek.
Ugyanez a kétely a matematikában is létezik, csak a kétely mértéke sokkal kisebb. Arról van szó, hogy egy elég gazdag axiómarendszer ellentmondásmentességét csak egy tágabb rendszer segítségével (pl. a halmazelmélet eszközeivel) lehet belátni (ez Gödel nemteljességi tételének egy erősebb változata). De ez nyitva hagyja a tágabb rendszer ellentmondásmentességének kérdését. Végső soron a mai matematika legnagyobb része egy standard halmazelméletben van megfogalmazva, modellezve, de ennek a halmazelméletnek az ellentmondásmentessége nem több tapasztalati ténynél, illetve erős meggyőződésnél a matematikusok részéről.
ebből akárhogy csűröd, nem sül ki hasznos megkülönböztetés.
ami természetes és magától értetődő, arra nem aggatunk fogalmakat. matematikában minden alapfeltevés önkényes, emiatt egyenértékűek.
a fizikában egyetlen alapfeltevés sem teljesen önkényes, hanem azonos mértékben egyszerre önkényes illetve tapasztalati (a tapasztalat korlátain belül önkényes). emiatt ezek is egyenértékűek.
ez nem probléma, nem kérdés, és nem is érdekes. evidencia.
Rendben, elfogadom, de Gödellel akkor méginkább igazoltad a matematika és a fizika előfelvetései közötti különbséget.
Itt azt mondom, hogy a fizikus sohasem tudhatja, hogy teljeskörűek-e az előfelvetései, hiszen az előfelvetésével csak kiragadott az anyag egy tulajdonságát, és sohasem tudhatja, hogy ez a tulajdonság egy másikkal kombinálva nem dönti-e dugába a modelljét. Úgy gondolom ilyen kétely a matematikában nem létezik, ha már az axiómát megtette a matematikus alaptételnek.
Azt hiszem Hraskó csak azért beszélt axiomatikus felépítésről a fizikában, mert tudja, hogy a szóhasználat a fizikában is az axiómát fogadta el, és ugyanúgy nem lehet bevezetni már a posztulátumot, mint az áramirányt megfordítani.
A könyvében viszont a specrelnek két alaptézisét posztulátumnak említi, és ebből számomra világos az állásfoglalása.
Ilyenkor Gödel olyan távol állhat tőle, mint Makó Jeruzsálemtől, vagyis nem kérdőjelezi meg az axiómát.
gligeti arra próbált utalni, és az én üzenetem is erről szólt, hogy a matematikában egyetlen jó kritériuma van egy axiómarendszernek, az ellentmondásmentesség (továbbá hogy az axiómarendszer állításai algoritmikusan felismerhetőek legyenek, ez egy technikai feltétel). A fenti megjegyzést nemigen értjük, mert Gödel nem kérdőjelezett meg semmilyen axiómát, ennek nincs is értelme a matematikában. Gödel és Cohen azt bizonyította, hogy a halmazelmélet szokásos axiómáiból nem vezethető le sem a kontinuumhipotézis, sem annak tagadása (feltéve hogy a halmazelmélet ellentmondásmentes). Tehát a halmazelmélet kettéágaztatható a kontinuumhipotézis mentén: az egyikben igaz a kontinuumhipotézis, a másikban meg hamis. A két ág két külön értelmes világ, amiben mások az igaz állítások (szemantikai vagy szintaktikai következmények, vö. előző üzenetemmel). Gödel nemteljességi tétele egyébként arról szól, hogy minden elég gazdag axiómarendszer rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy található hozzá eldönthetetlen állítás. Egy ilyennek mentén a szóban forgó axiómarendszer kettéágaztatható, aztán persze minden ág szintén kettéágaztatható stb.
Köszi, nagyjából én is így érzékelem egy matematikus gondolatmenetét. Ilyenkor Gödel olyan távol állhat tőle, mint Makó Jeruzsálemtől, vagyis nem kérdőjelezi meg az axiómát.
A fizikában is látszólag axiomatikus a felépítés (lásd specrel), azonban itt már inognak az előfeltevések. Nem maga az előfelvetés hamis, hanem a teljeskörűsége és főleg az általánosíthatósága, mert ha ilyennel rendelkeznénk, akkor a formális logikánkkal mér rég eljutottunk volna az egyesítéshez. Ezért mondom azt, hogy a fizika előfelvetései különböznek a matematikaitól, és megkülönböztetésül a fizikában posztulátumot, a matematikában axiómát használnék.
Nézzük konkrétan a specrelt és a Lorentz-elvet. Mindkettőnek látszólagosan axiomatikus a felépítése. De csak látszólagosan. A specrelben az inerciarendszerek egyenértékűsége élesen van definiálva, a Lorentz-elvben gyengén. Mi ennek a következménye? A Lorentz-elv elv megengedi, hogy a rendszer belülről másképp nézzen ki annak ellenére, hogy kívül ugyanúgy viselkedik. A specrel ezt nem engedi meg, és a téridőre hivatkozik, ha erre rákérdezünk. Egy kémikusnak ilyenkor gyanúja támad, a szabadsági fokokra gondol, amit ugye a dimenziókkal lehet azonosítani, és arra gondol, hogy a különbségből komoly eltéresek lehetnek, ha halmazállapot-változásra sor kerül, különösen a plazma-átmenetnél.
Most úgy gondolom ennyi elegendő, hiszen innen rengeteg részletet ki lehet beszélni.
A matematikusnak általában nincs szüksége munkahipotézisre. Kiválaszt egy számára szimpatikus axiómarendszert és abban próbál eldöntetlen állításokat eldönteni. Azért, mert egy közösségi játékban szeret részt venni. Ha azt látja, hogy ez egyes adalék állítások feltevése mellett (amik szubjektív megítélése szerint egyszerűbbek vagy áttekinthetőbbek) könnyebben boldogul a kérdéssel, akkor egy időre felteszi hipotézisként az adalék állításokat. Utána megpróbálja azokat bebizonyítani az egyes axiómákból. Ha ez nem sikerül, akkor nem döntötte el a kérdést, de gyártott egy új következményrelációt (ezen meg azon hipotézisekből következik ez meg az). Persze mindenki gyárthat magának saját axiómákat, de abból általában nem lesz olyan érdekes játék. Pl. sokan sokkal jobban szeretnek sakkozni, mint új táblajátékokat kitalálni.
Na most felvetetted a modell létezését. A matematikában a modell szónak pontos jelentése van, ez a matematikai logika egyik alapvető fogalma (és a modellelmélet nevű alterülete foglalkozik velük behatóan). Ezt egy kicsit körülményes lenne most elmagyarázni, de arról van szó, hogy a matematikai logikában lehet beszélni arról, hogy egy struktúrában egy formula igaz-e (itt a "struktúra" és "igaz" szavaknak pontos halmazelméleti jelentése van). Ha H egy formulahalmaz, aminek minden eleme igaz az M struktúrában, akkor azt mondjuk, hogy az M a H-nak egy modellje. Ha egy formula a H minden modelljében igaz, akkor azt mondjuk, hogy a formula a H-nak szemantikus következménye. Lehet beszélni a H szintaktikai következményeiről is: ezek azok az állítások, amik a formállogika arisztotelészi szabályai szerint (pl. modus ponens) a H-ból gépiesen levezethetők. Na most fantasztikus tény (Gödel ún. teljességi tétele), hogy a H szemantikai következményei ugyanazok, mint a szintaktikai következményei. Ennek az állításnak egy másik megfogalmazása a következő: H-nak akkor és csak akkor van modellje, ha nem lehet belőle ellentmondást levezetni. Lehet, hogy nem érzed ennek az állításnak a mélységét, de egy fontos következmény (a matematika egészére nézve) az ún. kompaktsági tétel: ha egy H formulahalmaz minden véges részének van modellje, akkor az egész H-nak is van modellje. Miért is? Azért, mert ha a H-nak nem lenne modellje, akkor le lehetne belőle vezetni ellentmondást, de minden levezetés csak véges sok formulát használ fel a H-ból, vagyis a H-nak már egy véges részéből is le lehetne vezetni ellentmondást, vagyis a H ezen véges részének nem lenne modellje.
Pl. a valós számok axiómái mellé felvehetsz egy x konstansjelet és a következő axiómákat (végtelen sokat): 1. 0<x<1/1 2. 0<x<1/2 3. 0<x<1/3 4. 0<x<1/4 stb. Ha ezek közül bárhogyan véges sokat hozzáraksz a valós számok axiómáihoz, akkor a valós számok mint struktúra ennek a nagyobb formulahalmaznak modellje lesz, feltéve, hogy az x-et egy kellően kicsiny pozitív számnak választod. A kompaktsági tétel szerint az összes axióma együttesen is teljesül egy alkalmas modellben, de ez már nem a valós számok lesznek, hanem egy új, egzotikus struktúra, mert egy pozitív valós szám sohasem kisebb az 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 stb. mindegyikénél. Magyarán egy olyan furcsa számkört kapsz, amiben van egy x, ami ugyan pozitív, de "végtelenül kicsiny" (minden pozitív valós számnál kisebb). Ennek az intuitív elgondolásnak precíz értelmet lehet adni a fenti módon a matematikai logika eszköztárával, így jön létre az ún. nemstandard analízis, amivel sok érdekes állítás bizonyítható a standard valós számokról is.
A lényeg az, hogy a halmazelmélet olyan tágas univerzumot teremt, hogy benne minden, ami ellentmondásmentes, modellezhető konkrét struktúrával. Más szóval ami megtörténhet benne, az meg is történik (mint a Barátok közt-ben).
A régi görögök különbséget tettek a mindenki által evidensnek tartott kiindulópontok, az axiomák és az adott, éppen folyó vita céljaira elfogadott igazságok között (ezek az aktuális követelmények, vagy posztulátumok). Ez utóbbiakban a vita résztvevőinek nem kellett egyöntetűen hinniük, de kiváncsiak lehettek, hogy mire lehet velük jutni, ha fegyelmezetten végigvitték légyen a dolgokat.
Ma már a priori semmiben nem hiszünk. gligeti szavaival élve "mindent szana-szét relativizáltunk". Ennek megfelelően már nincs különbség axioma és posztulátum között, ahogy Gergő73 is megjegyzi.
Másrészről pedig a modern bizonyításelmélet kétféle "kiinduló igazságot" ismer:
(1) Bizonyos jelsorozatokat, amelyek nem "igazak" csak ki lehet indulni belőlük. (axiomák)
(2) Transzformációs szabályokat, amelyekkel a kiinduló jelsorozatokat manipulálni lehet, ill. a már "levezetett" jelsorozatokat tovább lehet masszírozni.
A jelsorozatoknak nincs jelentése. A jelek, amelyekből állnak a jelsorozatok adottak.
A nyelv amelyen elmondjuk, hogy mik a jelek, mik az axiomák és mik a transzformációs szabályok a metanyelv, amely nem tartozik az "elmélethez".
A levezetett jelsorozatokat lehet tételeknek nevezni.
Pl. Hofstadter (Gödel Escher Bach) a következő példát hozza:
Jelek: M, I, U.
Transzformációs szabályok:
(a) Ha xI egy tétel, akkor xIU is egy tétel. (x tetszőleges jelekből álló sorozat.)
(b) Ha Mx egy tétel, akkor Mxx is egy tétel.
(c) Ha III szerepel egy tételben, akkor III kicserélhető U-ra.
(d) Ha UU szerepel egy tételben, akkor elhagyható.
Axioma:
MI
Példa tétel és bizonyítása:
MUIIU
Axioma: MI
Innen (b) révén: MII.
Innen (b) révén: MIIII.
MIIII-ből MIIIIU, minthogy (a).
Innen (c) szerint MUIU.
Ennek megfelelően és mégegyszer (b): MUIUUIU.
És végül, erre (d)-t alkalmazva: MUIIU,
amit bizonyítani kellett.
- Ha az axiomák és a transzformációs szabályok "jelentenek" valamit , akkor megkérdezhető, hogy a levezetett tételek jelentése a várakozásoknak megfelel-e.
- Ha a jelek között van olyan, amelyet a bennfoglaló jelsorozat "tagadásaként" interpretálunk, akkor az elmélettel kapcsolatban feltehető a kérdés, hogy levezethető-e benne egyszerre egy tétel is és a tagadása is. Ha ez lehetséges, akkor felhúzzuk a szemöldökünket.
- A szemöldökfelhúzás nem része egyetlen elméletnek sem.
- Ha a jeleknek van jelentése, akkor megkérdezhető, hogy minden jelentéssel bíró jesorozat azok között a tételek között van-e, amelyek levezethetőek.
- Tovább most ne menjünk, mert nem fogok tudni aludni.
Nagyjából ismerem mi az axiomatizálás módszere a matematikában, de mindannyiunknak jobb lenne, ha ezt egy matematikus fogalmazná meg.
Egy fizikus(Lingarazda) már meghatározta milyen az "axiomatizálás" (nem így mondta, modellalkotásnak nevezte) a fizikában, érdemes lenne összevetni vele.
Nem tudom, kezedbe vetted-e Káélmán Attilától "Nemeuklideszi geometriák elemei" c. könyvet. Nekem tetszet, ahogy elválasztotta az eukleideszi posztulátumokat az eukleideszi axiómáktól. Nekem szembeötlő volt közöttük a különbség.
Az eukleideszivel szemben sokkal tisztábbnak látom a Hilbert-féle axiómarendszert, és ennek megfelelően tisztább a Hilbert-féle párhuzamossági axióma is (bár tudom, hogy ez nemcsak Hilbert érdeme volt).
De jobb lenne, ha matematikus mondana erről véleményt.
Gergo73: "Hadd tisztázzam: nem tesznek semmi különbséget közöttük. A kettő egy és ugyanaz. A posztulátum egy régies szó nálunk, 100 éve senki nem használja."
"mellékmegjegyzés, az egész párhuzamossági axióma körüli hercehurca is innen indult, hogy az nem volna elég "elemi""
Persze, hogy nem elemi, hiszen látszik rajta, hogy azért került be, mert egyébként a való világból érzékelt, igaznak tűnő állításokat nem tudtak volna bizonyítani.
Tehát volt egy sor vélt igazság és Eukleidész benyomott egy axiómát, hogy bizonyítani tudja őket.
"Mondjuk kérdem én, a kiválasztási axióma, vagy pláne a kontinuum-hipotézis mennyire elemi???"
Nem elemiek, a kiválasztási axiómát elég rendesen kell magyarázni, hpgy egyáltalán miért van rá szükség (a kontinuum hipotézis szerintem nem axióma).
összegzem: fizikában nincs axióma, csak posztulátum. tehát csak egyetlen fogalom létezik. matematikában a kettő ugyanazt jelenti, tehát szintén csak egy fogalom létezik.
kérdés: akkor mi értelme van megkülönböztetést tenni?
ez olyan, mint ha én azt mondanám, hogy alapvetően kétféle alma van. az egyiknek kis magjai vannak, és gömbölyded formájú, ez az A-alma. a másik fajta a B-alma, de az nem létezik. pongyola módon az első fajtát szokták simán csak almának hívni.
