egy érdekes rendszer, amelynek a majdnem-abszolút konzisztenciája bizonyítható, a híres Harvey Friedman-től: az elemi algebra és geometria konzisztenciája.
http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/pdf/ConsRCF8%5B1%5D.23.99.pdf -------------- Az 1. esetben egy olyan elméletről beszéltem amely ZFC helyett más, és változó axiómákat használ, és ezekben bizonyít. Persze az egész megfogalmazható a halmazelméletben, de nem szükséges. Különböző axiómarendszerek pl. a predikátumkalkulust, annak szegmenseit "imitálják", néha jobban, néha szegényesebben (de mondjuk eldönthetően). Ezért van "több logika", hiszen több algebrai rendszerünk van. Van olyan logikánk, amelyben van pl. Beth-tulajdonság, vagyis az implicit és explicit definiálhatóság egybeesik (nagy dolog volt, amikor ilyet találtak), máshol nem.
A 2. esetben a ZFC helyett sokkal kisebb rendszerben építik fel a logikát, de úgy, hogy mégis sokat tud. ---------------------- Javaslom mindenekelőtt Csirmaz jegyzetét:
http://www.math-inst.hu/~csirmaz/ Matematikai logika a címe; vagy Ferenczi könyvét: Matematikai logika címmel.
Mivel a 0-val való osztást nem értelmezhetjük, mert a határértéke a végtelenben van
Nem a határértékek miatt nem értelmezzük a nullával való osztást, hanem mert az osztás szokásos és természetes definíciója egyszerűen nem értelmes a nullára mint osztóra.
Bár se filozófus, se matematikus nem vagyok még, azt azért szerintem jól látom, hogyha valamivel igazolni akarunk egy állítást, akkor annak vissza hasonló eredményt kell adnia.
Rosszul látod. Ha így lenne, akkor egy A->B következményt mindig meg lehetne fordítani B->A következménnyé. Pedig a legtöbbször nem lehet.
A többit el tudom fogadni.
Az a=b állításból következik, hogy ac=bc minden c-re. Nem értem, ezzel mi problémája lehet bárkinek.
Had pontosítsak: Mivel a 0-val való osztást nem értelmezhetjük, mert a határértéke a végtelenben van, így ennél a műveletnél nem áll fenn a visszaalakítás lehetősége. Pl. A*0/0 nemegyenlő A. Bár se filozófus, se matematikus nem vagyok még, azt azért szerintem jól látom, hogyha valamivel igazolni akarunk egy állítást, akkor annak vissza hasonló eredményt kell adnia.
3. és persze lehet logikát csinálni - ZFC-től teljesen függetlenül - kategóriaelméletben, toposzokban. Sok értelme nincs szvsz, de ez magánvélemény. A toposzelmélet nem váltotta be a hozzá fűzött reményeket (erről sokat lehetne beszélni..).
>>amikor "logikak"-rol vagy "logikak"-ban bizonyitasz ezt meg azt, akkor is a standard halmazelmeletet axiomait es modszereit hasznalod tipikusan mondjuk a szemantika felepitesere, azaz bizonyos modellek megkonstrualasara.
1. Tarski algebrai logika programja éppen azon alapult, hogy ZFC helyett minél minimálisabb keretrendszerben bizonyítsunk logikákra tulajdonságokat (pl. Beth-tulajdonság, Craig-tulajdonság, végesen axiomatizálhatóság). Ahelyett, hogy ZFC-ben bizonyított volna, bizonyos algebrák varietásait vette, és ezek, mint kiderült, ekvivalensek voltak (a ZFC-nél jóval szűkebb rendszerben) logikák tulajdonságaival. Így sok logika lehet. Ez egy másik út, mint amikor ZFC-ben bizonyítunk Beth-, vagy Craig-tételt.
2. Hajek-Pudlák munkáját már idéztem: ők a szintaxist (pl. Gödel-tételek) a Szigma_0-indukcióval, a szemantikát a Szigma_1-indukcióval, tehát PA-nál gyengébb rendszerben építették fel. Tehát nem feltétlenül kell a teljességihez ZFC, bár a Keisler-Shelah-hoz nyilván elengedhetetlen.
>> Sajnos egy ellentmondásmentes axiómarendszer ellentmondásmentességét sosem tudod kétséget kizáróan bizonyítani.
Ez egy kis pontosításra szorul: pl. az ítéletkalkulusnak van egy axiómarendszere (Hilbert-Ackermann), és ennek ellentmondásmentességének igazolása abszolút módon (önmagában) igazolható (pl. Kalmár). De más G rendszerek is vannak, amelyekben pl. Con(G) sokat tud, és levezethető (ezek mind nem diagonalizálható rendszerek, ahol nincs fixpont-tétel). Az eldönthető axiómarendszerek között is van abszolút konzisztens. König Gyula éppen azzal vált híressé - a König-egyenlőtlenség mellett -, hogy sikerült abszolút konzisztenciákat bizonyítani. Hilberték is csináltak ilyet, ezért sejtették, hogy nem lesz II. Gödel-tétel.
Az abszolút konz.-bizonyítások lényege: az összes formula bizonyíthatósága véges sok esetre (formulára) redukálható, és így megvizsgálható, hogy egy formulának csak egy igazságértéke van.
A halmazelmélet pedig egyelőre a legtágabb elmélet, amit használunk, így annak ellentmondásmentessége kizárólag tapasztalati tény: olyasmi, amiben a matematikusok (mint pl. jómagam) mélyen hiszünk, megbízunk.
Hozzatennem, hogy amikor "logikak"-rol vagy "logikak"-ban bizonyitasz ezt meg azt, akkor is a standard halmazelmeletet axiomait es modszereit hasznalod tipikusan mondjuk a szemantika felepitesere, azaz bizonyos modellek megkonstrualasara.
Ez a bizonyítás némiképp félrevezető, ugyanis komplex számokra általában nem igaz az (ab)z=azbz azonosság, még racionális z-re sem (egész z-re persze igen).
A 0-val szorzás szerintem nem egyértelmű, a művelet ezért nem alkalmas igazolásra.
Bármely két egész (vagy valós) számnak van szorzata (ez része az axiómaknak), ezért a nullával való szorzás ugyanolyan egyértelmű, mint bármely más számmal való szorzás. Továbbá az axiómákból levezethető, hogy minden szám nullaszorosa nulla. Most nincs kedvem beírni az összes axiómát, de a bizonyítás maga így megy. Legyen x tetszőleges egész (vagy valós) szám, ekkor 0.x = 0.x+0 = 0.x+(x+(-x)) = (0.x+x)+(-x) = (0.x+1.x)+(-x) = (0+1).x+(-x) = 1.x+(-x) = x+(-x) = 0.
A rendszerelmélet lényege, hogy az axiómarendszereket úgy állíthassa föl, hogy egymással ne kerülhessenek ellentmondásba, a logikai töréspontok megnevezése lehetetlenné tette az átfedést.
Axiómarendszerek ellentmondásmentességével nem a rendszerelmélet foglalkozik, hanem a matematikai logika. Sajnos egy ellentmondásmentes axiómarendszer ellentmondásmentességét sosem tudod kétséget kizáróan bizonyítani. Ennek az az oka, hogy amikor egy axiómarendszerről bizonyítasz valamit, akkor a bizonyítás során fel kell használnod egy (másik) axiómarendszert, és akkor adós maradsz azzal, hogy ez a másik rendszer ellentmondásmentes-e. Pl. az egész számok szokásos axiómarendszeréről a halmazelmélet axiómáival kimutatható az ellentmondásmentesség (úgy, hogy mutatsz egy modellt a halmazelméletben, ami az axiómákat kielégíti), de akkor a halmazelmélet ellentmondásmentessége marad kérdésnek. A halmazelmélet pedig egyelőre a legtágabb elmélet, amit használunk, így annak ellentmondásmentessége kizárólag tapasztalati tény: olyasmi, amiben a matematikusok (mint pl. jómagam) mélyen hiszünk, megbízunk.
A többi szöveged már nem matematika, ahhoz nem tudok és nem is akarok hozzászólni.
Máskor csak egy topikba tedd fel a kérdésedet, ez a fórumozás egyik alapszabálya. Most fölöslegesen ment el pár perc az életemből, mert egy másik topikban válaszoltam arra, amire itt már mástól választ kaptál.
"Azért, mert a következmény igaz lehet egészen más okból. Pl. itt egy hibás levezetés arra, hogy 0=0. Kiindulunk abból, hogy 0=1, majd mindkét oldalt megszorozzuk 0-val. A 0=1 feltevés hamis, de a 0=0 következmény igaz. Valójában hamis állításnak minden állítás következménye, igaz és hamis egyaránt."
Az igazolásnak számtalan módja létezik, lényege, hogy a vizsgált állítást megfeleltessük egyértelműen egy axiómának elfogadott állítással. A 0-val szorzás szerintem nem egyértelmű, a művelet ezért nem alkalmas igazolásra.
"Mindazonáltal nem olyan egyszerű dolog ez, mert nagyon sokszor azt sem tudjuk, hogy egy érdekes kérdésre következik-e a válasz az axiómákból, de még azt sem tudjuk, hogy az axiómák ellentmondanak-e egymásnak."
A rendszerelmélet lényege, hogy az axiómarendszereket úgy állíthassa föl, hogy egymással ne kerülhessenek ellentmondásba, a logikai töréspontok megnevezése lehetetlenné tette az átfedést. Habár itt már valóban nehéz helyzetbe bonyolódhatunk, mert nem tudhatjuk, hogy milyen metaséma szerint gondolkozzunk. Hiszen azt is állíthatjuk, hogy a töréspontok léte szükségszerű, s nélkülük, mint a hiány bizonyítékai, nem választhatnák szét pl: a fizikai dimenziókat a tudat dimenzióival. De azt is mondhatjuk, hogy a jellemkombináció változásai mind csak egy virtuális dimenzióból figyelhetőek meg, innentől kezdve, mivel az emberi tudat egy virtuális dimenzió, nem állíthatjuk azt sem, hogy vannak logikai töréspontok, hiszen nem vagyunk birtokosa az objektív igazság részeinek sem.
és még csak nem is lehet teljessé bővíteni ellentmondásmentesen
Itt fontos hangsúlyozni, hogy axiómarendszeren nem tetszőleges formulahalmazt értünk, hanem algoritmikusan felismerhető formulahalmazt (pl. tetszőleges véges formulahalmaz ilyen).
Azért, mert a következmény igaz lehet egészen más okból. Pl. itt egy hibás levezetés arra, hogy 0=0. Kiindulunk abból, hogy 0=1, majd mindkét oldalt megszorozzuk 0-val. A 0=1 feltevés hamis, de a 0=0 következmény igaz. Valójában hamis állításnak minden állítás következménye, igaz és hamis egyaránt.
ahol a logika új axiómák bevezetését teszi szükségessé
Nem a logika teszi szükségessé, hanem a tudomány fehér foltjai, a meglévő axiómák korlátozott következményei. Mindazonáltal nem olyan egyszerű dolog ez, mert nagyon sokszor azt sem tudjuk, hogy egy érdekes kérdésre következik-e a válasz az axiómákból, de még azt sem tudjuk, hogy az axiómák ellentmondanak-e egymásnak. Egy természettudós ilyenkor választhat új axiómákat, pl. empirikus választ a kérdésre, vagy akár egy teljesen új axiómarendszert (egy új modellt), de egy matematikust nagyon érdekli, hogy a korábban felállított axiómákból mit tud levezetni. Más szóval gyakran a levezethetőség kérdése maga legalább olyan nehéz, mint az eredeti kérdés. Pl. az egész számok aritmetikájának van jól bevált axiómarendszere, mégis nagyon sok kérdésre az egész számokról nem tudjuk a választ, de még azt sem tudjuk, hogy a válasz eldönthető-e az axiómákból. Ilyen kérdés pl. az, hogy két négyzetszám között mindig van-e prímszám.
Szerinted egyébként minden általunk ismert axióma negáció teljes?
Nagyon sok axiómarendszerről be lehet bizonyítani, hogy nem teljes, valójában a legtöbb érdekes axiómarendszer ilyen és még csak nem is lehet teljessé bővíteni ellentmondásmentesen (pl. az egész számok axiómarendszere ilyen). Erről szól Gödel tétele 1931-ből.
"Valóban, se köpni, se nyelni nem tudok erre a riposztra.:))"
Azért írni tudtál. :))
Máris sokat tanultam, bevallom, ilyen válaszra számítottam már réges-régen, de azért vannak olyan kijelentések melyeket tisztázni kell:
"Egy ellentmondás felfedezése azonban nem jelenti azt, hogy a "logika téved". Olyankor módosítjuk feltevéseinket."
És mi szerint? Szerintem ellentmondásba csak akkor keveredünk, ha pl: a kémia megfigyeléseit egyszerűen ráakarjuk húzni a biológia megfigyeléseire, habár itt nem a logika téved, hanem az ember, mert tudtommal az ember agya asszociatív s nem logikus. A logika csak akkor téved, amikor meghagyja az alternáció lehetőségeit pl: a Teremtő kilétét illetően, mert szerintem pusztán logikai úton nem lehet kikövetkeztetni, hogy Ő a Mindenható, és az Egyetlen. De bocsi, hogy így elkanyarodtam, tudom, nem helyes, hogy ide írok. Kérlek nevezz meg egy topicot, ahol ezt, ha akarod, folytathatjuk.
"Ha a következmények igazak, akkor a feltevés még lehet hamis."
Ezt nem értem. Miért?
"Azt az axiómarendszert szokták negáció-teljesnek nevezni, amelyben bármely formula, vagy a negációja bizonyítható (ld. pl. Ruzsa: Logikai szintaxis és szemantika, I. köt.). Másképp egyszerűen "teljes"."
Csak azt akartam hangsúlyozni, hogy a logika töréspontok miatt nincs összefüggő axiómarendszer, és tapasztalataink megfelelő ábrázolásához nem elég, ha meghatározzuk a faktuális értéküket vagy az intenziójukat.
"A funktor itt más néven predikátum. Mi az, hogy "környező"? Topológiát értelmezel az ítéletek halmazán? Vagy az igazság-értékeik valamilyen módon összefüggnek? Ez nem világos. Azt akarhatod mondani, hogy van egy ítélet, aminek nincs igazságértéke, de vannak hozzá "közeli"(?) ítéletek (vagy csak funktorok, amelyek nem tehetők ítéletté??), és ekkor mindenképpen. Csak a nemteljességet állítottad, de az nem "hiba". Logikai ellentmondást nem látok. Továbbá nem logikai kérdés ítéletekhez - ha úgy tetszik - igazságértéket rendelni. Ez az adott tudomány dolga."
Igen, szerintem az igazság értékek, csak akkor "érvényesek", ha összefüggnek, bár sokkal tapasztalatlanabb vagyok, mint pl. te, ezt azért megmerem kockáztatni. Mégis találunk a tudományban fehér foltokat, ahol a logika új axiómák bevezetését teszi szükségessé, mint pl: van négy elemi kölcsönhatás. Ezek ugye elfogadott ténynek számítanak, de pusztán a fizikából nem következnek. Igazad van, logikai ellentmondás nincsen, ha megfelelő metaséma szerint gondolkozol, de a legtöbb ateista képes azt állítani, hogy az anyag, úgy döntött, hogy élni fog...:)) Szerinted egyébként minden általunk ismert axióma negáció teljes? És te valóban úgy gondolod, hogy logikilag minden le lehet vezetni?
Köszönöm, hogy sok mindent helyretettél bennem, "elsőszülöttnek" sajnos most nem tudok reagálni, mert mennem kell, de holnap biztos lesz erre időm.
""An approach to geometry first formulated by Felix Klein in his Erlangen lectures is to describe it as the study of invariants under certain allowed transformations."
Igazad van, de én ide nem is azért jöttem át, hogy megmondjam a tutit, hanem azért, hogy okuljak, mert úgy láttam, hogy fényévekkel tapasztaltabb fórumozók írnak ide, mint pl: a Megbukott az ateizmus? c. topicba.
"ezek a logikai töréspontok az indexen, az elmúlt hónapokban fogalmazódtak meg, vagy egy létező filozófiai elmélet, vagy tudomány fogalmai?"
Ez így van, de nem én találtam ki őket, tanítják rendszerelméletből.
"Amúgy mindegy, nem annyira lényeges kérdés ez. Inkább: A logikai töréspontok véleményem szerint a következőt jelentik: x nem vezethető vissza (nem redukálható, tehát a redukcionista elképzeléseknek ellentmond) y-ra, mert x "több", mint y folyamatainak az összessége. Mennyivel, mivel több?"
Ahogy csekély ismereteim engedik, mindössze annyival több, hogy egy bizonyos szándékoltság jelenik meg minden logikai töréspont után, amit én összefoglalóan dimenzió-osztályokon értendő kiterjedési törekvésnek nevezek. Erről részletesebben a Teremtés kontra evolúció c. topicban olvashatsz: (83353), (83387), (83098), (82765)
"no, itt rögtön kérdés, hogyan definiáljuk az ok fogalmát, továbbá hogyan akarod ezt kizárólag logikával vizsgálni, elvégre empirikus kérdés?"
Véleményem szerint minden empírikus kérdés vizsgálható logikailag, mégpedig az alábbi három csoportba tehetjük éberségünk gyümölcseit: 1. valóság bizonyítéka 2. hiány bizonyítéka 3. bizonyíték hiánya
Végülis el tudom képzelni, hogy valaki a konkrét reprezentációt figyelmen kívül hagyva, kizárólag a két vagy három dimenziós euklideszi tér lineáris transzformációinak csoportjában igaz azonosságok közül néhányat feltéve (a csoportaxiómák mellé), kizárólag az absztrakt csoportban dolgozzon. Az így bizonyított tételek nyilván geometriai fontossággal bírnak.
Vmikor régen jártam egy nem kötelező előadásra, ahol a fickó geometriát tanított csoportelméleti szemmel. Jó volt, de nem jegyzeteltem semmit. Sok ismert dolgot átforgatott egy másik szemléletbe, nem sima lineáris algebra volt...
Lehet, hogy kapsz autentikusabb választ is, de a lineáris algebra megfelelő erre a célra: 1. a vektortér az összeadásra nézve Abel-csoport; 2. a lineáris transzformációk a szorzásra (kompozícióra) nézve nemkommutatív csoportot alkotnak, márpedig a geometria nagy része a segítségükkel "történik"; 3. a három dimenziós euklideszi vektortér az euklideszi geometria modellje (tudtommal). Úgyhogy bármelyik lineáris algebra könyv.