Nem látom ezt a bizonyítást, mert mi garantálja, hogy a felület kompakt?
Persze mondhatod azt, hogy Rn-en vagyunk és az egyik norma a standard norma, aminek B egységgömbjéről előre tudjuk, hogy kompakt. Ha azt is tudjuk, hogy
(1) a két normában ugyanazok a konvergens sorozatok
más szóval
(2) a két norma ugyanazt a topológiát indukálja,
akkor a másik norma a B-n felveszi a minimumát és maximumát, amiből pedig látható, hogy erős értelemben (Lipschitz-konstansokkal) ekvivalensek. Valójában a dolog nehéz része éppen az (1) avagy (2) bizonyítása (amit vázoltam alább), sok szerző éppen az utóbbi tulajdonsággal definiálja a két norma ekvivalenciáját. A Lipschitz-konstansos ekvivalencia könnyen és direkt módon következik ebből, az egységgömbök kompaktsága se kell hozzá.
Ekkor veszem a 2. norma által indukált metrikában az egységgömb felületet, ezen kompakt halmazon
Nem látom ezt a bizonyítást, mert mi garantálja, hogy a felület kompakt?
A bizonyítás, amit én ismerek, úgy megy, hogy a dimenzióra vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk, hogy ha |.|1 és |.|2 normák egy véges dimenziós V vektortéren, akkor az identitás leképezés folytonos a (V,|.|1) térről a (V,|.|2) térre. (Az indukciós feltevést abban a formában használjuk ki, hogy egy 1-kodimenziós altér mindkét normában teljes, ezért zárt is.) Ezután már valóban belátható, hogy van olyan c>0 konstans, hogy |.|2<=c|.|1, illetve az is, hogy az egységgömb mindkét normában kompakt (hiszen V-t Rn-nel és az egyik normát a standard normával azonosítva kapjuk, hogy a másik norma egységgömbje korlátos és zárt, azaz kompakt).
Én csak az 1246-ot olvastam, ahol csak bázisról beszélt. Azt hittem, nem érti a normák ekvivalenciájának fogalmát. Elnézést, tegnap értem haza külföldi útról és nem olvastam végig az előzményeket.
nagyon megharagszol, ha azt mondom, hogy nagyon elrontottam? :S p és q nem különböző számok, hanem különböző prímek. vagy így nem változik a megoldás menete és a megoldás? :S Bocsi, és köszönöm V. Tamás
sziasztok, holnapra kellene 3 feladatmegoldás. talán nem túl bonyolult, ez inkább fizika, de talán meg tudjátok oldani. előre is köszi! 1.) Tiszta vizű, 1 méter mély tóban egymás mellett két karó áll. Az egyik hossza éppen a víz mélységével egyezik meg, a másik másfél méter hosszú. Hányszor nagyobb árnyékot vet a magasabb karó a tófenéken, mint a kisebbik, ha a Nap sugarai 45 fokos szögben érkeznek? (A víz levegőre mutatott törésmutatója 4/3)
2.) Az átlátszó műanyag vonalzó 30 fokos szögére merőlegesen lézerceruzával fénysugarat bocsátunk. Mekkora lesz a fénysugár eltérítési szöge, ha a vonalzó anyagának levegőre vonatkoztatott törésmutatója a lézerfény hullámhosszán 1,52?
3.) Egy kocka alakú dobozból, amelynek éle a=30 cm-es, sötétkamrát készítettünk. Besötétített szoba függönyrésén keresztül a szemközti napsütötte házról a sötétkamrában keletkező képet vizsgáltuk. A ház homlokzatának fordított állású képe a sötétkamra ernyőjén 6 cm magasnak adódott. Mekkora a homlokzat magassága, ha az utca szélessége 35 cm?
"Igen, és teljes indukcióval? Vagy úgy is ugyanez? "
Én nem csináltam teljes indukciót, tehát nem ugyanez. TI sok esetben jó módszer, de nem öncél; ha józan parasztkodással kijön az eredmény akkor nem muszáj elbonyolítani. Ha az oktató azt mondta, hogy TI nélkül ne kerülj a szeme elé, akkor TI-vel igazold, hogy a maradékok úgy periodikusak ahogy mondtam.
elsoszulottnek igaza van, ugyanarról beszélünk. Van a és b pozitív valós, hogy a*norma_1(v)>=norma_2(v)>=b*norma_1(v) minden v-re. Ebből már következik, hogy ugyanazok a topológiák.
Nautilus normák ekvivalenciájáról beszélt, tehát hogy ha van két normád, akkor az egyik által definiált tetszőleges gömb tartalmaz a másik által definiált gömböt. Ez más, mint amiről te beszélsz.
Hát nem tudom, talán ebből a szempontból jobb szóbeli vizsga; ott nem történik olyan, hogy valamit azér nem közölsz mer szerinted trivi oktató szerint meg nem, hiszen ott rögtön rákérdezhet (meg nem utolsó sorban kezed sem megy tropára) Bár írásbeliken is nagy szórás van, van ahol 7db A4-es oldalt teleírok könnyű dolgokkal, másik írásbelin pedig mondjuk 20db egyszavas válasz kell és csomót elrontok mer trükkös (meg mondjuk köztes testet olvasok résztest helyett meg ilyenek)
>>Ha rögzítesz egy bázist akkor minden vég dimes vektortér R^n -nel lesz izomorf (ezt pl ha egy vizsgán indoklás nélkül használom nem is vonnak le érte pontot, annyira trivi)
Persze nem bonyolult, de ellenőrizni kell, hogy ha Fi izomorfizmus V->R^n, akkor minden R^-beli x vektorra ||Fi^(-1)x|| egy norma R^n-en, ahol ||.|| norma a V vektortéren. Szvsz ezért pontlevonás jár:)
Persze fontos hogy egyszer az életbe a könnyű dolgok bizonyítását is lássa az ember, csak idő múltán elhiszik hogy tudjuk, és a könnyű dolgokhoz egyre szűkszavúbb indoklással is elégedettek.
"Arra, hogy ez minden véges dimenziós vektortérre vonatkozik, kicsit több kell (izomorfizmus..)"
Ha rögzítesz egy bázist akkor minden vég dimes vektortér R^n -nel lesz izomorf (ezt pl ha egy vizsgán indoklás nélkül használom nem is vonnak le érte pontot, annyira trivi)
Ja értem. Azt hittem, azt akarod igazolni, hogy ugyanazok a konvergens sorozatok, HA a normák ekvivalensek.
Én is ezt a biz-t ismerem arra, hogy R^n-en a normák ekvivalensek. Arra, hogy ez minden véges dimenziós vektortérre vonatkozik, kicsit több kell (izomorfizmus..), és úgy kaphatunk új normákat R^n-en is. (ahogy írtam)
A véges dimes normák ekvivalenciájának igazolásához, nem használhatom a véges dimes normák ekvivalenciáját Avagy nem értem mikre gondolsz; vég dimes normált térben az m* x(norma1)<=x(norma2)<=M*x(norma1) alkamas pozitív m, M -el. Ezt akartuk belátni. Ehhez elsőként igazolom, hogy ugyanazok a konv sorozatok mind2 normában s ezáltal mind2 norma által indukált metrikával ugyanazok a kompakt halmazok. Ekkor veszem a 2. norma által indukált metrikában az egységgömb felületet, ezen kompakt halmazon folytonos a 1. norma így Weierstrass miatt minumuma m és max M; így x vekort lenormálom 1. szerint, és veszem a 2.-ban a normáját akkor m és M közt van, majd átszorzok (0vektor esete nem érdekes). Ha tudsz egyszerűbbet akkor persze köszönettel veszem.
Pedig közvetlenül is könnyű igazolni: ha egy sorozat egy normában konvergál, akkor a másik normában is, hiszen az csak egy pozitív valóssal való szorzással különbözik tőle.
Tehát ||x_n-x|| -> 0, és b*||x_n-x||>||x_n-x||' az ekvivalencia miatt.
"véges dimenziós vektortérben bármely két norma ekvivalens, "
Igen ezt mi annó numanalból igazoltuk, de nem tetszett a bizonyítás, mert ha "konv sorozatok ugyanazok" dolgot ha nem tudod előre, akkor nem értem miért teheted meg, hogy az egyik norma által indukált távolságfogalomra egy halmaz kompakt és másik norma saját távolságfogalmára Lipschitzes akkor a kompakt halmazon folytonos függvény ..kezdetű tételek nem látom miért működnek. Ha a Tanárúr kérdezte volna vizsgán, akkor tudtam volna precíz bizonyítást adni rá, ám először a pont akkor konvergál ha koordinátánként (valamely bázisban) kezdetű lemmát igazoltam volna, majd ekkor kompakt halmazok ugyanazok és így már értem.
>> Tehát nem csak az euklideszi norma lehet definiálható, hanem pl. Int_0^1(|f(x)|)dx is
persze nem ugyanazon a téren van ez a két norma, utóbbi a C[0,1] (végtelen dimenziós) téren. C[0,1]-en van a maximum-norma (folytonos függvények maximuma mindig létezik [0,1]-en) is, amely nem is ekvivalens az előbbivel.
Euklideszi térben is van valamilyen integrállal definiált norma, csak nem jut eszembe (még linalból volt vizsgapélda).
Most látom, hogy elfelejtettem megemlíteni _az_ alapvető tételt, ami az euklideszi norma mellett szó. Nevezetesen:
véges dimenziós vektortérben bármely két norma ekvivalens,
speciálisan, ugyanazt a topológiát generálják (u.azok a sorozatok konvergensek, stb.). Tehát nem csak az euklideszi norma lehet definiálható, hanem pl. Int_0^1(|f(x)|)dx is (amely NEM skaláris szorzatból ered), és más is, de ez nem változtat a tér geometriáján.
Végtelen dimenziós esetben azonban sokkal bonyolultabb a helyzet.
>>valójában metrikus tér is és e mellett sok minden más is valamiért kimaradt
Ez az általános topológia nevű diszciplina egyik - legkevésbé általánosított - fogalma. Egy topológia halmazrendszer, amely zárt a véges metszetre, és az (akármekkora) unióra, tartalmazza az alaphamazt, és az ürest. Ma már maga ez az ág nem annyira mainstream, lényegében úgy jött létre, hogy az R tulajdonságait általánosították; az algebrai jellegű szerkezetet (amely pl. a differenciálhatósághoz vezet) nem vették figyelembe, míg a folytonosságot/konvergenciát/közelséget annál inkább. Az alapokat már Fréchet lefektette a 20. szd. elején, majd Hausdorff tett sokat.
A negyvenes években a Bourbaki-csoport a topológiai struktúrák klasszifikációját, mint a matematikai absztrakció egyik fő irányát határozta meg (az algebrai struktúrák és a rendezések kutatása mellett). A metrika topologikus teret generál a gömbjeivel, de van nem metrizálható topológia, amely azonban sok tulajdonságát tudja a metrikának (uniform terek, szomszédsági terek), és vannak általános topológiák. Természetesen az volt a fő kérdés, hogy mikor metrizálható egy topológia, mit kell tudnia hozzá. Ezt a kérdést meg is oldották (Szmirnov-Nagata-Bing-tétel).
Számos lényeges fogalomról kiderült, hogy topológiai, vagyis a folytonosság fogalmához kötődik, pl. kompaktság, összefüggőség, halmaz-bonyolultság, dimenzió egyes típusai, lezárási operátorok, hálóelméleti problémák, de ZFC-ftlen állítások is, mint pl. a Martin-axióma, de a rendezés fogalma is (rendezéstopológia). A valós és komplex függvénytan, mértékelmélet, valószínűségelmélet, Baire-kategóriaelmélet, leíró halmazelmélet, funkcionálanalízis, differenciálgeometria jó része topológiai alapokon alapul, de a gráfok is topológiák. Az algebrai topológia a topologikus terek csoportokkal való jellemzésével foglalkozik (pontosan: a két kategória közötti funktorokkal; bizonyos csoportok a tereket ekvivalencia osztályokba sorolják). Kiderült, hogy a definíciók alkalmasak lehetnek akár a matematika megalapozására is (ponthalmaz-elmélet-koncepció). Pl. a híres Tyihonov-tétel: kompakt terek szorzata kompakt - ekvivalens a kiválasztási axiómával (1950). De más tételek is túlmutatnak a topológián (pl. kompaktifikációk, főleg a gyönyörű Stone-Czech) Lényegesek a topológiára tett számossági, és "finomsági", vagy inkább "közelségi" kikötések (M_1, M_2, szétválasztási axiómák). (a finomság fogalma azért nem jó, mert ha egy topológia tartalmaz egy másikat, akkor finomabbnak nevezzük: a közelség fogalmát "finomítja").
Ma a halmazelméleti topológiai kutatások jelentősek Magyarországon is (Rényi). Ezek főleg a topologikus terek ZFC-független tulajdonságaival foglalkoznak, és nagyon szövevényesek. Mivel a topológia definíciós rendszere annyira általános, könnyen lehet a halmazelmélettel "párosítani", ZF(C)-ftlen problémákat benne megfogalmazni. Keresik a határterületeket is: végtelen kombinatorika, effektív leíró halmazelmélet. Kiadták a Handbook of Set Theoretical Topology (1984) c. összefoglaló munkát, az ELTE mat. könyvtárában is megvolt, nagyon ajánlom (ezer oldalnál több). Meg kell jegyezni Császár Ákos akadémikus nevét, aki az általános topológia jelentős művelője (proximitások, topogén struktúrák, és sok más).
Ő összefoglaló monográfiát is írt a topológiáról, ezt is ajánlom. (És még Schubert könyvét, Benkő József munkáját (1975), és Laczkovich: Valós függvénytan, utóbbit leginkább!)