B-W -vel összegnormára, euklideszire stb meg tudod mutatni egyesével bekonvergáltatva a koordinátákat, hogy ott korlátos+zárt -ból kompakt lesz a véges dimbe, de az itt használt becslésed nem mőködik minden normánál, hiszen "többieket" kidobálva nem feltétlen becsülöd alul a kifejezés normáját.
Mi csak Weierstrass-t használtunk, hogy kompakt halmazon folytonos fvény minimumát meg maximumát biztosítsuk. B-W-t nem.
Nem. Azt mondom, hogy a Bolzano-Weierstrass-ból tudjuk (és erre hivatkoztatok), hogy az euklideszi normával generált topológia szerinti zárt, korlátos halmazok kompaktak. -> bármely norma szerint vett korl. zárt halmaz kompakt.
A kérdés, hogy hogyan lehetne megmutatni az euklideszi, vagy bármilyen konkrét normára való hivatkozás nélkül, hogy BÁRMELY definiálható norma szerinti korlátos, zárt halmazok kompaktak?
>>véges dimben pont akkor fog valami konvergálni, ha (valamely bázisban) koordinátánként konvergál; nem tudom már melyik topicban.
Erre én is gondoltam, és ki is jönne az euklideszire való hivatkozás nélkül. A gond az, hogy a norma _tetszőleges_ normafüggvény, nem kéne, hogy "tényleg" közel legyenek a vektorok egymáshoz, csak az R-beli "távolság-értékük". A valóságban persze így van, de ez csak az euklidesziből látszik.
"Ugyanis a korlatossag definiciojaban az euklideszi norma szerepel"
Nálunk egy normált térben az a korlátos halmaz, akinek minden elemének normája kisebb egy adott számnál. Tehát az egységgömb arra a normára nézve kell korlátos+zárt legyen amilyen norma szerint ő egységgömb, így persze könnyű neki.
Arról a tételről beszélek, hogy az egységgömb sosem kompakt. Ez az első fele, és nem trivi. (1) Ebből már triviálisan jön, hogy az egységgömbre szorított relatív topológia nem lokálisan kompakt, és a tér sem az, de mindkettő trivi (1) ismeretében, mert minden környezet eltolható 0-ba, és ott kicsinyíthető.
Melyik tetelrol beszelsz es melyik elso felerol? En Riesz tetelerol beszeltem, miszerint vegtelen dimenzios normalt terben az egyseggomb sosem lokalisan kompakt. Ennek a tetelnek nincs elso fele, es ez a tetel cseppet sem trivialis.
Na de hogy bizonyitod azt, hogy egy tetszoleges norma egyseggombje korlatos? Ugyanis a korlatossag definiciojaban az euklideszi norma szerepel, az idezett kriterium ezt hasznalja.
Kivancsi lettem volna, hogy Jo Tunder hogy csinalja.
Szóval az egységgömböt, mint relatív topológiát tekinted? Ha így van, értem, bár triviális: minden környezetet el lehet tolni 0-ba, és ott kicsinyíteni, hogy beférjen az egységgömbbe, és ott - a tétel első fele miatt - nem kompakt.
Ha a konvergens sorozatokról tudod, hogy ugyanazok akkor ha a kompaktságnak a sorozatos def.-jét csinálod, akkor tudod, hogy kompakt halmazok is ugyanazok. Véges dimben meg korlátos+zárt ekvivalens kompaktsággal erre (a korábban kimondott dologra) hivatkoztunk, és egységgömbfelület meg korlátos és zárt.
"Jó Tündér bizonyítása hol van?"
A Jo Tunder abban segített nekem, hogy véges dimben pont akkor fog valami konvergálni, ha (valamely bázisban) koordinátánként konvergál; nem tudom már melyik topicban.
Az egyseggomb lokalis kompaktsaga ertelmes fogalom: azt jelenti, hogy az egyseggomb az orokolt topologiaban lokalisan kompakt. Riesz tetele szerint vegtelen dimenzios normalt terben az egyseggomb nem ilyen, aminek kovetkezteben persze a teljes ter sem ilyen.
Bár meg kell mondjam, nem látom reménytelennek, hogy a vektortér véges dimenzióját és algebrai tulajdonságait felhasználva az euklideszi norma nélkül bizonyítsuk, hogy igaz a B-W tetszőleges normában vett konvergenciára. De ehhez fáradt vagyok (meg nem is érdekes annyira:).
Annál is inkább, mert a végtelen dimes Hilbertnél használjuk a végtelen dimenziót az ellenpéldához.
Na akkor hogy is van ez? Legyen (V,|.|) egy véges dimenziós vektortér, B={x in V:|x|=1} az egységgömb. Kérem annak részletes bizonyítását, hogy B kompakt.
>>Igen, de ha két tetszőleges normából indulsz ki és belátod, hogy ugyanazok a konvergens sorozatok, abból még nem következik azonnal (legalábbis én nem látom hogy következne), hogy az egyiknek az egységgömbje bármelyik normában kompakt lenne.
De hát elsoszulott VÉGES dimenziós terekről beszélt végig! Fel sem merült a végtelen dimenzió.
>>Riesz egy tétele, szerint végtelen dimenziós normált térben az egységgömb sosem kompakt, sőt még csak nem is lokálisan kompakt.
Hát, az egységgömb nem is lehet lokálisan kompakt, csak a tér. És ha a zárt egységgömb nem lehet kompakt, akkor a tér nem lehet lokálisan kompakt. Továbbá én félnormaseregre gondoltam (bár nem azt írtam). Megszámlálható félnormasereg lokálisan konvex térben generálhat olyan topológiát, amelyben a korlátos zártak kompaktak.
Igen, de ha két tetszőleges normából indulsz ki és belátod, hogy ugyanazok a konvergens sorozatok, abból még nem következik azonnal (legalábbis én nem látom hogy következne), hogy az egyiknek az egységgömbje bármelyik normában kompakt lenne. Ha felteszed, hogy az egyik norma az euklideszi norma, akkor az euklideszi norma egységgömbjére következik, mert arról tudjuk (máshonnan), hogy kompakt. Ily módon valóban belátható, hogy bármely norma mindkét oldalról becsülhető az euklideszi norma konstansszorosából és abból már valóban következik, hogy minden norma egységgömbje kompakt.
Jó Tündér bizonyítása hol van? Mint mondtam, én csak olyan bizonyítást ismerek, ami arra épít, hogy az 1-kodimenziós alterek zártak (az indukciós feltevés miatt), ami miatt minden lineáris funkcionál folytonos egy normált téren.
Valójában azt akartam mondani, hogy végtelen dimenziós téren különböző topológiák léteznek. Úgy emlékszem, lehet olyan lokálisan konvex vektortéri topológia, amelyben a korlátos zárt halmaz kompakt. Mivel a normák nem ekvivalensek.
De a második mondatomra is felhívom a figyelmedet, mert a lokálisan kompakt terek jól kezelhetők algebrai tulajdonságok nélkül is.
De azt ugye tudod, hogy korlátos zárt halmaz - norma által generált nyílt gömb- végtelen dimenziós térben nem feltétlenül kompakt? Az általános topológiában a véges dimenziósság "közelítése", "analógiája" a lokális kompaktság.
"Nem látom ezt a bizonyítást, mert mi garantálja, hogy a felület kompakt?"
Mint mondtam a Tanárúr bizonyításában engem az zavart, hogy nem ugyanarra a távolságfogalomra volt folytonos a függvény, mint kompakt a halmaz; ezért ha vizsgán ezt kérdezte volna, akkor először igazolom, hogy ugyanazok a konvergens sorozatok s így a kompakt halmazok is. (Ennek bizonyításában Jo Tunder kollégátok volt segítségemre még régen, ismételt köszönet érte Neki)
>>Ennek ellenére a T-kre igaz a lényeges eldönthetetlenség (és a lényeges nemteljesség). Ennek bizonyítása modellelméleti, és nehéz. Gödel tételéből nem következik!
>>4. Van olyan elmélet, amely része a másodrendű Th^2(R)-nek, de többet tud PA-nál. Például, lehet benne indukció sűrű halmazokon (amely indukció helyessége ZF-bizonyítható). Ezekre persze a nemteljesség igazolása könnyű.
Pontosítás. Ha ZF-ből tudjuk, hogy az indukciót kimondó séma R-en igaz, akkor ZF-ben persze nemteljes az indukciót tartalmazó Gamma axiómarendszer. De azt csak ZF-ből tudjuk, hogy Gamma része Th^2(R)! Vagyis ZF nélkül Th^2(R) eldönthetetlenségének igazolása nem triviális. Szvsz ezért szép a logika:)
Ehhez néhány fontos megjegyzés. Gergőnek szeretettel:)
1. R elsőrendű elmélete - a hatványozás nélkül - kvantoreliminációval eldönthető. Hatványozással nem ismeretes. Ez Tarski nevezetes eredménye, és nem is bonyolult. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy ez a Th(R) rekurzív.
2. Mivel R hagyományos T axiómarendszerei nem elsőrendűek (folytonos rendezés, Cantor-axióma), ezért nem vonatkozik rájuk Tarski eredménye arról, hogy ha egy elsőrendű elmélet minden modelljébe N elemien beágyazható, akkor az elmélet lényegesen nem dönthető el (szemantikus interpretáció).
Ennek ellenére a T-kre igaz a lényeges eldönthetetlenség (és a lényeges nemteljesség). Ennek bizonyítása modellelméleti, és nehéz. Gödel tételéből nem következik!
4. Van olyan elmélet, amely része a másodrendű Th^2(R)-nek, de többet tud PA-nál. Például, lehet benne indukció sűrű halmazokon (amely indukció helyessége ZF-bizonyítható). Ezekre persze a nemteljesség igazolása könnyű.
5. Bár R (hatványozás nélkül) elsőrendben eldönthető, ez csak a ZÁRT formulákra vonatkozik. Ha kiértékelt formulákat is veszünk, az az elmélet nem dönthető el (pl. "van irracionális x, hogy e+pi=x").
6. Valószínűnek tartják, hogy az impredikatív definíciókat (pl. felsőhatár-axióma) tartalmazó axiómarendszerek (pl. Th^2(R)) konzisztenciája a hagyományos transzfinit indukcióval nem igazolható ZF-ben. Lehetséges azonban, hogy az indukció fogalma ZFC-ben általánosítható. Ez a Proof Theory egyik központi kérdése.