A Jo Tunder-nek kell köszönni, én csak megértettem és megjegyeztem.
"A vegen kicsit elkavarodtal"
Szerintem nem. Az indirekt feltevésünk adott egy kamu-ellenpéldát, azt indokoltam hogy ez a leosztás után is ellenpélda marad (vagyis nem lehet, hogy a leosztott sorozatban már minden koordináta 0-hoz megy)
Ez használja R természetes topológiájának tulajdonságait szvsz. Ugyanis a koordinátáknak, mint valós skalároknak kell konvergálni. Szvsz ez semmit sem segít.
Ez szep es koszonet erte. A vegen kicsit elkavarodtal:
> tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni
Ezt eddig is tudtuk, hiszen ez volt az indirekt felteves. Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast.
Rögzítünk egy tetszőleges bázist. Elég megmutatni, hogy 0-hoz pont akkor tart egy sorozat, ha a koordináták mind 0-hoz tartanak (a triviális irányt nem igazolom); indirekt tartson egy sorozat 0-hoz úgy, hogy létezik koordináták-sorozata ami nem tart 0-hoz. Ekkor ha a koordináta-sorozatok mind korlátosak, akkor valamelyiknek van nem 0-hoz konvergáló részsorozata veszem az egész sorozat ezen részsorozatát, majd B-W-vel bekonvergáltatom többieket, és kijön, hogy nem 0vektorhoz tart. Ha nem korlátosak, akkor veszek olyan részsorozatot, ahol valamely koordniáta abszolút-értéke végtelenbe tart, majd minden tagot osztom a benne szereplő legnagyobb absz-értékű koordniáta abszolútértékével, ekkor továbbra is 0vektorhoz megy a dolog és ekkor már korlátosak, és minden tagban van 1abszértékű, tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni.
Ird le, mert ez a bizonyitas lelke. Vesd ossze az elozo uzenetemmel, ahol arra is ramutatok, hogy az egyseggomb kompaktsaga egy folosleges lepes, teljesen kihagyhato.
Ha mar tudod, hogy a konvergens sorozatok ekvivalensek, akkor nem kell egyaltalan kompaktsagra meg Bolzano-Weierstrassra es Weierstrass-ra hivatkozni. Elmondom miert. Legyen V egy veges dimenzios vektorter, rajta |.|_1 es |.|_2 tetszoleges normak. Mivel konvergens sorozatok a ket normaban ekvivalensek, ezert van olyan r>0 hogy |x|_1<=r eseten |x|_2<=1, hiszen kulonben lenne olyan x_n pontsorozat, amire |x_n|_1<=1/n, de |x_n|_2>1, azaz a pontsorozat az egyik normaban a nullahoz konvergalna, a masikban meg nem. Ha most x tetszoleges nemnulla vektor, akkor az s:=|x|_1 jelolessel |(r/s)x|_1=r, vagyis r tulajdonsaga miatt |(r/s)x|_2<=1, mas szoval |x|_2<=c|x|_1, ahol c:=1/r. Hasonloan lathato, hogy |x|_1<=c'|x|_2, ahol c'>0 alkalmas pozitiv konstans, kesz.
Szoval a kompaktsagot szerintem kar volt belekeverni. Az igazi kerdes az, hogy a konvergens sorozatok miert ugyanazok barmely normaban, mas szoval miert generalja barmely norma ugyanazt a topologiat. Ennek bizonyitasara kivancsi lennek, mert amit en ismerek az teljes indukcioval megy (1-kodimenzios alterek zartsagan keresztul) es nem egeszen trivialis.
A dolog azért is érdekes, mert az euklideszi norma az R természetes topológiájából ered, tehát NEM algebrai fogalom. A tét tehát az, hogy tisztán algebrai módon lehet-e igazolni az állítást.
Ha nem létezne rá más bizonyítás, akkor a bizonyítandó állításhoz felhasználnánk hogy egy sokkal erősebb állítást már előre tudunk, hogy igaz. Tehát hülyeség lenne, így a Tanárúr nyilván máshonnan tudja, hogy vég dimben korlátos+zárt=kompakt, holnap asszem följön pestre, majd letámadom.
De nekem igazából az volt eredeti bajom, hogy norma saját távolságfogalmára Lipschitzes, de a halmaz másféle távolságfogalommal kompakt, mégis Weierstass-oztunk, ezen a Jo Tunder segítségével úrrá lettem, de örülök, hogy előjött így mostmár teljesen jól be tudnám bizonyítani.
Ideztel egy allitast, miszerint korlatos es zart halmaz (tetszoleges veges dimenzios normalt terben) kompakt. Ez egy igaz allitas, de hogy bizonyitod az euklideszi norma kikerulesevel?
En a fenti allitast csak ugy tudom bizonyitani, hogy (1) belatom az euklideszi normara (2) belatom hogy minden norma becsulheto alulrol es felulrol az euklideszi norma egy pozitiv konstansszorosaval. A (2) miatt egy tetszoleges normaban korlatos es zart halmaz az euklideszi normaban is korlatos es zart, tehat (1) miatt kompakt.
Így most már szerintem teljesen rendben a dolog, Jo Tunder elmondta, hogy konv. sorozatok miért lesznek ekvivalensek; Gergo73 meg rámutatott, hogy elég megmutatni, hogy mindenki pl összegnormával, lesz ekvivalens (ennél meg a kompaktságot a könnyű becslésekkel is megkapjuk)
Rendben, ezt korábban meg is beszéltük, én is ezt a biz-t ismerem. De a lényegen ez nem változtat: olyan biz. kéne, amely semmilyen előre definiált normát nem használ. Szvsz van is ilyen, csak gondolkodni kéne.
B-W -vel összegnormára, euklideszire stb meg tudod mutatni egyesével bekonvergáltatva a koordinátákat, hogy ott korlátos+zárt -ból kompakt lesz a véges dimbe, de az itt használt becslésed nem mőködik minden normánál, hiszen "többieket" kidobálva nem feltétlen becsülöd alul a kifejezés normáját.
Mi csak Weierstrass-t használtunk, hogy kompakt halmazon folytonos fvény minimumát meg maximumát biztosítsuk. B-W-t nem.
Nem. Azt mondom, hogy a Bolzano-Weierstrass-ból tudjuk (és erre hivatkoztatok), hogy az euklideszi normával generált topológia szerinti zárt, korlátos halmazok kompaktak. -> bármely norma szerint vett korl. zárt halmaz kompakt.
A kérdés, hogy hogyan lehetne megmutatni az euklideszi, vagy bármilyen konkrét normára való hivatkozás nélkül, hogy BÁRMELY definiálható norma szerinti korlátos, zárt halmazok kompaktak?
>>véges dimben pont akkor fog valami konvergálni, ha (valamely bázisban) koordinátánként konvergál; nem tudom már melyik topicban.
Erre én is gondoltam, és ki is jönne az euklideszire való hivatkozás nélkül. A gond az, hogy a norma _tetszőleges_ normafüggvény, nem kéne, hogy "tényleg" közel legyenek a vektorok egymáshoz, csak az R-beli "távolság-értékük". A valóságban persze így van, de ez csak az euklidesziből látszik.
"Ugyanis a korlatossag definiciojaban az euklideszi norma szerepel"
Nálunk egy normált térben az a korlátos halmaz, akinek minden elemének normája kisebb egy adott számnál. Tehát az egységgömb arra a normára nézve kell korlátos+zárt legyen amilyen norma szerint ő egységgömb, így persze könnyű neki.
Arról a tételről beszélek, hogy az egységgömb sosem kompakt. Ez az első fele, és nem trivi. (1) Ebből már triviálisan jön, hogy az egységgömbre szorított relatív topológia nem lokálisan kompakt, és a tér sem az, de mindkettő trivi (1) ismeretében, mert minden környezet eltolható 0-ba, és ott kicsinyíthető.
Melyik tetelrol beszelsz es melyik elso felerol? En Riesz tetelerol beszeltem, miszerint vegtelen dimenzios normalt terben az egyseggomb sosem lokalisan kompakt. Ennek a tetelnek nincs elso fele, es ez a tetel cseppet sem trivialis.
Na de hogy bizonyitod azt, hogy egy tetszoleges norma egyseggombje korlatos? Ugyanis a korlatossag definiciojaban az euklideszi norma szerepel, az idezett kriterium ezt hasznalja.
Kivancsi lettem volna, hogy Jo Tunder hogy csinalja.
Szóval az egységgömböt, mint relatív topológiát tekinted? Ha így van, értem, bár triviális: minden környezetet el lehet tolni 0-ba, és ott kicsinyíteni, hogy beférjen az egységgömbbe, és ott - a tétel első fele miatt - nem kompakt.
Ha a konvergens sorozatokról tudod, hogy ugyanazok akkor ha a kompaktságnak a sorozatos def.-jét csinálod, akkor tudod, hogy kompakt halmazok is ugyanazok. Véges dimben meg korlátos+zárt ekvivalens kompaktsággal erre (a korábban kimondott dologra) hivatkoztunk, és egységgömbfelület meg korlátos és zárt.
"Jó Tündér bizonyítása hol van?"
A Jo Tunder abban segített nekem, hogy véges dimben pont akkor fog valami konvergálni, ha (valamely bázisban) koordinátánként konvergál; nem tudom már melyik topicban.
Az egyseggomb lokalis kompaktsaga ertelmes fogalom: azt jelenti, hogy az egyseggomb az orokolt topologiaban lokalisan kompakt. Riesz tetele szerint vegtelen dimenzios normalt terben az egyseggomb nem ilyen, aminek kovetkezteben persze a teljes ter sem ilyen.
Bár meg kell mondjam, nem látom reménytelennek, hogy a vektortér véges dimenzióját és algebrai tulajdonságait felhasználva az euklideszi norma nélkül bizonyítsuk, hogy igaz a B-W tetszőleges normában vett konvergenciára. De ehhez fáradt vagyok (meg nem is érdekes annyira:).
Annál is inkább, mert a végtelen dimes Hilbertnél használjuk a végtelen dimenziót az ellenpéldához.