Keresés

Részletes keresés

Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1318

A bizonyítás második mondatában sajtóhiba van, helyesen: |x|'<=sum|xiei|'<=sum|x|.|ei|'

Előzmény: Gergo73 (1317)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1317

El lehet mondani még szebben.

 

Tétel. Legyen |.| a sup-norma Rn-en és |.|' egy tetszőleges másik norma. Ekkor vannak olyan c,C>0 pozitív konstansok, hogy tetszőleges nemnulla x vektorra c|x|<=|x|'<=C|x|.

 

Bizonyítás. Legyen x=x1e1+...+xnen, ahol ei az i. egységvektor (aminek i. koordinátája 1, a többi 0). Ekkor |x|'<=sum|xiei|<=sum|x|.|ei|', vagyis a felső becslés kövezkezik a C:=sum|ei|' konstanssal. Emiatt tetszőleges x1, x2 vektorokra ||x1|'-|x2|'|<=|x1-x2|'<=C|x1-x2|, vagyis |x|' folytonos függvény a |.| által generált topológiában. Ebben a topológiában S={x in Rn: |x|=1} kompakt, ezért S-en |x|' felveszi a minimumát, amit jelöljön c. Természetesen c>0. Most tetszőleges nemnulla x vektorra x/|x| az S-ben van, tehát |x/|x||'>=c, más szóval |x|'>=c|x|. Kész.

 

Előzmény: Gergo73 (1315)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1316
Kicsit zavaró, hogy az n-et kétféle értelemben használtam.
Előzmény: Gergo73 (1315)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1315

Az eddig elhangzottakból összeállt bennem egy még szebb, közvetlenebb bizonyítás.

 

Tétel. Legyen |.| a sup-norma Rn-en és |.|' egy tetszőleges másik norma. Ekkor vannak olyan c,C>0 pozitív konstansok, hogy tetszőleges nemnulla x vektorra c<|x|'/|x|<C.

 

Bizonyítás. Az egyenlőtlenség invariáns a skálázásra, ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy |x|=1, más szóval x=x1e1+...+xnen, ahol ei az i. egységvektor (aminek i. koordinátája 1, a többi 0) és xi a [-1,1] intervallumból való. Azt kell belátnunk, hogy vannak olyan c,C>0 konstansok, hogy c<|x|'<C. A felső becsléshez vegyük észre, hogy |x|'<=sum|xiei|'<=sum|ei|', tehát a jobb oldalt C-vel jelölve készen vagyunk. Az alsó becslést indirekt úton igazoljuk. Ha nem igaz, akkor van olyan (xn) pontsorozat az S:={x in Rn: |x|=1} felületen, amire |xn|'->0. Az S kompakt a |.| által generált topológiában, ezért van olyan x pontja, amire |x-xn|->0. A már igazolt felső becslésből |x-xn|'->0, tehát |x|'<=|x-xn|'+|xn|' miatt |x|'=0, vagyis x=0. De x az S pontja, ellentmondás.

 

Előzmény: elsoszulott (1314)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1314
"Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast."

Bővebben tehát: ahhoz hogy azt mondhassam, hogy korlátos koordniátás ellenpéldára vezettem vissza kell, hogy
1korlátos koordináták
2nem mind 0-hoz tart
3egész sorozat 0vektorhoz tart.


1:trivi mert 1-nél kisebb absz értékűek
2:ez azér igaz amit mondtam, tehát minden tagban van 1absz értékű koordináta
3 ez trivi mer idő után 1nél nagyobbal osztok mindenhol
Előzmény: Gergo73 (1308)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1313
Szép bizonyítás, persze. De a tét pont az volt, hogy az euklideszi metrikát, a természetes topológiát ki tudjuk-e küszöbölni. És egyelőre nem.
Előzmény: elsoszulott (1312)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1312
"Én egy algebraizált bizonyítást vártam. Ez még a B-W-t is használja. "

Még egy Jo Tunder sem tud egyszerre mindenkinek a kedvében járni:)
Majd ha erre jár kívánhatsz Tőle Te is.

Előzmény: Nautilus_ (1311)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1311
>>valós skalároknak

nem skalár, hanem valósoknak, csak egyszerűen. Én egy algebraizált bizonyítást vártam. Ez még a B-W-t is használja.
Előzmény: Nautilus_ (1309)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1310
"Ez szep es koszonet erte"

A Jo Tunder-nek kell köszönni, én csak megértettem és megjegyeztem.



"A vegen kicsit elkavarodtal"

Szerintem nem.
Az indirekt feltevésünk adott egy kamu-ellenpéldát, azt indokoltam hogy ez a leosztás után is ellenpélda marad (vagyis nem lehet, hogy a leosztott sorozatban már minden koordináta 0-hoz megy)
Előzmény: Gergo73 (1308)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1309
Ez használja R természetes topológiájának tulajdonságait szvsz. Ugyanis a koordinátáknak, mint valós skalároknak kell konvergálni. Szvsz ez semmit sem segít.
Előzmény: elsoszulott (1306)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1308
Ez szep es koszonet erte. A vegen kicsit elkavarodtal:

> tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni

Ezt eddig is tudtuk, hiszen ez volt az indirekt felteves. Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast.
Előzmény: elsoszulott (1306)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1307
> Ebből már triviálisan jön, hogy az egységgömbre szorított relatív topológia nem lokálisan kompakt

Valoban.
Előzmény: Nautilus_ (1290)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1306
Rögzítünk egy tetszőleges bázist. Elég megmutatni, hogy 0-hoz pont akkor tart egy sorozat, ha a koordináták mind 0-hoz tartanak (a triviális irányt nem igazolom); indirekt tartson egy sorozat 0-hoz úgy, hogy létezik koordináták-sorozata ami nem tart 0-hoz. Ekkor ha a koordináta-sorozatok mind korlátosak, akkor valamelyiknek van nem 0-hoz konvergáló részsorozata veszem az egész sorozat ezen részsorozatát, majd B-W-vel bekonvergáltatom többieket, és kijön, hogy nem 0vektorhoz tart.
Ha nem korlátosak, akkor veszek olyan részsorozatot, ahol valamely koordniáta abszolút-értéke végtelenbe tart, majd minden tagot osztom a benne szereplő legnagyobb absz-értékű koordniáta abszolútértékével, ekkor továbbra is 0vektorhoz megy a dolog és ekkor már korlátosak, és minden tagban van 1abszértékű, tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni.
Előzmény: Gergo73 (1305)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1305
Ird le, mert ez a bizonyitas lelke. Vesd ossze az elozo uzenetemmel, ahol arra is ramutatok, hogy az egyseggomb kompaktsaga egy folosleges lepes, teljesen kihagyhato.
Előzmény: elsoszulott (1301)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1304
Ha mar tudod, hogy a konvergens sorozatok ekvivalensek, akkor nem kell egyaltalan kompaktsagra meg Bolzano-Weierstrassra es Weierstrass-ra hivatkozni. Elmondom miert. Legyen V egy veges dimenzios vektorter, rajta |.|_1 es |.|_2 tetszoleges normak. Mivel konvergens sorozatok a ket normaban ekvivalensek, ezert van olyan r>0 hogy |x|_1<=r eseten |x|_2<=1, hiszen kulonben lenne olyan x_n pontsorozat, amire |x_n|_1<=1/n, de |x_n|_2>1, azaz a pontsorozat az egyik normaban a nullahoz konvergalna, a masikban meg nem. Ha most x tetszoleges nemnulla vektor, akkor az s:=|x|_1 jelolessel |(r/s)x|_1=r, vagyis r tulajdonsaga miatt |(r/s)x|_2<=1, mas szoval |x|_2<=c|x|_1, ahol c:=1/r. Hasonloan lathato, hogy |x|_1<=c'|x|_2, ahol c'>0 alkalmas pozitiv konstans, kesz.

Szoval a kompaktsagot szerintem kar volt belekeverni. Az igazi kerdes az, hogy a konvergens sorozatok miert ugyanazok barmely normaban, mas szoval miert generalja barmely norma ugyanazt a topologiat. Ennek bizonyitasara kivancsi lennek, mert amit en ismerek az teljes indukcioval megy (1-kodimenzios alterek zartsagan keresztul) es nem egeszen trivialis.
Előzmény: elsoszulott (1299)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1303
A dolog azért is érdekes, mert az euklideszi norma az R természetes topológiájából ered, tehát NEM algebrai fogalom. A tét tehát az, hogy tisztán algebrai módon lehet-e igazolni az állítást.
Előzmény: elsoszulott (1301)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1302
"En a fenti allitast csak ugy tudom bizonyitani"


Ha nem létezne rá más bizonyítás, akkor a bizonyítandó állításhoz felhasználnánk hogy egy sokkal erősebb állítást már előre tudunk, hogy igaz. Tehát hülyeség lenne, így a Tanárúr nyilván máshonnan tudja, hogy vég dimben korlátos+zárt=kompakt, holnap asszem följön pestre, majd letámadom.

De nekem igazából az volt eredeti bajom, hogy norma saját távolságfogalmára Lipschitzes, de a halmaz másféle távolságfogalommal kompakt, mégis Weierstass-oztunk, ezen a Jo Tunder segítségével úrrá lettem, de örülök, hogy előjött így mostmár teljesen jól be tudnám bizonyítani.

Előzmény: Gergo73 (1300)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1301
"Kivancsi lettem volna, hogy Jo Tunder hogy csinalja."

A Jo Tunder csak azt igazolta nekem, amit írtam alább; azt le tudom írni ha akarod.
Előzmény: Gergo73 (1287)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1300
Ideztel egy allitast, miszerint korlatos es zart halmaz (tetszoleges veges dimenzios normalt terben) kompakt. Ez egy igaz allitas, de hogy bizonyitod az euklideszi norma kikerulesevel?

En a fenti allitast csak ugy tudom bizonyitani, hogy (1) belatom az euklideszi normara (2) belatom hogy minden norma becsulheto alulrol es felulrol az euklideszi norma egy pozitiv konstansszorosaval. A (2) miatt egy tetszoleges normaban korlatos es zart halmaz az euklideszi normaban is korlatos es zart, tehat (1) miatt kompakt.
Előzmény: elsoszulott (1291)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1299
Így most már szerintem teljesen rendben a dolog, Jo Tunder elmondta, hogy konv. sorozatok miért lesznek ekvivalensek; Gergo73 meg rámutatott, hogy elég megmutatni, hogy mindenki pl összegnormával, lesz ekvivalens (ennél meg a kompaktságot a könnyű becslésekkel is megkapjuk)
Előzmény: Nautilus_ (1296)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1298
Rendben. De nem ez most a lényeg.
Előzmény: elsoszulott (1297)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1297


"Azt mondom, hogy a Bolzano-Weierstrass-ból tudjuk (és erre hivatkoztatok),"

Arra hivatkoztunk amit írtam, nem arra amit Te mondasz.
Előzmény: Nautilus_ (1294)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1296
Rendben, ezt korábban meg is beszéltük, én is ezt a biz-t ismerem. De a lényegen ez nem változtat: olyan biz. kéne, amely semmilyen előre definiált normát nem használ. Szvsz van is ilyen, csak gondolkodni kéne.
Előzmény: elsoszulott (1295)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1295
"Bolzano-Weierstrass az euklideszi normára"

B-W -vel összegnormára, euklideszire stb meg tudod mutatni egyesével bekonvergáltatva a koordinátákat, hogy ott korlátos+zárt -ból kompakt lesz a véges dimbe, de az itt használt becslésed nem mőködik minden normánál, hiszen "többieket" kidobálva nem feltétlen becsülöd alul a kifejezés normáját.

Mi csak Weierstrass-t használtunk, hogy kompakt halmazon folytonos fvény minimumát meg maximumát biztosítsuk. B-W-t nem.
Előzmény: Nautilus_ (1289)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1294
Nem. Azt mondom, hogy a Bolzano-Weierstrass-ból tudjuk (és erre hivatkoztatok), hogy az euklideszi normával generált topológia szerinti zárt, korlátos halmazok kompaktak. -> bármely norma szerint vett korl. zárt halmaz kompakt.

A kérdés, hogy hogyan lehetne megmutatni az euklideszi, vagy bármilyen konkrét normára való hivatkozás nélkül, hogy BÁRMELY definiálható norma szerinti korlátos, zárt halmazok kompaktak?
Előzmény: elsoszulott (1293)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1293
"Véges dimben meg korlátos+zárt ekvivalens kompaktsággal erre (a korábban kimondott dologra) hivatkoztunk"

Tehát azt mondod, hogy létezik véges dimben olyan norma és szerinte vett korlátos és zárt halmaz ami nem kompakt, és így nem igaz amire hivatkoztunk?
Előzmény: Nautilus_ (1289)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1292
>>véges dimben pont akkor fog valami konvergálni, ha (valamely bázisban) koordinátánként konvergál; nem tudom már melyik topicban.

Erre én is gondoltam, és ki is jönne az euklideszire való hivatkozás nélkül. A gond az, hogy a norma _tetszőleges_ normafüggvény, nem kéne, hogy "tényleg" közel legyenek a vektorok egymáshoz, csak az R-beli "távolság-értékük". A valóságban persze így van, de ez csak az euklidesziből látszik.
Előzmény: elsoszulott (1285)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1291
"Ugyanis a korlatossag definiciojaban az euklideszi norma szerepel"

Nálunk egy normált térben az a korlátos halmaz, akinek minden elemének normája kisebb egy adott számnál. Tehát az egységgömb arra a normára nézve kell korlátos+zárt legyen amilyen norma szerint ő egységgömb, így persze könnyű neki.




Előzmény: Gergo73 (1287)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1290
Melyik tetelrol beszelsz es melyik elso felerol?



Arról a tételről beszélek, hogy az egységgömb sosem kompakt. Ez az első fele, és nem trivi. (1)
Ebből már triviálisan jön, hogy az egységgömbre szorított relatív topológia nem lokálisan kompakt, és a tér sem az, de mindkettő trivi (1) ismeretében, mert minden környezet eltolható 0-ba, és ott kicsinyíthető.
Előzmény: Gergo73 (1288)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1289
>>Véges dimben meg korlátos+zárt ekvivalens kompaktsággal erre (a korábban kimondott dologra) hivatkoztunk,

Épp ezt kifogásolta Gergő: ez u.is a Bolzano-Weierstrass az euklideszi normára (ti. amire hivatkoztatok).
Előzmény: elsoszulott (1285)

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!