a rendszerelméleti emergencia logikailag a következőt jelenti. Vannak tulajdonságaink, azaz R(x_1, ...x_k) relációink. Vannak komponenseink. Ezek szerepelhetnek a relációk változóhelyein (kielégíthetik azokat). Mármost ha a rendszer elég kicsi, akkor bizonyos tulajdonságok, azaz relációk nem elégülhetnek ki, hiszen nincs elég komponens. Ahogyan a rendszer nő, több komponens megjelenik, és kielégül egy (sokváltozós) reláció.
A példában legalább k db. komponens kell, hogy a reláció kielégülhessen, AZAZ a rendszernek meglegyen az R tulajdonsága.
A holisták szerint a pl. a tudat lehet ilyen. Mások szerint meg nem.
Császár első kötetének most már tényleg a végén járok, de sajna az ívhosszúság kiszámítása még elég ködös, azt úgy még értem, hogy a Pithagorasz tételt és a Lagrange-féle középérték tételt használja, de ugyanúgy, mint a kiválasztási axióma, az eljárások nem igazán érthetőek és indokoltak. Tudnál ezekben egy kis segítséget nyújtani?
Kedves Nautilus, föl szeretném hívni a Megbukott az ateizmus? c. topicra a figyelmedet, s ha talán tudsz egy pontosabb kifejtést a rendszerelméleti emergenciára, örömmel várjuk, mondom ezt az ottani értetlenkedők nevében is.
>> Ez Th(R) másodrendű struktúráira működik is, mert R minimális (prím) modell.
ez némi magyarázotot kíván. Th^2(R) ZFC-modell szerint változhat - ha már elsőrendűvé tettük - , hiszen maga R is. Én persze a V-beli R-ről beszéltem. Az azonban igaz, hogy Th^2(R) (a "másodrendű" axiómákkal) egyetlen ZFC-modellben sem lehet eldönthető! És ez nehéz. R minimalitása (és prím volta) is csak adott kontinuum számosságra, és V-re vonatkozik. Az algebrai számok megszámlálható modellje elemen ekvivalens R-rel, és persze számos más megszámlálható modell van.
Felhívom a figyelmet, hogy ha egyszer R-t ZFC-modellben interpretáltuk, akkor bizonyos részhalmazai is elemei lesznek a struktúra alaphalmazának! Ezért "az igazi R-ről" csupán V-ben van értelme beszélni.
Tehát az az érdekes tény, hogy 1. Th^2(R) változhat (ZFC-modelltől függve), de sosem eldönthető (ez nem triviális, hiszen N is változhat!); 2. R másodrendű axiómarendszerei sem dönthetők el. Én a másodikat az elsőre vezettem vissza, de ez sem triviális.
Jobbára 1. és 2. megoldható a Gödel-tétellel, mert Q elég kicsi, hogy benne legyen az axiómarendszerekben.
Annyit megjegyeznék, hogy az analízis axiómarendszerei, ha PA-t nem is, Q-t tudják többnyire. Ezért a Gödel-tételből következik nemteljességük.
Néha azonban nem. Ezért elgondolkodtam, hogy hogyan lehet _másodrendű_ axiómarendszerrel szemantikus interpretációval eldönthetetlenséget bizonyítani. Ilyenkor bevezetjük az "eleme" relációt, és így elsőrendűvé tesszük (ZFC-modellben) a struktúrákat. Megmutatjuk, hogy ezekben a struktúrákban pl. N-t mindig lehet szemantikusan interpretálni, és kész. Ez Th(R) másodrendű struktúráira működik is, mert R minimális (prím) modell.
Tétel. Legyen |.| a sup-norma Rn-en és |.|' egy tetszőleges másik norma. Ekkor vannak olyan c,C>0 pozitív konstansok, hogy tetszőleges nemnulla x vektorra c|x|<=|x|'<=C|x|.
Bizonyítás. Legyen x=x1e1+...+xnen, ahol ei az i. egységvektor (aminek i. koordinátája 1, a többi 0). Ekkor |x|'<=sum|xiei|<=sum|x|.|ei|', vagyis a felső becslés kövezkezik a C:=sum|ei|' konstanssal. Emiatt tetszőleges x1, x2 vektorokra ||x1|'-|x2|'|<=|x1-x2|'<=C|x1-x2|, vagyis |x|' folytonos függvény a |.| által generált topológiában. Ebben a topológiában S={x in Rn: |x|=1} kompakt, ezért S-en |x|' felveszi a minimumát, amit jelöljön c. Természetesen c>0. Most tetszőleges nemnulla x vektorra x/|x| az S-ben van, tehát |x/|x||'>=c, más szóval |x|'>=c|x|. Kész.
Az eddig elhangzottakból összeállt bennem egy még szebb, közvetlenebb bizonyítás.
Tétel. Legyen |.| a sup-norma Rn-en és |.|' egy tetszőleges másik norma. Ekkor vannak olyan c,C>0 pozitív konstansok, hogy tetszőleges nemnulla x vektorra c<|x|'/|x|<C.
Bizonyítás. Az egyenlőtlenség invariáns a skálázásra, ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy |x|=1, más szóval x=x1e1+...+xnen, ahol ei az i. egységvektor (aminek i. koordinátája 1, a többi 0) és xi a [-1,1] intervallumból való. Azt kell belátnunk, hogy vannak olyan c,C>0 konstansok, hogy c<|x|'<C. A felső becsléshez vegyük észre, hogy |x|'<=sum|xiei|'<=sum|ei|', tehát a jobb oldalt C-vel jelölve készen vagyunk. Az alsó becslést indirekt úton igazoljuk. Ha nem igaz, akkor van olyan (xn) pontsorozat az S:={x in Rn: |x|=1} felületen, amire |xn|'->0. Az S kompakt a |.| által generált topológiában, ezért van olyan x pontja, amire |x-xn|->0. A már igazolt felső becslésből |x-xn|'->0, tehát |x|'<=|x-xn|'+|xn|' miatt |x|'=0, vagyis x=0. De x az S pontja, ellentmondás.
"Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast."
Bővebben tehát: ahhoz hogy azt mondhassam, hogy korlátos koordniátás ellenpéldára vezettem vissza kell, hogy 1korlátos koordináták 2nem mind 0-hoz tart 3egész sorozat 0vektorhoz tart.
1:trivi mert 1-nél kisebb absz értékűek 2:ez azér igaz amit mondtam, tehát minden tagban van 1absz értékű koordináta 3 ez trivi mer idő után 1nél nagyobbal osztok mindenhol
A Jo Tunder-nek kell köszönni, én csak megértettem és megjegyeztem.
"A vegen kicsit elkavarodtal"
Szerintem nem. Az indirekt feltevésünk adott egy kamu-ellenpéldát, azt indokoltam hogy ez a leosztás után is ellenpélda marad (vagyis nem lehet, hogy a leosztott sorozatban már minden koordináta 0-hoz megy)
Ez használja R természetes topológiájának tulajdonságait szvsz. Ugyanis a koordinátáknak, mint valós skalároknak kell konvergálni. Szvsz ez semmit sem segít.
Ez szep es koszonet erte. A vegen kicsit elkavarodtal:
> tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni
Ezt eddig is tudtuk, hiszen ez volt az indirekt felteves. Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast.
Rögzítünk egy tetszőleges bázist. Elég megmutatni, hogy 0-hoz pont akkor tart egy sorozat, ha a koordináták mind 0-hoz tartanak (a triviális irányt nem igazolom); indirekt tartson egy sorozat 0-hoz úgy, hogy létezik koordináták-sorozata ami nem tart 0-hoz. Ekkor ha a koordináta-sorozatok mind korlátosak, akkor valamelyiknek van nem 0-hoz konvergáló részsorozata veszem az egész sorozat ezen részsorozatát, majd B-W-vel bekonvergáltatom többieket, és kijön, hogy nem 0vektorhoz tart. Ha nem korlátosak, akkor veszek olyan részsorozatot, ahol valamely koordniáta abszolút-értéke végtelenbe tart, majd minden tagot osztom a benne szereplő legnagyobb absz-értékű koordniáta abszolútértékével, ekkor továbbra is 0vektorhoz megy a dolog és ekkor már korlátosak, és minden tagban van 1abszértékű, tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni.
Ird le, mert ez a bizonyitas lelke. Vesd ossze az elozo uzenetemmel, ahol arra is ramutatok, hogy az egyseggomb kompaktsaga egy folosleges lepes, teljesen kihagyhato.
Ha mar tudod, hogy a konvergens sorozatok ekvivalensek, akkor nem kell egyaltalan kompaktsagra meg Bolzano-Weierstrassra es Weierstrass-ra hivatkozni. Elmondom miert. Legyen V egy veges dimenzios vektorter, rajta |.|_1 es |.|_2 tetszoleges normak. Mivel konvergens sorozatok a ket normaban ekvivalensek, ezert van olyan r>0 hogy |x|_1<=r eseten |x|_2<=1, hiszen kulonben lenne olyan x_n pontsorozat, amire |x_n|_1<=1/n, de |x_n|_2>1, azaz a pontsorozat az egyik normaban a nullahoz konvergalna, a masikban meg nem. Ha most x tetszoleges nemnulla vektor, akkor az s:=|x|_1 jelolessel |(r/s)x|_1=r, vagyis r tulajdonsaga miatt |(r/s)x|_2<=1, mas szoval |x|_2<=c|x|_1, ahol c:=1/r. Hasonloan lathato, hogy |x|_1<=c'|x|_2, ahol c'>0 alkalmas pozitiv konstans, kesz.
Szoval a kompaktsagot szerintem kar volt belekeverni. Az igazi kerdes az, hogy a konvergens sorozatok miert ugyanazok barmely normaban, mas szoval miert generalja barmely norma ugyanazt a topologiat. Ennek bizonyitasara kivancsi lennek, mert amit en ismerek az teljes indukcioval megy (1-kodimenzios alterek zartsagan keresztul) es nem egeszen trivialis.
A dolog azért is érdekes, mert az euklideszi norma az R természetes topológiájából ered, tehát NEM algebrai fogalom. A tét tehát az, hogy tisztán algebrai módon lehet-e igazolni az állítást.
Ha nem létezne rá más bizonyítás, akkor a bizonyítandó állításhoz felhasználnánk hogy egy sokkal erősebb állítást már előre tudunk, hogy igaz. Tehát hülyeség lenne, így a Tanárúr nyilván máshonnan tudja, hogy vég dimben korlátos+zárt=kompakt, holnap asszem följön pestre, majd letámadom.
De nekem igazából az volt eredeti bajom, hogy norma saját távolságfogalmára Lipschitzes, de a halmaz másféle távolságfogalommal kompakt, mégis Weierstass-oztunk, ezen a Jo Tunder segítségével úrrá lettem, de örülök, hogy előjött így mostmár teljesen jól be tudnám bizonyítani.
Ideztel egy allitast, miszerint korlatos es zart halmaz (tetszoleges veges dimenzios normalt terben) kompakt. Ez egy igaz allitas, de hogy bizonyitod az euklideszi norma kikerulesevel?
En a fenti allitast csak ugy tudom bizonyitani, hogy (1) belatom az euklideszi normara (2) belatom hogy minden norma becsulheto alulrol es felulrol az euklideszi norma egy pozitiv konstansszorosaval. A (2) miatt egy tetszoleges normaban korlatos es zart halmaz az euklideszi normaban is korlatos es zart, tehat (1) miatt kompakt.
Így most már szerintem teljesen rendben a dolog, Jo Tunder elmondta, hogy konv. sorozatok miért lesznek ekvivalensek; Gergo73 meg rámutatott, hogy elég megmutatni, hogy mindenki pl összegnormával, lesz ekvivalens (ennél meg a kompaktságot a könnyű becslésekkel is megkapjuk)
Rendben, ezt korábban meg is beszéltük, én is ezt a biz-t ismerem. De a lényegen ez nem változtat: olyan biz. kéne, amely semmilyen előre definiált normát nem használ. Szvsz van is ilyen, csak gondolkodni kéne.