Keresés

Részletes keresés

Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.05 0 0 1325
Auréliusz,

a rendszerelméleti emergencia logikailag a következőt jelenti. Vannak tulajdonságaink, azaz R(x_1, ...x_k) relációink. Vannak komponenseink. Ezek szerepelhetnek a relációk változóhelyein (kielégíthetik azokat). Mármost ha a rendszer elég kicsi, akkor bizonyos tulajdonságok, azaz relációk nem elégülhetnek ki, hiszen nincs elég komponens. Ahogyan a rendszer nő, több komponens megjelenik, és kielégül egy (sokváltozós) reláció.

A példában legalább k db. komponens kell, hogy a reláció kielégülhessen, AZAZ a rendszernek meglegyen az R tulajdonsága.

A holisták szerint a pl. a tudat lehet ilyen. Mások szerint meg nem.
Előzmény: Auréliusz (1323)
Auréliusz Creative Commons License 2009.02.05 0 0 1324
Császár első kötetének most már tényleg a végén járok, de sajna az ívhosszúság kiszámítása még elég ködös, azt úgy még értem, hogy a Pithagorasz tételt és a Lagrange-féle középérték tételt használja, de ugyanúgy, mint a kiválasztási axióma, az eljárások nem igazán érthetőek és indokoltak. Tudnál ezekben egy kis segítséget nyújtani?
Előzmény: Gergo73 (1321)
Auréliusz Creative Commons License 2009.02.05 0 0 1323
Kedves Nautilus, föl szeretném hívni a Megbukott az ateizmus? c. topicra a figyelmedet, s ha talán tudsz egy pontosabb kifejtést a rendszerelméleti emergenciára, örömmel várjuk, mondom ezt az ottani értetlenkedők nevében is.
Előzmény: Nautilus_ (1322)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.04 0 0 1322
>> Ez Th(R) másodrendű struktúráira működik is, mert R minimális (prím) modell.

ez némi magyarázotot kíván. Th^2(R) ZFC-modell szerint változhat - ha már elsőrendűvé tettük - , hiszen maga R is. Én persze a V-beli R-ről beszéltem. Az azonban igaz, hogy Th^2(R) (a "másodrendű" axiómákkal) egyetlen ZFC-modellben sem lehet eldönthető! És ez nehéz.
R minimalitása (és prím volta) is csak adott kontinuum számosságra, és V-re vonatkozik. Az algebrai számok megszámlálható modellje elemen ekvivalens R-rel, és persze számos más megszámlálható modell van.

Felhívom a figyelmet, hogy ha egyszer R-t ZFC-modellben interpretáltuk, akkor bizonyos részhalmazai is elemei lesznek a struktúra alaphalmazának! Ezért "az igazi R-ről" csupán V-ben van értelme beszélni.

Tehát az az érdekes tény, hogy
1. Th^2(R) változhat (ZFC-modelltől függve), de sosem eldönthető (ez nem triviális, hiszen N is változhat!);
2. R másodrendű axiómarendszerei sem dönthetők el.
Én a másodikat az elsőre vezettem vissza, de ez sem triviális.

Jobbára 1. és 2. megoldható a Gödel-tétellel, mert Q elég kicsi, hogy benne legyen az axiómarendszerekben.
Előzmény: Nautilus_ (1320)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.03 0 0 1321
Most sajnos nincs idom, de majd megnezem ha lesz!
Előzmény: Nautilus_ (1319)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.03 0 0 1320
Annyit megjegyeznék, hogy az analízis axiómarendszerei, ha PA-t nem is, Q-t tudják többnyire. Ezért a Gödel-tételből következik nemteljességük.

Néha azonban nem. Ezért elgondolkodtam, hogy hogyan lehet _másodrendű_ axiómarendszerrel szemantikus interpretációval eldönthetetlenséget bizonyítani. Ilyenkor bevezetjük az "eleme" relációt, és így elsőrendűvé tesszük (ZFC-modellben) a struktúrákat. Megmutatjuk, hogy ezekben a struktúrákban pl. N-t mindig lehet szemantikusan interpretálni, és kész. Ez Th(R) másodrendű struktúráira működik is, mert R minimális (prím) modell.
Előzmény: Nautilus_ (1319)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.03 0 0 1319
Gergő, ha van kedved, nézd meg (1266)-ot és (1267)-et. Ezt egy korábbi vitánkhoz írtam, és szvsz érdekes.
Előzmény: Gergo73 (1318)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1318

A bizonyítás második mondatában sajtóhiba van, helyesen: |x|'<=sum|xiei|'<=sum|x|.|ei|'

Előzmény: Gergo73 (1317)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1317

El lehet mondani még szebben.

 

Tétel. Legyen |.| a sup-norma Rn-en és |.|' egy tetszőleges másik norma. Ekkor vannak olyan c,C>0 pozitív konstansok, hogy tetszőleges nemnulla x vektorra c|x|<=|x|'<=C|x|.

 

Bizonyítás. Legyen x=x1e1+...+xnen, ahol ei az i. egységvektor (aminek i. koordinátája 1, a többi 0). Ekkor |x|'<=sum|xiei|<=sum|x|.|ei|', vagyis a felső becslés kövezkezik a C:=sum|ei|' konstanssal. Emiatt tetszőleges x1, x2 vektorokra ||x1|'-|x2|'|<=|x1-x2|'<=C|x1-x2|, vagyis |x|' folytonos függvény a |.| által generált topológiában. Ebben a topológiában S={x in Rn: |x|=1} kompakt, ezért S-en |x|' felveszi a minimumát, amit jelöljön c. Természetesen c>0. Most tetszőleges nemnulla x vektorra x/|x| az S-ben van, tehát |x/|x||'>=c, más szóval |x|'>=c|x|. Kész.

 

Előzmény: Gergo73 (1315)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1316
Kicsit zavaró, hogy az n-et kétféle értelemben használtam.
Előzmény: Gergo73 (1315)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1315

Az eddig elhangzottakból összeállt bennem egy még szebb, közvetlenebb bizonyítás.

 

Tétel. Legyen |.| a sup-norma Rn-en és |.|' egy tetszőleges másik norma. Ekkor vannak olyan c,C>0 pozitív konstansok, hogy tetszőleges nemnulla x vektorra c<|x|'/|x|<C.

 

Bizonyítás. Az egyenlőtlenség invariáns a skálázásra, ezért az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy |x|=1, más szóval x=x1e1+...+xnen, ahol ei az i. egységvektor (aminek i. koordinátája 1, a többi 0) és xi a [-1,1] intervallumból való. Azt kell belátnunk, hogy vannak olyan c,C>0 konstansok, hogy c<|x|'<C. A felső becsléshez vegyük észre, hogy |x|'<=sum|xiei|'<=sum|ei|', tehát a jobb oldalt C-vel jelölve készen vagyunk. Az alsó becslést indirekt úton igazoljuk. Ha nem igaz, akkor van olyan (xn) pontsorozat az S:={x in Rn: |x|=1} felületen, amire |xn|'->0. Az S kompakt a |.| által generált topológiában, ezért van olyan x pontja, amire |x-xn|->0. A már igazolt felső becslésből |x-xn|'->0, tehát |x|'<=|x-xn|'+|xn|' miatt |x|'=0, vagyis x=0. De x az S pontja, ellentmondás.

 

Előzmény: elsoszulott (1314)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1314
"Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast."

Bővebben tehát: ahhoz hogy azt mondhassam, hogy korlátos koordniátás ellenpéldára vezettem vissza kell, hogy
1korlátos koordináták
2nem mind 0-hoz tart
3egész sorozat 0vektorhoz tart.


1:trivi mert 1-nél kisebb absz értékűek
2:ez azér igaz amit mondtam, tehát minden tagban van 1absz értékű koordináta
3 ez trivi mer idő után 1nél nagyobbal osztok mindenhol
Előzmény: Gergo73 (1308)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1313
Szép bizonyítás, persze. De a tét pont az volt, hogy az euklideszi metrikát, a természetes topológiát ki tudjuk-e küszöbölni. És egyelőre nem.
Előzmény: elsoszulott (1312)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1312
"Én egy algebraizált bizonyítást vártam. Ez még a B-W-t is használja. "

Még egy Jo Tunder sem tud egyszerre mindenkinek a kedvében járni:)
Majd ha erre jár kívánhatsz Tőle Te is.

Előzmény: Nautilus_ (1311)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1311
>>valós skalároknak

nem skalár, hanem valósoknak, csak egyszerűen. Én egy algebraizált bizonyítást vártam. Ez még a B-W-t is használja.
Előzmény: Nautilus_ (1309)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1310
"Ez szep es koszonet erte"

A Jo Tunder-nek kell köszönni, én csak megértettem és megjegyeztem.



"A vegen kicsit elkavarodtal"

Szerintem nem.
Az indirekt feltevésünk adott egy kamu-ellenpéldát, azt indokoltam hogy ez a leosztás után is ellenpélda marad (vagyis nem lehet, hogy a leosztott sorozatban már minden koordináta 0-hoz megy)
Előzmény: Gergo73 (1308)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1309
Ez használja R természetes topológiájának tulajdonságait szvsz. Ugyanis a koordinátáknak, mint valós skalároknak kell konvergálni. Szvsz ez semmit sem segít.
Előzmény: elsoszulott (1306)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1308
Ez szep es koszonet erte. A vegen kicsit elkavarodtal:

> tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni

Ezt eddig is tudtuk, hiszen ez volt az indirekt felteves. Helyette mondd azt, hogy visszavezettuk a korlatos koordinatak esetere, ahol mar tudjuk az ellentmondast.
Előzmény: elsoszulott (1306)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1307
> Ebből már triviálisan jön, hogy az egységgömbre szorított relatív topológia nem lokálisan kompakt

Valoban.
Előzmény: Nautilus_ (1290)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1306
Rögzítünk egy tetszőleges bázist. Elég megmutatni, hogy 0-hoz pont akkor tart egy sorozat, ha a koordináták mind 0-hoz tartanak (a triviális irányt nem igazolom); indirekt tartson egy sorozat 0-hoz úgy, hogy létezik koordináták-sorozata ami nem tart 0-hoz. Ekkor ha a koordináta-sorozatok mind korlátosak, akkor valamelyiknek van nem 0-hoz konvergáló részsorozata veszem az egész sorozat ezen részsorozatát, majd B-W-vel bekonvergáltatom többieket, és kijön, hogy nem 0vektorhoz tart.
Ha nem korlátosak, akkor veszek olyan részsorozatot, ahol valamely koordniáta abszolút-értéke végtelenbe tart, majd minden tagot osztom a benne szereplő legnagyobb absz-értékű koordniáta abszolútértékével, ekkor továbbra is 0vektorhoz megy a dolog és ekkor már korlátosak, és minden tagban van 1abszértékű, tehát bekonvergáltatás után nem tud mindenki 0-hoz menni.
Előzmény: Gergo73 (1305)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1305
Ird le, mert ez a bizonyitas lelke. Vesd ossze az elozo uzenetemmel, ahol arra is ramutatok, hogy az egyseggomb kompaktsaga egy folosleges lepes, teljesen kihagyhato.
Előzmény: elsoszulott (1301)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1304
Ha mar tudod, hogy a konvergens sorozatok ekvivalensek, akkor nem kell egyaltalan kompaktsagra meg Bolzano-Weierstrassra es Weierstrass-ra hivatkozni. Elmondom miert. Legyen V egy veges dimenzios vektorter, rajta |.|_1 es |.|_2 tetszoleges normak. Mivel konvergens sorozatok a ket normaban ekvivalensek, ezert van olyan r>0 hogy |x|_1<=r eseten |x|_2<=1, hiszen kulonben lenne olyan x_n pontsorozat, amire |x_n|_1<=1/n, de |x_n|_2>1, azaz a pontsorozat az egyik normaban a nullahoz konvergalna, a masikban meg nem. Ha most x tetszoleges nemnulla vektor, akkor az s:=|x|_1 jelolessel |(r/s)x|_1=r, vagyis r tulajdonsaga miatt |(r/s)x|_2<=1, mas szoval |x|_2<=c|x|_1, ahol c:=1/r. Hasonloan lathato, hogy |x|_1<=c'|x|_2, ahol c'>0 alkalmas pozitiv konstans, kesz.

Szoval a kompaktsagot szerintem kar volt belekeverni. Az igazi kerdes az, hogy a konvergens sorozatok miert ugyanazok barmely normaban, mas szoval miert generalja barmely norma ugyanazt a topologiat. Ennek bizonyitasara kivancsi lennek, mert amit en ismerek az teljes indukcioval megy (1-kodimenzios alterek zartsagan keresztul) es nem egeszen trivialis.
Előzmény: elsoszulott (1299)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1303
A dolog azért is érdekes, mert az euklideszi norma az R természetes topológiájából ered, tehát NEM algebrai fogalom. A tét tehát az, hogy tisztán algebrai módon lehet-e igazolni az állítást.
Előzmény: elsoszulott (1301)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1302
"En a fenti allitast csak ugy tudom bizonyitani"


Ha nem létezne rá más bizonyítás, akkor a bizonyítandó állításhoz felhasználnánk hogy egy sokkal erősebb állítást már előre tudunk, hogy igaz. Tehát hülyeség lenne, így a Tanárúr nyilván máshonnan tudja, hogy vég dimben korlátos+zárt=kompakt, holnap asszem följön pestre, majd letámadom.

De nekem igazából az volt eredeti bajom, hogy norma saját távolságfogalmára Lipschitzes, de a halmaz másféle távolságfogalommal kompakt, mégis Weierstass-oztunk, ezen a Jo Tunder segítségével úrrá lettem, de örülök, hogy előjött így mostmár teljesen jól be tudnám bizonyítani.

Előzmény: Gergo73 (1300)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1301
"Kivancsi lettem volna, hogy Jo Tunder hogy csinalja."

A Jo Tunder csak azt igazolta nekem, amit írtam alább; azt le tudom írni ha akarod.
Előzmény: Gergo73 (1287)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1300
Ideztel egy allitast, miszerint korlatos es zart halmaz (tetszoleges veges dimenzios normalt terben) kompakt. Ez egy igaz allitas, de hogy bizonyitod az euklideszi norma kikerulesevel?

En a fenti allitast csak ugy tudom bizonyitani, hogy (1) belatom az euklideszi normara (2) belatom hogy minden norma becsulheto alulrol es felulrol az euklideszi norma egy pozitiv konstansszorosaval. A (2) miatt egy tetszoleges normaban korlatos es zart halmaz az euklideszi normaban is korlatos es zart, tehat (1) miatt kompakt.
Előzmény: elsoszulott (1291)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1299
Így most már szerintem teljesen rendben a dolog, Jo Tunder elmondta, hogy konv. sorozatok miért lesznek ekvivalensek; Gergo73 meg rámutatott, hogy elég megmutatni, hogy mindenki pl összegnormával, lesz ekvivalens (ennél meg a kompaktságot a könnyű becslésekkel is megkapjuk)
Előzmény: Nautilus_ (1296)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1298
Rendben. De nem ez most a lényeg.
Előzmény: elsoszulott (1297)
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1297


"Azt mondom, hogy a Bolzano-Weierstrass-ból tudjuk (és erre hivatkoztatok),"

Arra hivatkoztunk amit írtam, nem arra amit Te mondasz.
Előzmény: Nautilus_ (1294)
Nautilus_ Creative Commons License 2009.02.02 0 0 1296
Rendben, ezt korábban meg is beszéltük, én is ezt a biz-t ismerem. De a lényegen ez nem változtat: olyan biz. kéne, amely semmilyen előre definiált normát nem használ. Szvsz van is ilyen, csak gondolkodni kéne.
Előzmény: elsoszulott (1295)

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!