Egyébként, ha a "vektortérben" a "lineáris kombinációk" végtelenek, akkor a maximális bázis létezése szintén ekvivalens AC-val. Ugyanis a Zorn alapján ekkor minden generátorrendszernél van bővebb, tehát az egész rendezésnek is van maximuma. Persze általában kikötést teszünk a vektorok előállítására, pl l^2-ben (konvergencia).
Érdekes, hogy a végesség is szerepet játszik az AC-ben: a Teichmüller-Tukey analógiája alapján, ha egy végtelen halmaz minden megszámlálható(!) részhalmazán értelmezünk egy tulajdonságot, akkor nem feltétlenül van olyan maximális részhalmaz, amelynek minden megszámlálható részhalmaza az adott tulajdonságú.
Pl. nagy számosságok kombinatorikus definíciója alapul ezen az állításon! Tehát ez az állítás erősebb AC-nál. Véges részhalmazra ekvivalens vele.
Majd nézd meg az 1317-et. Pár sorban igazolja a normák ekvivalenciáját (véges dimenziós valós vektortéren) erős formában (Lipschitz-konstansokkal). Ez burkoltan Jó Tündér és az én korábbi észrevételem egyesítése, de sokkal szebben elmondva.
Persze, ez trivi. Én úgy definiálom a bázist, hogy minden elemet egyértelmű lin. kombinációval állít elő. Ez persze ekvivalens azzal, hogy lin. független gen.rendszer.
A Zorn lemma azt mondja ki (speciáis esetben), hogy ha egy halmazrendszerben minden növekvő lánc uniója is a rendszerben van, akkor annak a halmazrendszernek van maximális eleme a tartalmazásra nézve. És mint ellenőrizted, a lineárisan független halmazok rendszerére ez teljesül.
tomsawyer77 bizonyítása működik szvsz AC nélkül, mert R-ben van mindenütt sűrű (megszámlálható) halmaz, és intervallum ősképe folytonos leképezésnél intervallum. Ha ez nincs, akkor kell AC. De máshol is kell az AC gyengített változata, a DC.
Általános topológiánál mindenképpen kell. Mértékelméletben (van nem mérhető halmaz) elégséges feltétel.
"Ez azért van, mert lineárisan független rendszerek növekvő láncának uniója is ilyen (ellenőrizd)"
Ha lenne elemeknek nem trivi 0-t ádó lin. kombja, akkor veszem ezen elemek láncba való bekerülési indexeinek maximumát s így lin független rendszerben is találnék ilyen kombót ami ellentmondás.
"Ebből azonnal következik, hogy B generátorrendszer (ellenőrizd)"
Ez is könnyű, hiszen ha hozzáveszek egy v elemet, akkor lesz nem trivi 0-t adó kombó, amiben eredeti elemek függetlensége miatt v skalárja nem 0, így v előáll többiekből. Mivel ez minden v-re igaz így grendszer.
"magyarán bázis (ellenőrizd)"
Itt nem látom mit kellene még ellenőrizni, lin független+grendszer az def szerint már bázis.
Zorn lemmát elolvasom mielőtt tovább ügyködök, igazából ha maximális lin független rendszert létét tudom biztosítani, onnan már kihúztuk méregfogát.
Nem tudom, hogy melyik a nehezebb irány, mindenesetre ugyanezt a biz-t ismertem és gépeltem be pár napja egyik kérdezőnek, tehát azzal fölösbe fáradtál; csak arról nem tudtam, hogy itt AC-t használok. Ha ennyire alapvető tételek sem mennek AC nélkül, akkor nem is értem, hogy lehet sima ZF-ben dolgozni.
Amúgy erre kifejezetten érdekelne egy biz, ha van kedved leírni akkor örömmel veszem.
A Zorn-lemma szerint minden vektortérben van olyan B lineárisan független rendszer, ami maximális a tartalmazásra nézve. Ez azért van, mert lineárisan független rendszerek növekvő láncának uniója is ilyen (ellenőrizd). Más szóval B olyan linárisan független rendszer, hogy ha v tetszőleges nem B-beli vektor a térben, akkor BU{v} nem linárisan független. Ebből azonnal következik, hogy B generátorrendszer (ellenőrizd) és persze lineárisan független, magyarán bázis (ellenőrizd).
Bármely két bázisnak ugyanaz a számossága. Ha valamelyik bázis véges, akkor a bizonyítást ismered: minden bázis ugyanekkora. Legyen most {ai: i in I} és {bj: j in J} két bázis, ahol |I|>|J|>=omega. Mindegyik bj kifejezhető véges sok ai lineáris kombinációjaként. A fellépő ai-k száma legfeljebb omega.|J|=|J|<|I|. Ennek következtében van olyan ai, ami egyik bj előállításában sem vesz részt. Ez az ai kifejezhető véges sok bj lineáris kombinációjaként, és itt mindegyik bj tovább kifejezhető az eredeti ai-től különböző ai'-k lineáris kombinációjaként. Ez azt jelenti, hogy találtunk egy ai-t, ami felírható tőle különböző ai'-k lineáris kombinációjaként. Ellentmondás.
"folytonossag ekvivalens a sorozatfolytonossaggal. "
Ennek az általam ismert biz-jét leírtam nemrégiben itt is mer valaki kérdezte. Én nem látok benne AC-t ,TI-t mondhatjuk, hogy de.
"Egyebkent mar ahhoz is kell, hogy minden vektorternek van bazisa."
Ezt ha jól emléxem kielégítő módon csak véges dim-re láttuk be, Freud-könyv is nagyrészt véges dimet csinál, meg úgy általában féltenek minket, kicsiny matekos-palántákat végtelen dimtől, nagyobb szobanövény korunkban gondolom már többet dolgozunk végtelen dimes terekben is.
Amúgy erre kifejezetten érdekelne egy biz, ha van kedved leírni akkor örömmel veszem.
Az ívhosszt a Császár-könyv a 375. oldalon definiálja mint a görbébe írható töröttvonalak összhosszának felső határa (szuprémuma). A következő 4 oldal annak a részletes bizonyítását tartalmazza, hogy amennyiben a görbe {(f(t),g(t),h(t)) : a<=t<=b}, ahol f,g,h differenciálhatók és a deriváltjaik integrálhatók [a,b]-ben, akkor az ívhossz egyenlő az int[a,b] (f'2+g'2+h'2)dt integrállal. Az integrál definíciója előrébb található a könyvben mint végtelenül finomodó Riemann-összegek határértéke (a definíció azért értelmes, mert bizonyítható, hogy egy ilyen határérték ha létezik, akkor minden esetben ugyanaz). A Lagrange-féle középértéktétel a 4 oldalas bizonyításnak része, és azért beszél több több sorozatról, mert az ívhossz és az integrál definíciójában is több sorozat szerepel (az ívhossz definíciójában az összes beírható töröttvonal, az integrál definíciójában az összes Riemann-összeg). Senki nem állítja, hogy csak így lehet a két mennyiség (az ívhossz és az integrál) egyenlőségét bizonyítani, a könyv egy lehetséges bizonyítást tárgyal. Kiválasztási axiómáról amúgy hol van szó a bizonyításban?
Tegyük fel, hogy adva van valaki, aki matekból mindenféle gyanús üzelmet folytat. Na már most ez a személy többek közt azt hiszi, hogy az Ő konvexitás def-je ekvivalens az igazival és röhög a markába, hogy jelenlegi tudásoddal nem bírod megcáfolni. Szerencsére adottak fórumon olyan matematikusok akik nem engedtek a sötét oldalnak és tisztában vannak vele, hogy a 2 def nem ekvivalens ZFC-ben, viszont nem küzdhetnek meg helyetted a sötét erőkkel, de a tudásuk egy töredékére megtaníthatnak. Ekkor megtudod, hogy Hamel-bázissal és kiválasztási függvényekkel tudsz ellenpéldát csinálni, amivel már precízen cáfolhatod a gonosztevőt.
Ezen kívül én eddig semmi másra nem láttam használva AC-t, de fiatal még az idő.
"és annak deriváltja közötti különbség elhanyagolható."
Az, hogy valami elhanyagolható azt inkább műszaki tudományokban illetve fizikában van, matekban a legkisebb apró dögökkel is törődünk, max annyit mondunk, hogy tartanak 0-hoz bizonyos feltételek mellett. L-T.Sós könyvben van egy rövid eszmefuttatás, hogy régen anal ősmasszívumában tényleg elhanyagolni akartak volna " túl kicsi a többi mennyiséghez" indokkal. A számítások jók voltak, de logikai háttere agyrém, aztán végül Cauchyék tették helyre normálisan logikai hátteret.
A kiválasztási axiómának a szerepét nem értem, az ívhosszúság kiszámításában pedig azt, hogy miért beszél több sorozatról, és miért akarja utána bizonyítani, hogy az ívhosszt meghatározó sorozat összege és annak deriváltja közötti különbség elhanyagolható.
elsoszulott jol oldotta meg a feladatot. Elmondom ujra, talan ugy megerted. A B-n atmeno egyenes meredeksege 1/2, ezert a ra meroleges egyenesek meredeksege -2. Az A-n atmeno egyenes egyenlete tehat y=-2x+c alaku, ahol c egy konstans. A c erteket ugy tudod meg, hogy az A koordinatait behelyettesited ebbe az egyenletbe: 2=-2.4+c, azaz c=10. Tehat a masik befogoegyenes egyenlete y=-2x+10. A keresett C csucs rajta van mindket befogon, ezert ennek koordinatai kielegitik az y=x/2-1 es y=-2x+10 egyenleteket. Specialisan, a C csucs x-koordinataja kielegiti az x/2-1=-2x+10 egyenletet. Ezt megoldod: (5/2)x=11, x=22/5 (azaz 4.4). A C csucs y-koordinataja ebbol y=x/2-1=11/5-1=6/5 (azaz 1.2). Osszefoglalva: a C koordinatai (22/5;6/5).
Ilyen feladatoknál az a lényeg, hogy ha látod, hogy a Tanárnéni rendes, mindig mosolyog és olyan kedves feje van, akkor beviszel egy kockás lapot, lerajzolgatod, amit kérdez, aztán már látszik, hogy minek kell kijönni.
Jelen esetben lerajzolod a 2pontot, meg az egyenest, a másik befogó egyeneséről tudod, hogy merőleges az 1/2 meredekségű egyenesre és átmegy a 4;2 ponton, az elsőből a meredekségét megkapod úgy, hogy 1/2-et (-1)el szorzod majd reciprokát veszed, azaz a keresett egyenes meredeksége (-2) és illeszkedik a 4;2 pontra:
Vagyis y=-2x+b és keresed b-t, behelyettesíted a 4;2 pont koordinátáit vagyis 2=-2*4+b ebből megkapod, hogy a b az 10. így másik befogó egyenesének egyenlete y=-2x+10
Ezután megnézed, hogy 2befogó egyenese hol metszi egymást azaz -2x+10 és (1/2)x-1 mely x-re vesznek fel ugyanakkora y-t. -2x+10=(1/2)x-1 ebből 2,5x=11 x=4,4 és megnézed mennyi ez a közös érték valamelyikhez behelyettesítve y= 1/2*4,4 -1 =1,2 Tehát a C pont a x=4,4 y=1,2 nél kell legyen
Van egy derékszögű 3szög, annak meg vannak adva a végpontjai A(4;2) B (-6;-4) A B csúcson átmenő befogóegyenes egyenlete y= 1/2x-1. Számítsam ki hogy hol a C pont.
Ha tudnátok egy rövid, érthető magyarázatot adni, hálás lennék. Előre is köszi