Keresés

Részletes keresés

Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1425

Pl. a linkelt képlet az alábbi konkrét közelítéseket adja log(X) várható értékére

 

a=3000, s=5000 -> 3.48552

a=2000, s=6000 -> 1.90621

a=7000, s=4000 -> 8.70376

Előzmény: Gergo73 (1424)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1424

Ha X egy a átlagú, s szórású normális eloszlású változó, akkor log(X) várható értékére az alábbi közelítés adódik az ex=1+x+x2/2+O(x3) közelítést használva az integrálban a [0,2a] intervallumon: közelítés.

Előzmény: Gergo73 (1423)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1423

Az integrálással van problémám, abból szeretnék egy használható képletet csiholni, ami szerintem megoldható feladat.

 

Hát a "használható" az nem egy matematikai fogalom. Matematikailag az integrál az semmivel sem rosszabb művelet, mint a logaritmus. Annyi a különbség, hogy a logaritmus benne van minden számológépben, ez az integrál pedig nincs. De a logaritmust is fáradságosan számolja ki a számológép sok közelítő lépésen keresztül.

 

Na most az integrált pusztán a számológépek által ismert függvények (alapműveletek, logaritmus, szögfüggvények stb.) segítségével biztos nem lehet kifejezni. Erre nincs bizonyításom, de nyugodtan hidd el nekem. Ha közelítésre van szükséged, akkor az megoldható úgy, hogy mondjuk az adott f(x) Gauss-görbét az ex hatványsora segítségével az átlag körül egy nagy intervallumban magas fokú p(x) polinommal közelíted és aztán ln(x)p(x) könnyen integrálható parciális integrálással.

Előzmény: janedek (1422)
janedek Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1422
Ok, azt hiszem eljutottunk a kérdésemig. Az integrálással van problémám, abból szeretnék egy használható képletet csiholni, ami szerintem megoldható feladat. Integrálásban nem (sem) vagyok jó, mint azt írtam az első postomban. Behelyettesítettem a véletlen változó helyére ugye az e-ad függvéyt, de nem tudom megoldani, mert buta vagyok.
Előzmény: Gergo73 (1421)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1421

Ha az X pozitív értékű valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x), akkor az ln(X) várható értéke az ln(x)f(x) integrálja a pozitív számegyenesen. A Te esetedben f(x) egy Gauss-görbe megszorítása a pozitív számegyenesre, tehát egy konkrét integrál adja a keresett logaritmikus átlagot. Egyszerűbb képletet erre ne várj. Konkrét átlag és szórás esetén egy numerikus integrálással (szoftverrel) az eredmény tetszőleges pontossággal megkapható. A szórás kicsit bonyolultabb, de nem sokkal.

Előzmény: janedek (1420)
janedek Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1420
Kedves Gergő! Azt hiszem a legjobb lesz konkrétan leírnom a feladatot, talán ezzel kellett volna kezdenem, így utólag. Képfeldolgozással foglalkozom. Olyan fekete-fehér képeim vannak, melyeknek zaja nagyjából gaussos eloszlású (igen, csak közelítőleg). A pixeleim intenzitásai a halmaz elemei. Ezek nagyságrendileg kb. 1000-12000 közti értéket vehetnek fel. A zajuk nem olyan nagy, hogy negatív érték adódjon, ennek esélye közel 0, így zárjuk ki! Nekem végre kell hajtanom rajtuk egy logaritmikus transzformációt (most nem mennék bele, hogy miért), és számolnom kellene, hogyan változik a szórás (zaj) és az átlagfényesség. Ezt szeretném analitikus úton kiszámolni.
Előzmény: Gergo73 (1418)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1419

Érdekes ez a példa, mert én már azt sem értem, hogy miért kell deriválni, itt Taylor sort keresni, és az visszaintegrálni.

 

Senki sem mondta, hogy deriválni kell. A 1405-ben integráltuk az 1/(2-x)=sumn xn/2n+1 hatványsort. Természetesen az ln(2-x) Taylor-sorát úgy is meghatározhatod, hogy az összes deriváltjába behelyettesíted a 2-t és összerakod Taylor-sorrá, sokféleképpen be lehet bizonyítani ugyanazt.

 

f''=1*(2-x)-2

 

Ez nem stimmel, ugyanis f''=-(2-x)-2.

Előzmény: egy mutáns (1416)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1418

Amúgy azt se értem, hogy hogyan veszed negatív számok logaritmusát. Ugyanis egy gauss-os eloszlású változó negatív értékeket is felvesz (bizonyos valószínűséggel). Tehát ha generálsz egy statisztikai mintát, akkor abba negatív számok is becsúsznak néha. Szóval akárhogy is próbálom, nem értem a kérdést.

Előzmény: janedek (1414)
egy mutáns Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1417

Bocsánat, rossz helyre szúrtam utólag be az ln(2)-t.

A hibásra sikeredett sorok helyesen:

A 0. hatványú tag maga a függyvény értéke a keresett helyen  ln(2)

Az 1. tag az első derivált a megadott helyen

1m

Előzmény: egy mutáns (1416)
egy mutáns Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1416

Érdekes ez a példa, mert én már azt sem értem, hogy miért kell deriválni, itt Taylor sort keresni, és az visszaintegrálni.

x=0 helyen keresem, ezért a Taylor sor x hatványait fogja tartalmazni.

Ennek együtthatóit keressük.

A 0. hatványú tag maga a függyvény értéke a keresett helyen.

Az 1. tag az első derivált a megadott helyen ln(2)

f'=-(2-x)-1, értéke -2-1 (ezt osztani kell 1!-sal.)

A második:

f''=1*(2-x)-2, értéke 2-2, ezt osztani kell 2!-sal.

a harmadik:

f'''=-2(2-x)-3, értéke -2-2, ezt osztani kell 3!-sal(, ami 2!*3), azaz -1/(3*23)

a negyedik:

f''''=3!*(2-x)-4, értéke 3!*2-4, ezt osztani kell 4!-sal (, ami 3!*4), azaz 1/(4*24)

az ötödik:

fv=-4!*(2-x)-5, értéke -4!*2-5, ezt osztani kell 5!-sal (, ami 4!*5), azaz -1/(5*25)

Ebből valami szabály már kiolvasható, és gondolom, az n-edik deriváltról az n+1.-re matematikai indukcióval igazolható:

f(n)(x=0)=+/- 1/(n*2n)

Vagy valamit nagyon elnéztem, vagy nem jön ki Gergő képlete, mert nekem váltakozóak az előjelek.

Az igaz, hogy ez talán komplikáltabb, és ezért jó ötlet a "le"deriválás és "fel"integrálás. Vagy más oka is lenne?

 

1m

Előzmény: Gergo73 (1405)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1415

Értem. Egy véges halmaznak az eloszlása csak diszkrét lehet, tehát sosem gauss-os. Ha egy gauss-os eloszlási valószínűségi változóból egy nagy számú véges mintát veszel, akkor annak (diszkrét) eloszlása persze közelíti a gauss-os eloszlást a nagy számok törvényének megfelelően. De ez csak közelítés és csak tipikus viselkedés. Egy gauss-os eloszlású változóból is kijön nagyritkán mondjuk a 0,0,...,0 minta (egymilliószor). Jó lenne először tisztába tenni ezeket a fogalmakat, különben nem tudsz értelmesen kérdezni.

 

Előzmény: janedek (1414)
janedek Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1414
Igen, ezért írtam, hogy gauss-os eloszlású. Nekem ilyen nagy elemszámom van, erre kellene kellene várható értéket és szórást számolnom, de kellene hozzá egy függvény. A logaritmikus transzformáció asszimetrikussá teszi a harang-görbét, de itt el is akadtam.
Előzmény: Gergo73 (1412)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1413

Nekem egy olyan képlet kellene, ami ilyesmi nagyságrendre megadja, hogyha a bemenet átlaga x, szórása s, akkor a log(halmaz) x'-je és s'-je mennyi...?

 

Ha megértetted volna a példámat, akkor tudnád, hogy ilyen képlet egyszerűen nincs. Hasonlóan nincs, ahogy nem lehet megmondani két szám összegéből a két szám különbségét.

 

Te igazából arra vagy kíváncsi, hogy ha egy X valószínűségi változónak ismerjük az eloszlását (nem csak az átlagát és a szórását!), akkor hogyan határozzuk meg a log(X) változó eloszlását (többek között az átlagát és a szórását). Ez egy egészen más kérdés! Első nekifutásra azt kéne tudni, mi a változóidnak a valószínűségi eloszlása, magyarán miként generálod a számhalmazaidat. Ugyanis más eloszlás más végeredményt produkál.

 

Előzmény: janedek (1411)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1412

Az általam adott példa is csak pozitív számokból áll. Ha felszorzod őket 5000-zel, akkor az átlaguk is 5000 lesz, a szórásnégyzetük pedig 50002/2. Te valamilyen konkrét valószínűségi eloszlás szerint generálod a számaidat, ezért tipikus viselkedést figyelsz meg (ami a konkrét eloszlástól függ), a nagy számok törvényének egy konkrét megnyilvánulását. Például ha feldobod a dobókockát egymilliószor, akkor az átlaguk közel lesz a 7/2-hez, a logaritmusaik átlaga pedig az ln(720)/6-hoz. Ez a tipikus viselkedés, de nagyritkán ettől nagyon eltérő viselkedést is kapsz, pl. egymillió 6-os is kijöhet egymás után a dobókockán, ez is egy lehetséges minta.

 

A Te kérdésed és az én válaszom nem tipikus viselkedésről szólt, hanem minden lehetséges viselkedésről.

Előzmény: janedek (1411)
janedek Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1411
Igazad van, ezért konkrétabb leszek. Az én halmazaim csak pozitív számokból állnak, nagyságrendileg kb. 1 000 - 12 000 átlaggal. Generáltam két olyan halmazt, aminek az átlaga, és szórása is 10 000 volt (elemszám 1 000 000). Logaritmikusan transzformálva számoltam az átlagot és a fényességet, átlagra 7.72-őt, szórásra 3.46-ot kaptam mindkét esetben. Nekem egy olyan képlet kellene, ami ilyesmi nagyságrendre megadja, hogyha a bemenet átlaga x, szórása s, akkor a log(halmaz) x'-je és s'-je mennyi...?
Előzmény: Gergo73 (1410)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1410

Ugyanolyan átlag és szórás esetén is nagyon eltérő lehet a logaritmusok átlaga, még akkor is, ha nagyon nagy az elemszám. Pl. ha a halmazod az 1+cos(x), 1-cos(x), 1+sin(x), 1-sin(x) számokból áll, mindegyik mondjuk egymilliószor megismételve, akkor ennek az átlaga 1 lesz, a szórásnégyzete pedig 1/2 lesz az x-től függetlenül. Ellenben ha x-et a nullához közelíted, akkor a logaritmusok átlaga mínusz végtelenhez fog tartani. x=0.1 esetén a logaritmusok átlaga -1.15463, x=0.01 esetén -2.30262, x=0.0000001 esetén -8.05925, és így tovább.

Előzmény: janedek (1409)
janedek Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1409
Megvizsgáltam nagy elemszám esetén, és két külön (ugyanolyan szórású és átlagú) generált halmaz logaritmusa is ugyanazt az eredményt adta, ezért a becslés elég pontos lehet, de az a kérdés, hogy ezt hogyan tehetném meg?
Előzmény: Gergo73 (1408)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1408

Veszem a logaritmusát (mondjuk 10-es alapút) minden elemnek, a kapott halmaz szórása és átlaga a kérdés.

 

Csak becsléseket tudsz adni, pl. a logaritmusok átlaga legfeljebb log(A), de ennél többet nem lehet mondani, mert bármilyen B<=log(A) értéket vehet.

Előzmény: janedek (1407)
janedek Creative Commons License 2009.02.26 0 0 1407
Sziasztok! Kellő matektudás hiánya miatt nem tudok megbirkózni a következő feladattal:
-Adott egy olyan n elemű halmaz, melynek átlaga A, standard deviációja (gaussos eloszlású) szigma. Veszem a logaritmusát (mondjuk 10-es alapút) minden elemnek, a kapott halmaz szórása és átlaga a kérdés. Sajnos az integrálás nem tartozik az erősségeim közé, ezért kérek segítséget!
elsoszulott Creative Commons License 2009.02.25 0 0 1406
Amúgy ezzel a tagonként integrálással azér általában csínyán kell bánni, mert nem mindegy, hogy melyik primitív függvényt veszed.
Előzmény: MagdalenaNeunerFan (1404)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1405

Nem kell átalakítani. Ha az 1/(2-x)=sumn xn/2n+1 Taylor sort (ami abszolút konvergens |x|<2 esetén) tagonként integrálod, akkor megkapod az ln(2-x) = ln(2) - sumn>0 xn/(n.2n) hatványsort (ami szintén abszolút konvergens |x|<2 esetén).

 

Egyszerűen csak sokan az ln(1-x) hatványsorát memorizálják és akkor nem kell integrálni, elég csak behelyettesíteni a memorizált hatványsort az átalakítás után.

Előzmény: MagdalenaNeunerFan (1404)
MagdalenaNeunerFan Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1404

Az átalakításra rájöttem, hogy ln2+ln(1-(x/2))=ln(2(1-(x/2)))= ln(2-x) ugye,

de miért kell egyáltalán alakítani? Valaki help pls! Köszönöm előre is!

Előzmény: MagdalenaNeunerFan (1403)
MagdalenaNeunerFan Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1403

Helló! Szeretnék kérni egy kis segítséget.

Van egy példa, ami a következő: Írja fel az ln(2-x) Taylor sorát (0 körülit).

Úgy gondoltam először, hogy elég ha az ln(2-x) -et deriváljuk, annak felírjuk a Taylor sorát, majd a sort visszaintegráljuk.

De a példa megoldása a könyv hátuljában nem ezt írja, hanem hogy először az

ln(2-x) -et alakítsuk át így:
ln(2-x)=ln2+ln(1-(x/2))=ln2+g(x)    majd ezek után csak a g(x)-et deriválja, fölirja a Taylor sort, és vissza integrálja.

Azt nem értem hogy miért? Miért kell átalakítani, és miért nem lehet úgy ahogy elsőnek leírtam? Meg ha tudnátok segíteni, azt is elmagyarázhatnátok hogy ez az átalakítás hogyan következik? Minden segítséget előre is nagyon köszönök!

Üdv!

egy mutáns Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1402

Igazad van, nemcsak kekec voltam, de még rosszul is olvastam el a példát.

Elnézést mindkettőtöktől.

1m

Előzmény: Gergo73 (1401)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1401
Ha 0,468 köbméter szert felhigítasz 234 köbméterre, akkor éppen 234 köbméter 0,2%-os oldatot kapsz. Szóval 0,468 köbméter az egy teljesen korrekt válasz szerintem.
Előzmény: egy mutáns (1399)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1400

Na akkor lássuk a 3. feladatot. Ugye van egy 5%-os oldatunk és töményíteni kellene 21,2%-osra. Ez azt jelenti, hogy csak oldószert kell beleraknunk, persze kérdés hogy mennyit. Mivel nem látjuk elsőre, jelöljük x-szel (literben megadva). Az x liter oldószer hozzáadása után 345+x liter oldatunk lesz és benne 0.05*345+x liter oldószer, magyarán 17.25+x liter oldószer. Tehát azt az x-et kell belőni, amire a 17.25+x a (345+x)-nek éppen a 21,2%-a. Fel tudod írni ezt az összefüggést egyenlet formájában? Meg is tudod oldani az egyenletet x-re? Ird le, hogy mire jutottál.

 

Előzmény: tuto1 (1390)
egy mutáns Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1399

Ha valaki nagyon kekec (mint most én), akkor mondhatja, hogy ekkor 234,468 m3 fertőtlenítőszere lesz :))

1m

Előzmény: Gergo73 (1398)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1398
0,468 a helyes válasz, biztos elírtad az utolsó két számjegyet.
Előzmény: tuto1 (1396)
Gergo73 Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1397
Helyes a megoldás.
Előzmény: tuto1 (1395)
tuto1 Creative Commons License 2009.02.23 0 0 1396

2. feladat:

0,486 köbméter 

Előzmény: tuto1 (1390)

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!