Ha X egy a átlagú, s szórású normális eloszlású változó, akkor log(X) várható értékére az alábbi közelítés adódik az ex=1+x+x2/2+O(x3) közelítést használva az integrálban a [0,2a] intervallumon: közelítés.
Az integrálással van problémám, abból szeretnék egy használható képletet csiholni, ami szerintem megoldható feladat.
Hát a "használható" az nem egy matematikai fogalom. Matematikailag az integrál az semmivel sem rosszabb művelet, mint a logaritmus. Annyi a különbség, hogy a logaritmus benne van minden számológépben, ez az integrál pedig nincs. De a logaritmust is fáradságosan számolja ki a számológép sok közelítő lépésen keresztül.
Na most az integrált pusztán a számológépek által ismert függvények (alapműveletek, logaritmus, szögfüggvények stb.) segítségével biztos nem lehet kifejezni. Erre nincs bizonyításom, de nyugodtan hidd el nekem. Ha közelítésre van szükséged, akkor az megoldható úgy, hogy mondjuk az adott f(x) Gauss-görbét az ex hatványsora segítségével az átlag körül egy nagy intervallumban magas fokú p(x) polinommal közelíted és aztán ln(x)p(x) könnyen integrálható parciális integrálással.
Ok, azt hiszem eljutottunk a kérdésemig. Az integrálással van problémám, abból szeretnék egy használható képletet csiholni, ami szerintem megoldható feladat. Integrálásban nem (sem) vagyok jó, mint azt írtam az első postomban. Behelyettesítettem a véletlen változó helyére ugye az e-ad függvéyt, de nem tudom megoldani, mert buta vagyok.
Ha az X pozitív értékű valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x), akkor az ln(X) várható értéke az ln(x)f(x) integrálja a pozitív számegyenesen. A Te esetedben f(x) egy Gauss-görbe megszorítása a pozitív számegyenesre, tehát egy konkrét integrál adja a keresett logaritmikus átlagot. Egyszerűbb képletet erre ne várj. Konkrét átlag és szórás esetén egy numerikus integrálással (szoftverrel) az eredmény tetszőleges pontossággal megkapható. A szórás kicsit bonyolultabb, de nem sokkal.
Kedves Gergő! Azt hiszem a legjobb lesz konkrétan leírnom a feladatot, talán ezzel kellett volna kezdenem, így utólag. Képfeldolgozással foglalkozom. Olyan fekete-fehér képeim vannak, melyeknek zaja nagyjából gaussos eloszlású (igen, csak közelítőleg). A pixeleim intenzitásai a halmaz elemei. Ezek nagyságrendileg kb. 1000-12000 közti értéket vehetnek fel. A zajuk nem olyan nagy, hogy negatív érték adódjon, ennek esélye közel 0, így zárjuk ki! Nekem végre kell hajtanom rajtuk egy logaritmikus transzformációt (most nem mennék bele, hogy miért), és számolnom kellene, hogyan változik a szórás (zaj) és az átlagfényesség. Ezt szeretném analitikus úton kiszámolni.
Érdekes ez a példa, mert én már azt sem értem, hogy miért kell deriválni, itt Taylor sort keresni, és az visszaintegrálni.
Senki sem mondta, hogy deriválni kell. A 1405-ben integráltuk az 1/(2-x)=sumn xn/2n+1 hatványsort. Természetesen az ln(2-x) Taylor-sorát úgy is meghatározhatod, hogy az összes deriváltjába behelyettesíted a 2-t és összerakod Taylor-sorrá, sokféleképpen be lehet bizonyítani ugyanazt.
Amúgy azt se értem, hogy hogyan veszed negatív számok logaritmusát. Ugyanis egy gauss-os eloszlású változó negatív értékeket is felvesz (bizonyos valószínűséggel). Tehát ha generálsz egy statisztikai mintát, akkor abba negatív számok is becsúsznak néha. Szóval akárhogy is próbálom, nem értem a kérdést.
Értem. Egy véges halmaznak az eloszlása csak diszkrét lehet, tehát sosem gauss-os. Ha egy gauss-os eloszlási valószínűségi változóból egy nagy számú véges mintát veszel, akkor annak (diszkrét) eloszlása persze közelíti a gauss-os eloszlást a nagy számok törvényének megfelelően. De ez csak közelítés és csak tipikus viselkedés. Egy gauss-os eloszlású változóból is kijön nagyritkán mondjuk a 0,0,...,0 minta (egymilliószor). Jó lenne először tisztába tenni ezeket a fogalmakat, különben nem tudsz értelmesen kérdezni.
Igen, ezért írtam, hogy gauss-os eloszlású. Nekem ilyen nagy elemszámom van, erre kellene kellene várható értéket és szórást számolnom, de kellene hozzá egy függvény. A logaritmikus transzformáció asszimetrikussá teszi a harang-görbét, de itt el is akadtam.
Nekem egy olyan képlet kellene, ami ilyesmi nagyságrendre megadja, hogyha a bemenet átlaga x, szórása s, akkor a log(halmaz) x'-je és s'-je mennyi...?
Ha megértetted volna a példámat, akkor tudnád, hogy ilyen képlet egyszerűen nincs. Hasonlóan nincs, ahogy nem lehet megmondani két szám összegéből a két szám különbségét.
Te igazából arra vagy kíváncsi, hogy ha egy X valószínűségi változónak ismerjük az eloszlását (nem csak az átlagát és a szórását!), akkor hogyan határozzuk meg a log(X) változó eloszlását (többek között az átlagát és a szórását). Ez egy egészen más kérdés! Első nekifutásra azt kéne tudni, mi a változóidnak a valószínűségi eloszlása, magyarán miként generálod a számhalmazaidat. Ugyanis más eloszlás más végeredményt produkál.
Az általam adott példa is csak pozitív számokból áll. Ha felszorzod őket 5000-zel, akkor az átlaguk is 5000 lesz, a szórásnégyzetük pedig 50002/2. Te valamilyen konkrét valószínűségi eloszlás szerint generálod a számaidat, ezért tipikus viselkedést figyelsz meg (ami a konkrét eloszlástól függ), a nagy számok törvényének egy konkrét megnyilvánulását. Például ha feldobod a dobókockát egymilliószor, akkor az átlaguk közel lesz a 7/2-hez, a logaritmusaik átlaga pedig az ln(720)/6-hoz. Ez a tipikus viselkedés, de nagyritkán ettől nagyon eltérő viselkedést is kapsz, pl. egymillió 6-os is kijöhet egymás után a dobókockán, ez is egy lehetséges minta.
A Te kérdésed és az én válaszom nem tipikus viselkedésről szólt, hanem minden lehetséges viselkedésről.
Igazad van, ezért konkrétabb leszek. Az én halmazaim csak pozitív számokból állnak, nagyságrendileg kb. 1 000 - 12 000 átlaggal. Generáltam két olyan halmazt, aminek az átlaga, és szórása is 10 000 volt (elemszám 1 000 000). Logaritmikusan transzformálva számoltam az átlagot és a fényességet, átlagra 7.72-őt, szórásra 3.46-ot kaptam mindkét esetben. Nekem egy olyan képlet kellene, ami ilyesmi nagyságrendre megadja, hogyha a bemenet átlaga x, szórása s, akkor a log(halmaz) x'-je és s'-je mennyi...?
Ugyanolyan átlag és szórás esetén is nagyon eltérő lehet a logaritmusok átlaga, még akkor is, ha nagyon nagy az elemszám. Pl. ha a halmazod az 1+cos(x), 1-cos(x), 1+sin(x), 1-sin(x) számokból áll, mindegyik mondjuk egymilliószor megismételve, akkor ennek az átlaga 1 lesz, a szórásnégyzete pedig 1/2 lesz az x-től függetlenül. Ellenben ha x-et a nullához közelíted, akkor a logaritmusok átlaga mínusz végtelenhez fog tartani. x=0.1 esetén a logaritmusok átlaga -1.15463, x=0.01 esetén -2.30262, x=0.0000001 esetén -8.05925, és így tovább.
Megvizsgáltam nagy elemszám esetén, és két külön (ugyanolyan szórású és átlagú) generált halmaz logaritmusa is ugyanazt az eredményt adta, ezért a becslés elég pontos lehet, de az a kérdés, hogy ezt hogyan tehetném meg?
Sziasztok! Kellő matektudás hiánya miatt nem tudok megbirkózni a következő feladattal: -Adott egy olyan n elemű halmaz, melynek átlaga A, standard deviációja (gaussos eloszlású) szigma. Veszem a logaritmusát (mondjuk 10-es alapút) minden elemnek, a kapott halmaz szórása és átlaga a kérdés. Sajnos az integrálás nem tartozik az erősségeim közé, ezért kérek segítséget!
Nem kell átalakítani. Ha az 1/(2-x)=sumn xn/2n+1 Taylor sort (ami abszolút konvergens |x|<2 esetén) tagonként integrálod, akkor megkapod az ln(2-x) = ln(2) - sumn>0 xn/(n.2n) hatványsort (ami szintén abszolút konvergens |x|<2 esetén).
Egyszerűen csak sokan az ln(1-x) hatványsorát memorizálják és akkor nem kell integrálni, elég csak behelyettesíteni a memorizált hatványsort az átalakítás után.
Van egy példa, ami a következő: Írja fel az ln(2-x) Taylor sorát (0 körülit).
Úgy gondoltam először, hogy elég ha az ln(2-x) -et deriváljuk, annak felírjuk a Taylor sorát, majd a sort visszaintegráljuk.
De a példa megoldása a könyv hátuljában nem ezt írja, hanem hogy először az
ln(2-x) -et alakítsuk át így: ln(2-x)=ln2+ln(1-(x/2))=ln2+g(x) majd ezek után csak a g(x)-et deriválja, fölirja a Taylor sort, és vissza integrálja.
Azt nem értem hogy miért? Miért kell átalakítani, és miért nem lehet úgy ahogy elsőnek leírtam? Meg ha tudnátok segíteni, azt is elmagyarázhatnátok hogy ez az átalakítás hogyan következik? Minden segítséget előre is nagyon köszönök!
Ha 0,468 köbméter szert felhigítasz 234 köbméterre, akkor éppen 234 köbméter 0,2%-os oldatot kapsz. Szóval 0,468 köbméter az egy teljesen korrekt válasz szerintem.
Na akkor lássuk a 3. feladatot. Ugye van egy 5%-os oldatunk és töményíteni kellene 21,2%-osra. Ez azt jelenti, hogy csak oldószert kell beleraknunk, persze kérdés hogy mennyit. Mivel nem látjuk elsőre, jelöljük x-szel (literben megadva). Az x liter oldószer hozzáadása után 345+x liter oldatunk lesz és benne 0.05*345+x liter oldószer, magyarán 17.25+x liter oldószer. Tehát azt az x-et kell belőni, amire a 17.25+x a (345+x)-nek éppen a 21,2%-a. Fel tudod írni ezt az összefüggést egyenlet formájában? Meg is tudod oldani az egyenletet x-re? Ird le, hogy mire jutottál.