Több valószínűségi mérték ad 1/2-et, valójában pont azok, amire a kisebbik kör mértéke 1/2 :-) Ha a t szöget az egyenletes eloszlás szerint választod [0,2pi)-ből, az r sugarat pedig az egyenletes eloszlás szerint [0,R]-ből, akkor a szóban forgó valószínűségi mérték az R-1dr.(2pi)-1dt, magyarán egy tetszőleges mérhető D halmaz mértéke (2pi.R)-1 int fD(r.cos(t),r.sin(t)).drdt, ahol fX az X karakterisztikus függvénye. Derékszögű (x,y) koordinátákkal kifejezve drdr=(x2+y2)-1/2.dxdy, vagyis a D mértéke megadható az (2pi.R)-1.intD f(x,y).(x2+y2)-1/2.dxdy alakban is.
Úgy tudod precízzé tenni a feladatot, hogy megmondod a véletlen pont eloszláslát, magyarán meg kell adnod a síkon egy valószínűségi mértéket. Egy lehetőség, hogy kellően sok halmazra megmondod annak valószínűségét, hogy a véletlen pont abba a halmazba esik. Kellően sok azt jelenti, hogy mondjuk az összes nyílt-halmaz benne van az általuk generált szigma-algebrában, ekkor az összes Borel-halmaz is benne lesz. Egy véges területű halmazban (a te példádban a nagy körlapban) a legtermészetesebb valószínűségi eloszlás az egyenletes. Ez azt jelenti, hogy a valószínűségi mérték a Lebesgue-mérték osztva a teljes halmaz Lebesgue-mértékével. Magyarán a véletlen pont minden tartományban a tartomány területével arányos valószínűséggel tartózkodik.
sashimi felvetéséből eszembe jutott egy hasonló eset. 2koncentrikus körlap van, nagyobb sugara(R) 2szerese a kisebbnek. Véletlenszerűen választotok pontot a nagyban meg kell mondani, milyen valószínűsággel lesz bennt a kicsiben is. Itt is vehetem 1részt területek hányadosát, de mondhatom, hogy origóból indulva választok egy szöget és egy [0,R]-beli valósat és odaugrok. utóbbival 1/2 jön ki elsővel általában nem, hogy tegyem precízzé a feladatot?
Én egy valószínűséget számoltam, ami egy szám 0 és 1 között. Ha nem 3 és 1 sugarú gömbökkel, hanem 3R és R sugarú gömbökkel számolnék, akkor az 1726-os vége így szólna:
Magyarán az integrandus R6-szor nagyobb, az integrál előtti szorzó (ami egy 6-dimenziós térfogat reciproka) pedig R6-szor kisebb. Ha beviszed a szorzót az integrálba, akkor az egy R-től független skalár lesz. Felfoghatod egyfajta sűrűségfüggvénynek, de mint mondtam teljességgel fölösleges.
Egyébként nem kell számolni.
Hát ha valaki más kiszámolja, akkor nem. Nem ismerek számolásmentes megoldást a feladatra. Te nem számoltad ki a V(1)/V hányadost, de az nem 15/32 és nem 17/32, erre mérget vehetsz. Szövegelni könnyű, számolni nehéz.
Kicsit felreerted a helyzetet. Gergo73 (vagy barki, hasonlo vegzettsegu) szamara a te feladatod nem erdekes kihivas, hanem elemi {esetleg technikailag kicsit faraszto es unalmas} ujjgyakorlat, igy Gergo73 megoldasat egy Jo Szamaritanius tettekent ertekeld.
Nem tudom, miről beszélsz. Két egybevágó gömb metszetének van egy egyszerű térfogatképlete a sugár és a középpontok távolsága függvényében. A képletet belinkeltem az 1726-ban, amúgy egyszerű integrállal bizonyítható, hiszen forgástestről van szó.
Bocsáss meg, fáraszt ez az egész és rengeteg a dolgom. Megoldottam a feladatot. Az hogy ki hogy érti vagy mennyire érti, egy ponton túl nem érdekel.
Azt azért még elmondom, hogy sűrűségfüggvénye egy valószínűségi változónak van, a feladatban és a megoldásomban nem szerepel ilyen. Persze a megoldásból ki lehet erőltetni egy valószínűségi változót és az integrandusra (az integrál előtti térfogattal osztva) rá lehet fogni, hogy annak sűrűségfüggvénye. De minek.
Leszögezném, hogy az 1726-ban az x az AB távolságot jelöli, nem a BC távolságot. A tiltott zóna (C számára) az A és B körüli 2 sugarú gömbök metszete. Ez két egybevágó gömbszelet egyesítése, aminek térfogatát az x függvényében 1726-ban kiszámoltam. Te a V1(x)-re nem írsz képletet, csak adsz rá egy definíciót, ami nem a magyar nyelv szabályait követi: Ekkor a R sugarú gömb és 3R sugarú gömb között kiszámolható V1(x) véges térfogatú térrész, amibe az R sugarú gömb középpontját ha tartalmazza, akkor R sugarú gömb nem metszi a 3R sugarú gömböt és az adott középpontú gömböt se. Nyilván az A és B körüli 2 sugarú gömbök metszetének komplementeréről beszélsz az A körüli 3 sugarú gömbben, de ahogy te fogalmaztad, úgy ember nem érti. És mivel könnyebb a metszet térfogatát kiszámolni, mint a komplementerét, illetve nem prezentáltál semmiféle számolást, ezért fölösleges a megjegyzésed.
Következésképpen ha valaki foglalkozik vele és kérdez akkor mi itt a probláma?
Azzal semmi, de Te nem kérdeztél semmit. Elmagyarázod, hogy a keresett valószínűség egy sűrűségfüggvény integrálja, amely sűrűségfüggvényt és integrált én kiszámoltam, majd hozzáteszed, hogy a sűrűségfüggvényből lehet csinálni egy eloszlásfüggvényt. Igazad van, ez nem zavaros, de mi értelme van? Hangosan gondolkodsz a megoldásomon és megosztod velünk? Szeretném érteni.
Joggal, mert Neked van igazad. A dxdydz térfogatelem nem a drdS-sel egyezik meg, hanem az r2drdS-sel. Az 1/8 úgy jön ki, hogy (int[0,1] r2dr)/(int[0,2] r2dr)=1/8.
Vegyuk azt az egyszerusitett valtozatat a feladatnak, amikor 1 db R sugaru gombot helyezunk el 3R sugarban s a kerdes az, hogy az origo milyen valoszinuseggel van a kisebb gombben.
Ekkoraz eb szamolsommal 1/2 jon ki : a kisebb gomb origoja milyen tavol van? Mig a terfogatos szamolassal 1/8 adodik.
Ugyanaz jön ki. Ennek az az oka, hogy ha dS egy infinitezimális darabja az egységgömbnek (felületelem), dr pedig a sugárnak, akkor a dSdr mérték a dxdydz térfogatelemmel egyezik meg. Tehát ha S és r szerint veszed fel egyenletesen a középpontokat, az ugyanaz, mintha a térfogat szerint veszed fel egyenletesen őket (amivel én számoltam).
Auréliusz feladatában azert van egy kis pontatlansag: nem mondja meg, hogy mit is jelent az, hogy veletlenszeruen helyezik el a ket gombot.
Persze a te ertelmezesed a termesztes es szokasos, de pl az is lehetne a veletlen elhelyezes, hogy eloszor egy iranyt valasztasz veletlenul (feluletaranyosa), majd a kozeppont tavolsagat ugy , hogy a gomb meg belul legyen (azaz [0,2R] kozott vennel egyenletes eloszlassal egy szamot.) Ekkor szvsz mas ertek jon ki.
Auréliusz feladatának az a megoldása, hogy 17/32 valószínűséggel nem fedi át egymást egy 3R sugarú gömbben két véletlenszerűen elhelyezkedő R sugarú gömb. Ezt a számot nem látom nálad, ezért vagy mást számoltál vagy rosszul számoltál.
Az egyenletet így kell olvasni: Pátfed = (32pi/3)-2 int[0,2] 4pi.x2.V(x).dx = 15/32.
Magyarázata a következő: Az összes lehetséges (B,C) pár az R6-ban egy (32pi/3)2 nagyságú térfogatot alkot, nevezetesen két darab R3-beli 2 sugarú gömb szorzatát. Az átfedést szolgáltató (B,C) párok (tehát amikre BC legfeljebb 2) ebben egy int[0,2] 4pi.x2.V(x).dx térfogatú részt adnak, a két térfogat hányadosa a keresett valószínűség. A második térfogat az 1726-os számolásból következik Fubini-tétellel (a térfogat megfelelő paraméterezésével és szeletelésével), de a Riemann-integrál definíciójából és a térfogatmérték alaptulajdonságaiból is megkaphatod közvetlenül az alábbi módon.
Daraboljuk fel a szóban forgó térfogatot az AB távolság szerint 2n részre. Az i. rész (ahol i=1,...,2n) álljon azon (B,C) párokból, amikre (i-1)/n<=AB<i/n. Ezt az egyenlőséget kielégítő B pontok halmazának térfogata (4pi/3){i3-(i-1)3}n-3, ami 4pi.(i-1)2.n-3 és 4pi.i2.n-3 közé esik. Minden ilyen B esetén a hozzá tartozó (tehát az átfedést szolgáltató) C-k halmazának térfogata legalább V(i/n) és legfeljebb V((i-1)/n) az 1726 jelöléseivel, hiszen V(x) csökkenő függvény. Az i. rész térfogata tehát legalább 4pi.(i-1)2.n-3.V(i/n) és legfeljebb 4pi.i2.n-3.V((i-1)/n). Ezért a teljes szóban forgó térfogat az alábbi két összeg közé esik minden n-re:
S(n) := sumi=1,...,2n 4pi.(i-1)2.n-3.V(i/n) és T(n) := sumi=1,...,2n 4pi.i2.n-3.V((i-1)/n).
Mivel az x2 és a V(x) folytonos a [0,2]-n, ezért ott egyenletesen is folytonosak (Heine tétele), vagyis az ingadozásaik maximuma az 1/n nagyságú részintervallumokon a nullához tart, amint n tart a végtelenhez. Ebből könnyű meggondolni, hogy a fenti S(n) és T(n) különbsége a nullához. Másfelől S(n) és T(n) közé esik az int[0,2] 4pi.x2.V(x).dx integrál minden Riemann-összege egyszerűen mert (i-1)/n és i/n között x2.V(x) minden értéke (i-1)2.n-2.V(i/n) és i2.n-2.V((i-1)/n) közé esik, hiszen x2 növekvő, V(x) csökkenő. A Riemann-összegek az integrálhoz tartanak az integrál definíciója szerint, ezért S(n) és T(n) is kénytelen ehhez az integrálhoz tartani T(n)-S(n)->0 miatt. Beláttuk tehát, hogy a keresett térfogat alulról és felülről is becsülhető egy-egy az integrálhoz tartozó számsorozattal (nevezetesen S(n)-nel és T(n)-nel), aminek folytán a keresett térfogat is az integrállal egyenlő. Kész.
Hogy lehet az, hogy matmernoknek más eredmény jött ki?
Rosszul számolt vagy mást számolt.
Figyelembe vetted, hogy BC maximum 4 lehet?
Én az átfedés valószínűségét számoltam. Átfedés esetén BC legfeljebb 2, tehát triviálisan legfeljebb 4.
Szintén köszönöm, hogy foglalkoztál a feladattal, remélem tetszett, csak egy kérdés még:
"Ekkor a R sugarú gömb és 3R sugarú gömb között kiszámolható V1(x) véges térfogatú térrész, amibe az R sugarú gömb középpontját ha tartalmazza, akkor R sugarú gömb nem metszi a 3R sugarú gömböt és az adott középpontú gömböt se."
Ugye ez alatt nem a Gergo73 által is jelölt térrészt érted, hanem a legalább 2R és maximum 4R távolságok között elhelyezhető középpont által meghaatározott geometriai térrészt?
1000 köszönet, neked is meg, matmernoknek is, remélem tetszett a feladat, mert nekem annyira, hogy még mindig értelmezem magamban a legutolsó egyenletedet: Pátfed = (32pi/3)-2 int[0,2] 4pi.x^2.V(x).dx = 15/32.
Hogyan jött ez ki? Nagy az esély rá, hogy nem fogok rájönni, meg tudnád még ezt írni?
És még egyszer köszi.
Ui: Hogy lehet az, hogy matmernoknek más eredmény jött ki? Mert ő azt írja:
Ja, és L_(kappa, omega) csak véges sok kvantort, L_(kappa, kappa) bármennyi, kappánál kevesebb kvantort tartalmazó formulákat tartalmaz. De ennek (most) nincs jelentősége.
kaptál rá egy kombinatorikai definíciót, amit nem látsz világosan, megismétlem
Azért, mert nem fogalmaztál világosan, sajnos másodszorra sem. Egyrészt csak akkor mondhatod, hogy <<ahol kappa kompakt>> ha már tudjuk, hogy mi az hogy <<kappa kompakt>>, Te pedig ezt akarod definiálni. Az S-nek pedig semmi szerepe a definícióban. Ezt kellett volna mondanod: kappa kompakt számosság, ha minden kappa-teljes filter kiterjeszthető kappa-teljes ultrafilterré.
kappa-teljes: kappa-számosságú metszetre zárt
Helyesen: minden kappánál kisebb számosságú metszetre zárt.