Itt egy gondolkodtató feladat kfejezetten a valószínűségszámítás szerelmeseinek, ami még rajtam is kifogott:))))
Szabálytalan pénzéénk van, amellyel annak valószínűsége, hog fejet dobunk: Ł
Ezzel az érmével egy szabályos érmét akarunk szimulálni úgy hogy (kétszeri feldobás után) a fej-írás eredményt kedvező esetnek, az írás-fej eredményt pedig pedig rossz esetnek tekintjük. Ha más eredményt kapunk, akkor a kísérleteket folytatjuk a kiértékellhető eredményig.
Szóval egy Bernoulli-kísérletsorozatot kell kapnunk (p=1/2), de miképpen tudnám kiszámolni a kiértékelhető eredményhez szükséges dobások számának várható értékét és eloszlását?
Ha valaki a Csebisev-egyenlőtlenséggel akarja magyarázni, akkor, azt kérem, hogy egy-két szóval tegye.
A végeredmény ismeretében nem valószínű, hogy jóval egyszerűbb (rövidebb) megoldás létezne. Az oldalhosszra kapott negyedfokú egyenlet nem egyszerűsíthető (ezt tudjuk algebrából), tehát ezt így vagy úgy minden megoldásnak produkálnia kell. A számolós megoldásban ezt pár egyszerű lépéssel megkapjuk, nem hiszem, hogy egy geometriai konstrukció gyorsabban célba tudna érni. Pl. ha meg akarod szerkeszteni a kapott oldalhosszat a kiindulási 1,2,3 szakaszokból, akkor legalább kétszer kell metszéspontot szerkesztened egyenes és kör vagy kör és kör között.
Ezt a megoldást(legalábbis a menetét) leírtam, ezt az utat én is végigjártam. A kérdés arra vonatkozott, hogy van-e szebb megoldás. Pl. Tükrözzük P-t valamelyik oldalra, vagy forgassuk el ezt meg ezt a szakasz stb.. Azért írtam be a feladatot, mert általában nekem nem jutnak eszembe szép megoldások csak ilyen favágó számolásosak. Hátha tanulok valami szép matematikát is:) azért köszönöm hogy foglalkoztál vele.
Buliznak a függvények. Megy a nagy duma, hogy ki hogy tart a nullához a végtelenben. Egyszer csak beront valaki: - Meneküljetek, mert jön a Deriválás! Mindenki hanyatt-homlok rohan ki a hátsó bejáraton, csak az Exponenciális függvény marad a bárpultnál. EZT HOGY KÉPZELITEK?????HÉJJ! A Deriválás tényleg benyit az ajtón, körbenéz, majd megszólal: - Hé, te nem félsz tőlem? - Én? Á, dehogy, én az e^x függvény vagyok. - Hmmm... - esik gondolkodóba a Deriválás. Majd felcsillan a szeme: - És ki mondta, hogy x szerint deriválok?
a P x és y koordinátáira (a körös módszerrel mondjuk, A(0,0), B(a,0), C(a,a))
(1) x2 + y2 = 1
(2) (x-a)2 + y2 = 4
(3) (x-a)2 + (y-a)2 = 9
a (2) és az (1) különbségéből -2ax+a2 = 3 (4),
a (3) és a (2) különbségéből -2ay+a2 = 5 (5).
kifejezed a (4)-ből x-et, az (5)-ből y-t, visszaírod az (1)-be azt, amit kaptál, és, ha nem írtam nagyon el, valami olyasmi jön ki, hogy a4-10a2+17=0, ez meg másodfokú ugye a2-re, már csak meg kell oldani
---------------------------------
ha van kedved, szórakozhatsz koszinusz- és szinusz-tételekkel is ;-)
Ma újra felbukkant egy probléma, amit régebben nem sikerült megoldanom. Most újra megpróbáltam megoldani, de nem valami szép. Jó lenne, ha valaki segítene egy ügyes ötlettel vagy ilyesmi. Mekkora az ABCD négyzet oldala, ha a négyzet egy belső P pontja rendre 1,2,3 egység távol van az A, B és C csúcsoktól.
Én ezt koordináta rendszerben ábrázoltam, origónak az ABCD négyzet A csúcsát vettem és AB rajta van az x tengelyen. Ekkor P-n átmegy 3 kör, az A,B,C csúcs körüli 1,2,3 sugarú körök. Felírtam a 3 kör egyenletét és egyenletrendszerrel kijött a P koordinátái. Innen, AP távolságképlettel kifejeztem a-t (így jelöltem a négyzet oldalát). Ez egy ronda megoldás amellett a diszkussziója sem teljesen világos. Köszönöm előre is a segítséget!
A 1905-es üzenetben az utolsó előtti egyenlet átrendezve egy elsőfokú egyenlet y-ra. Ennek megoldása az utolsó egyenlet.
Ez most azonban nekem nem világos, a Bólyai sorozatból egyik sem tárgyal ilyen feladatokat, tudnál segíteni?
Bolyai nevét rövid o-val írják. A matematikai feladatok megoldására nincs recept, ebben nem tudok segíteni. Az én megoldásom nagyon egyszerű lépéseket használ, bevezető analízist és a komplex számokat. A differenciálegyenletek egyébként egy óriási témakör, csomó könyvet és jegyzetet írtak róluk, a neten is sok anyagot találhatsz. Ha majd egyetemre mész, lesz ilyen tantárgyad is gondolom.
"Nincs elírás. Az első egyenletet 2a-val megszorzom. A jobb oldalon dx-ből lesz 2a.dx, a bal oldalon pedig dy/(y2-a2)-ből lesz dy.2a/(y2-a2), ami dy/(y-a)-dy/(y+a))."
Ez most azonban nekem nem világos, a Bólyai sorozatból egyik sem tárgyal ilyen feladatokat, tudnál segíteni?
Nemnulla komplex számokkal lehet osztani. Mi több, minden komplex együtthatós egyváltozós nemkonstans polinomnak van gyöke a komplex számok között (az osztás ennek speciális esete: b/a jelöli az ax-b polinom gyökét):
Nincs elírás. Az első egyenletet 2a-val megszorzom. A jobb oldalon dx-ből lesz 2a.dx, a bal oldalon pedig dy/(y2-a2)-ből lesz dy.2a/(y2-a2), ami dy/(y-a)-dy/(y+a)).
Nem hiányzik ebből semmi :-) Az egyenlet átírható mint y''=(y2)', tehát y' = y2-a2, ahol a tetszőleges komplex szám. Most tegyük fel, hogy y nem konstans, ekkor a jobb oldal diszkrét pontoktól eltekintve nem nulla. Egy ilyen nemnulla értéket adó x pont körül
dy/(y2-a2) = dx,
dy/(y-a)-dy/(y+a) = 2a.dx,
d(ln(y-a)-ln(y+a)) = d(2ax),
ln((y-a)/(y+a)) = 2ax+b, ahol b tetszőleges komplex szám,
(y-a)/(y+a) = e2ax+b,
y = a (1+e2ax+b)/(1-e2ax+b).
Jegyezzük meg, hogy a, b tetszőleges komplex számok, ezért a jobb oldal sokféle trigonometrikus függvény is lehet. Ez még akkor is így van, ha valós függvény megoldások érdekelnek, ilyenkor ugyanis a vagy valós vagy tisztán képzetes, b pedig valós.