csak az a durva, hogy a matematikánk is felosztja a véges szakaszt végtelen részre amikor konvergenciáról beszél.
Az a szakasz annyiban veges, hogy veges hosszu, azonban vegtelen sok pontja van, ez miert durva? Ha a "durva " szot az "izgalmas" ertelemben hasznalod, akkor
//Ennek egyszerűen semmi értelme: az összerakás semmivel nem problémásabb, mint a felosztás maga.//
csak az a durva, hogy a matematikánk is felosztja a véges szakaszt végtelen részre amikor konvergenciáról beszél. Ez már maga egy paradoxon. Zénón problémája ugyanaz, mint ami a határértékhez történő konvergálás során megjelenik.
Az 1/n azért nem érheti el a zérust a mai matematikával sem, mert ki van kötve, hogy n tart végtelenbe. (Egyes matematikakönyvek konkrétan is leírják, hogy a konvergens sorozat csak megközelíti a határértékét és nem érheti el, míg más könyvek furcsamód hallgatnak a kérdésről.) Ezzel az egésszel kapcsolatban engem leginkább az foglalkoztat, hogy a deriválásnál mi alapján dől el, hogy Dx/Dt-nél meddig engedjük futni a konvergenciát? Hiszen Dt nem érheti el ott sem azt, amivel lényegében osztanunk kellene!
Jól mondja kalamajkosz, hogy a probléma lényegében megmarad, csak más fogalmakkal áttevődik, és végig ott kísért a deriválásnál is, ezzel keresztbetéve a sebesség fogalmának. A lényege valóban az, hogy a végesből nincsen átmenet a végtelenbe, illetve még összefügg a diszkrét-folytonos paradoxonnal is, de ez már nagyon nagy téma...
//Pontosabban: képzeljük el hogy A először 1mp alatt megtesz tíz métert, azután 0.1mp alatt egy métert, azután 0.01mp alatt 10cm-t stb. Ha ennek a végtelen sok távolságnak (időnek) az összege véges, akkor Zenon tévedett, ha végtelen, akkor igaza volt. (A matematika mai állása szerint véges az összeg: 100/9 méter illetve 10/9 másodperc).//
Várjál, nem ilyen egyszerű, mert Zénón esetében nem pontosan erről van szó.
Zénón paradoxona lényegében arról szól, hogy ha akármekkora távolságot felezni kezdesz, akkor annak soha nem érhetsz a végére. Ez pedig annak ellentmondása, hogy a véges lehet végtelen. Ezt az ellentmondást a mai matematika is magában hordja, amikor kijelenti, hogy 1/n sorozat bár konvergál a határértékéhez nullához, de azt soha nem érheti el, mert n tart végtelenbe. Ezt mindig kikötik a konvergenciánál, hogy n a végtelenbe tart. Ez pedig azt mutatja, hogy nem sikerült Zénón paradoxonát megoldani mind a mai napig, annak ellenére, hogy én is az ellenkezőjét tanultam. De ha az ember rendesen utánnanéz, akkor rájön, hogy a problémát csak átnevezték.
Szerintem te olvashattál valamit a nemstandard analízisről, és összemosódott a fejedben a standarddal (amit láthatóan nem igazán értesz)... a standard analízisben az epszilon nem szám, hanem egy valós számokat felvevő változó egy logikai kifejezésben. Egy sorozat határértéke definíció szerint az az egyértelműen meghatározott valós szám, ami rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal (lényegében azzal, hogy a sorozat elemeinek nagy része közelebb van hozzá, mint bármilyen más számhoz). Ezt a jól ismert epszilonos-deltás formulával szokták megfogalmazni (bár máshogy is lehetne), amiben az epszilon nem egy meghatározott szám, főleg nem valamiféle végtelenül kicsi mennyiség (a standard analízisben ilyesmi nincsen), hanem egy változó, ami mindig normális valós számokat vesz fel értékül.
hányszor kell elfelezni a botot hogy az aktuális darab közpe és vége egy pontba essen
Ha egy szakaszt véges sokszor elfelezel, a két végpontja nem fog egybeesni. Halmazeléletileg lehet értelmezni a végtelen sokszori felezést (a [0, 2^-i] intervallumsorozat határértékét), ennek eredménye a [0,0] intervallum lesz. Tehát pongyola megfogalmazásban mondhatnád akár azt is, hogy végtelen sok felezés kell hozzá. Csak ennek semmi köze Zénón problémájához.
Az a probléma ugyanis arról szól, hogy felosztasz egy véges szakaszt (akár az időt, akár a távolságot) végtelen sok darabra, és utána kijelented, hogy ezeknek a daraboknak az összerakása valamiféle ellentmondásba ütközik. Ennek egyszerűen semmi értelme: az összerakás semmivel nem problémásabb, mint a felosztás maga.
Azt azért még megkerdezem, hogy te milyen módszerre gondoltál amikor azt írtad "TUDJUK összegezni a sort" ?? Csak mert engem sikerült most összezavarnotok. Magát az összeget tudod kiszámolni, vagy a csak határértékét?? Tehát pl. az 1/n sorozat összege szerinted pontosan 1, vagy csak tart az 1-hez???
Átadom a terepet Ákosnak. Ő talán konkrétabb hivatkozással szolgál az általa felhozott problémával kapcsolatban.
Próbáltam utána nézni, de a könyv már nincs a birtokomban, s nem akarok hülyesegeket írni, tehát ellállok a vitától. Annyi biztos hogy nem az ujjamból szoptam az egészét. Azt hiszem Ropolyi-Szegedi: A tudományos gondolkodás története. Ha minden igaz ebbe olvastam, ha esetleg te hozzá tudsz jutni.
Ha szabad beleszólnom, a pontszerű test olyan fizikai modell, amely elhanyagolja a test kiterjedését, nem kívánván foglalkozni a kiterjedéssel összefüggő hatásokkal, melyek egy adott probléma megoldásában nem játszanak (döntő) szerepet, ám a megoldásba való bevonásuk rémesen elbonyolítaná a matematikai modellt.
Egy bot eleje és vége között ki tudsz jelölni egy pontot (pl. félúton). A pont és a vége között ki tudsz jelölni egy újabb pontot, stb. Következtetés: a botnak nincs vége.
Természetesen nem ez a probléma.
Hanem az hogy hányszor kell elfelezni a botot hogy az aktuális darab közpe és vége egy pontba essen. Ill. hogy miként történik meg ez az eset?? Hogyan lesz egy véges szakasz fele nulla (azaz végtelenül kicsi)??
Ha végtelen sok konstans idejű szakasz lenne (amit a ciklusod és Zénón sugall), akkor így lenne, az összeg végtelen lenne.
Nem mondtam, hogy a szakaszok hosszának összege szükségszerűen végtelen lenne, csak azt, hogy soha nem lesz nulla (mármint egy szakasz hossza), azaz nem éri el a határétréket, csak közelíti.
Máskülönben csak felületesen ismerem a problémát, de annyi bizonyos hogy korántsem olyan triviális az ügy, mint ahogy sokan kezelik.
Ez oke amit mondassz, leszamitva hogy TUDJUK osszegezni a sort.:)
Nem mondtam hogy nem tudjuk, csak azt h. nem a "zénon-algoritmussal".
Egyébiránt ha az analízisbeli felösszegzésre gondolsz, akkor a probléma ott is meg marad csak máshol. Konkrétan arra bizonyos epszilonra gondolok, amely egyszerre rendelkezik a véges és a végtelen tulajdonságaival. Ugyanis a probléma lényege éppen abban áll, hogy a végesből nincsen átmenet a végtelenbe. Ezért az összezés elvégzéséhez olyen feltétekre, körülményekre van szükség, amellyel az ellentmondás LÁTSZÓLAG eltűnik.
Fogalmazzuk át, mert szemmel láthatóan az idő zavar téged.
Egy bot eleje és vége között ki tudsz jelölni egy pontot (pl. félúton). A pont és a vége között ki tudsz jelölni egy újabb pontot, stb. Következtetés: a botnak nincs vége.
"de Zénonnak az volt a baja, hogy (programozóul mondva) ez egy végtelen ciklus, amiből nem tudsz kilépni, hogy elérd a végeredményt. Hiába véges minden egyes ciklus, ha végtelen sok van belőle. Nem tudod összegezni."
Ha végtelen sok konstans idejű szakasz lenne (amit a ciklusod és Zénón sugall), akkor így lenne, az összeg végtelen lenne. De a fázisok hossza csökken és ha a csökkenés üteme elér egy mértéket, akkor a végtelen sok szakasz összege is véges.
Pontosabban: képzeljük el hogy A először 1mp alatt megtesz tíz métert, azután 0.1mp alatt egy métert, azután 0.01mp alatt 10cm-t stb. Ha ennek a végtelen sok távolságnak (időnek) az összege véges, akkor Zenon tévedett, ha végtelen, akkor igaza volt. (A matematika mai állása szerint véges az összeg: 100/9 méter illetve 10/9 másodperc).
Ez oké amit mondasz, de Zénonnak az volt a baja, hogy (programozóul mondva) ez egy végtelen ciklus, amiből nem tudsz kilépni, hogy elérd a végeredményt. Hiába véges minden egyes ciklus, ha végtelen sok van belőle. Nem tudod összegezni.
A sorozat sohasem fogja elérni a határértéket csak tart hozzá.
Mármost nem kellett nagy ész hozzá, hogy felfigyeljek arra, hogy ha a konvergencia, vagyis a lim Dt valaha is elérné a nullát, akkor Dx/Dt –ben ez azt jelentené, hogy nullával oszthatnánk.
A Dt egy időtartam. Ha ez 0, akkor voltaképp nem beszélhetünk időmúlásról, azaz kvázi nincs idő. Időnélkül nincs változás, mozgás és sebesség se. Ezért értelmetlen ott az osztás 0-val.
Ha viszont ezt a kiterjedés nélküli pillanatot egy dimenzió részeként fogod fel, mint annak egy pontját, akkor így szemlélve már elfogadható, hogy ott kell legyen egy "pillanatnyi sebesség". S ha a konvergens sorozat nem is éri el, de mégis van neki egy határértéke ami felé az tart.
(Egyébként Zénonnal nekem nincs bajom, hanem csak Arnold10-zel. Ill. neki volt baja az ellipszis másik fókuszával. S a két probléma egész más.)
Gondoljuk el úgy a Zénón paradoxont, hogy a Teknős mozdulatlanul áll, és Akhilleusz közelít felé. Ez egyértelműen megfeleltethető annak, amikor az 1/n sorozat konvergál határértékéhez, a nullához. A kérdés az: eléri-e valaha a sorozat bármely eleme a határértéket, vagy nem? Ha nem, akkor Zénónnak igaza volt. Ha igen, akkor Zénón tévedett. Pontosabban: képzeljük el hogy A először 1mp alatt megtesz tíz métert, azután 0.1mp alatt egy métert, azután 0.01mp alatt 10cm-t stb. Ha ennek a végtelen sok távolságnak (időnek) az összege véges, akkor Zenon tévedett, ha végtelen, akkor igaza volt. (A matematika mai állása szerint véges az összeg: 100/9 méter illetve 10/9 másodperc).
Most vizsgáljuk meg a sebesség és a mozgás fogalmát az alapoknál a fizikában, és egy nagyon érdekes dolgot találunk. Erre akkor figyeltem fel, amikor olyan fogalmakkal szembesültem már többedszerre, hogy „pontszerű test”, miközben azon gondolkodtam, hogy a pontnak nincs kiterjedése, ugyanakkor közismert, hogy ha valami egy test, akkor annak van kiterjedése. Mármost mi az, hogy „pontszerű test” Pontszerű test nem a fizikai valóságban van, hanem a matematikai modellben... tudni kell hogy a modell mindig a valóság leegyszerűsítése.
Zénón Achilles és teknősbéka paradoxonjának az a feloldása, hogy abból, hogy végtelen sok olyan pillanatot tudunk mutatni, amikor Achilles még nem érte utol a teknősbékát, nem következik, hogy soha nem éri utol.
