Valóban, minden valószínűségszámítás kényszeren alapul, vagyis olyan feltételeken, amelyeknek teljesülniük kell ahhoz, hogy az adott valószínűségi érvelés helyes lehessen. (A valószínűség mindig feltételes valószínűség.)
Éppen ezért nem tudok egyetérteni a Káli gúla által megadott honlapon olvasható rövid összefoglalással sem (:-))), miszerint "The right answer is that each of the three values is right !", hiszen azok közül egyszerre csak az egyik lehet helyes, csak hogy éppen melyik, az a feladatban nem tisztázott körülményeken múlik! Szóval inkább úgy kellett volna fogalmazni, hogy: "The right answer is that each of the three values can be right !"
Kedves Káli gúla!
Szabad páros számmal is kezdeni, csak akkor lefelé kell menni, hiszen annak a valószínűsége, hogy a legnagyobb szám páros lesz, ugyanolyan nagy, mint hogy a legkisebb páratlan (:-)))...
Komolyra fordítva a szót, ha előre eldöntjük, hogy melyik legyen a legkisebb, vagy legnagyobb általunk tippelt szám (ez egy kényszer), akkor ez megváltoztatja a többi szám tippelési valószínűségét, hiszen egyeseket kizár a további tippelésből. És ha valaki ismerné ezt a szokásunkat, akkor a mi számainkat jobb eséllyel találhatná el, mint az ötös lottóét. Viszont az ötös lottó nem tud erről a szokásunkról, igy bármelyik számkombinációnkat ugyanakkora eséllyel találja el (:-))).
(A "Bertrand paradox"-ra a Google 6870 találatot adott.)
2. Nem ennyire szellemes, de azért zavarba ejtő a következő kérdés is. Annak a valószínűsége, hogy az ötös lottón a legkisebb kihúzott szám páratlan lesz, szignifikánsan --majdnem 3%-kal-- nagyobb, mint azé, hogy páros lesz. Tehát, ha valaki egy páros számmal kezdi el kitölteni a szelvényét, akkor egy kis hátránnyal indul. Vagy nem?
A kísérleti körülményeken múlik, hogy melyik a helyes eredmény, illetve, hogy a helyes eredmény egyáltalán a felsorolt 3 között van-e, ugyanis a húr "véletlenszerű berajzolása" még nem határozza meg a valószínűség eloszlását. Bár az ember hajlamos azt hinni, hogy meghatározza (hiszen "egyenletes"), de ez mégsem igaz, ugyanis nincs tisztázva, hogy milyen tartományon egyenletes! Márpedig az egyenletesség megváltozhat, amikor áttérünk egyik tartományról egy másikra, még ha a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű is!
Konkrétan pl. a húr középpontja egyértelműen meghatározza a végpontjait, és viszont, a valószínűségre mégis mást kapunk (1/4 és 1/3). Fizikailag ez úgy lehetséges, hogy amikor egy adott módszerrel úgymond véletlenszerűen kiválasztunk egy húrt, akkor kényszerfeltételeket is érvényesítünk, és ez befolyásolja a valószínűségeket.
A legtisztább kísérleti szituáció az, amikor a húrnak a kör középpontjától mért távolságát választjuk ki egyenletes valószínűséggel (p=1/2), ugyanis ez analóg azzal az esettel, amikor végtelen hosszú egyenesre dobjuk rá a kört.
Ha a kísérlet során úgy akarunk eljárni, hogy a húr középpontja az R/2 sugarú tartományon belülre essen (p=1/4), akkor ez egy kényszert jelent a húrnak a kör középpontjától mért távolsága és a húr iránya között, másszóval az ilyen választásnál már nem lesz igaz, hogy a távolság és az irány egymástól függetlenek.
Akkor is kényszert vezetünk be, amikor a húr egyik (rögzített) végpontjához keressük a másikat a körön (p=1/3), ugyanis a távolságok és a szögek itt sem függetlenek.
Megjegyzés I:
Az első esetben (p=1/2) is használunk egy kényszert, ti. rögzítettük az egyenes (avagy húr) irányát. Ez akkor befolyásolja a valószínűséget, ha a különböző irányok nem szimmetrikusak.
Megjegyzés II:
A forgatásos (3.) és az eltolásos (1.) eset azonos eredményre vezet (p=1/2), ha az egyenest egy végtelen távoli pontja körül forgatjuk.
Igen, arra nagyon gyorsan rávilágít a módszer, hogy a racionális számok halmazának a mértéke korlátos - szemben a valós számokéval.
Az is egyből belátható, hogy bármely előre rögzített véges számnál is kisebb, hiszen elég annak felénél kisebb számmal indítani lefedő intervallumok hosszát.
Az eszrevetel jogos,de a lenyeg nem ebben van,hanem abban,hogy a keletkezo halmaz veges merteku,ami nem fedhet le egy vegtelen merteku halmazt.Az osszhosszusagot a leheto
legkenyelmesebb modon szamoltam.
A intervallumsorozatod összhosszúsága nyilván csak akkor lenne biztosan 2, ha az intervallumok nem fednék át egymást. Dehát miért ne fednék át, ha pl. a q1 szám 1/2 sugarú körzetén belül is vannak racionális számok? Szóval szerintem az összhosszúság kevesebb is lehet 2-nél (1-nél már nem) (:-))).
Tekintsuk a valos szamegyenest.Szedjuk sorozatba
a racionalis szamokat (q1,q2,q3,q4,....).Minden
racionalis szamra tegyunk egy (nyilt) intervallumot a kovetkezokeppen:az intrevallum
kozepe legyen az adott racionalis szam,es az intervallum hossza pl.q1 eseten legyen 1 hosszusagu,q2 eseten 1/2 hosszusagu,q3eseten 1/8
hosszusagu es igy tovabb....
Igy mertekelmeleti megfontolasokbol azonnal,kovetkezik,hogy nem fedtuk le az egesz szamegyenest (hiszen a konstrualt intervallumsorozat osszhusszusaga 2).
Lehetne-e maskepp (szebben) belatni,hogy igy nem tudunk minden valos szamot lefedni?
"HA az igaz, hogy a 0-ák és az 1-esek minden 0,-val kezdődő kombinációja előfordulhat"
Persze hogy igaz. Gondolj úgy rá, hogy a pont "megmaradt" = "minden lépésben megmaradt". Tehát az első lépésben vagy balra vagy jobbra van. Innen kezdve meg rekurzívan ugyanígy (hisz az a fele maga is egy Cantor halmaz, teljes összhangban azzal, hogy a Hilbert kocka pl. x1=0 síkja maga is egy Hilbert kocka). Tehát minden további lépésben is vagy a bal vagy a jobb szélső kis intervallum lesz választva, 0 vagy 1, fej vagy írás (lépésszám=az intervallumhossz negatív logaritmusa :-).
Azt hiszem, ez remek példa arra, hogy hogyan érdemes fogalmakat összekapcsolni.
A Cantor halmaz "természetes" topológiája ugyanaz, mint a Hilbert kockáé, így ha a a Cantor halmaz topológiáját akarja az ember nézni, akkor a Hilbert-kockára érdemes gondolni, ha meg a mértéket, függetlenséget stb., akkor a végtelen fej-írás sorozatra érdemes gondolni. Sőt, ha a rendezését akarom megérteni, akkor a [0,1] intervallumra gondolok, de úgy, "ahogy ott van", és nem a tizedes vagy milyen jegyek szerinti képére. A végpontok (páronként összeragasztva a megfelelőket, vagy ami ugyanaz, az elhagyott nyílt szakaszok) úgy vannak rendezve, mint a racionális számok, a másodfajú pontok pedig, mint az irracionális számok.
Köszönöm, mostmár értem. Szóval előbb az utolsó egyeseket kicseréljük az utána következő helytől végtelenül sorjázó 2-esekre, majd pedig az összes 2-est 1-esre. HA az igaz, hogy a 0-ák és az 1-esek minden 0,-val kezdődő kombinációja előfordulhat, akkor ezzel tényleg leképeztük a Cantor-halmazt a [0,1] intervallumra.
De az eredeti probléma továbbra is megmarad, ti. kontinuum számosságú halmazoknál hiába találunk kölcsönösen egyértelmű megfelelést (amelynek létezését az azonos számosság garantálja), a leképezés módjától függően a mérték akárhogy megváltozhat.
Hi, Nereida!
Ami a kapaszkodást illeti, én írtam írtam be előbb az R-t, és remélem elhiszed, hogy közben nem gyűrűre gondoltam (62). Viszont mért írod, hogy a kocka más interpretáció, mint a Lebesgue-mérték. Ugyanazzal a Bernoulli-sorozattal választod ki a kocka csúcsát, amivel a diadikus valós számot. Ez a meggyőzős változat. A tekintélyelvű: P. Halmos, Measure Theory. Springer Verlag. p. 159. (It is possible to use the theory of product spaces to give a completely non topological construction of Lebesgue measure on the real line…)
Hi, Feelgood!
Itt a hangsúly azon van, hogy van olyan felírás. És amikor először elhangzott, akkor a hangsúly nem lett kitéve. Ez azért nagyon nem ugyanaz.
Bizonyos számnak kétféle felírása is lehetséges 3-as
számrendszerben, pl. 0,1=0,0222..., ez okozta a
félreértést. (számelmélet topic befigyel :)))
Ha a 0-kkal és 2-esekkel felírható számokat nézzük, az éppen a Cantor-halmaz lesz.
Amikor végtelen sok 2-esre végződik egy szám, akkor persze van 1-es-es (de szép szó :))
reprezentációja is, de ettől még tisztességes Cantor-halmazbeli szám.
Ezt most hirtelen nem látom be miért lenne igaz, hiszen:
- az 1/3 benne van a Cantor-halmazban,
- és harmados törtként is benne van az 1-es számjegy ("0.1"). Mit értek rosszul?
Szvsz úgy kell érteni, hogy vagy nincs benne 1, vagy ha mégis van, akkor utána már csak 0-k lehetnek. Utóbbi esetben viszont van alternatív felírás, amiben nincs egyes. (Pl. 0.1 = 0.0222...)
A valószínűséget tényleg eloszthatjuk az általad jelzett módon, és még alighanem az is igaz, hogy ennél az eloszlásnál a Cantor-halmaz tetszőleges olyan részének a valószínűsége is könnyen megállapítható, amely (nem túl sok) intervallum által lefedett.
Az általam leírt módszerrel szemben itt az egyes pontok valószínűsége nulla, de tartományokat jól tudunk mérni.
A folytatásban írod, hogy:
"Ugye a Cantor-halmaz elemei azok a számok, amelyek harmadostört felírásában nincs 1-es. ..."
Ezt most hirtelen nem látom be miért lenne igaz, hiszen:
- az 1/3 benne van a Cantor-halmazban,
- és harmados törtként is benne van az 1-es számjegy ("0.1"). Mit értek rosszul?
Függetlenül az előbbi kérdéstől, ha a Cantor-halmazt át is tudjuk vinni egy intervallumba (amit kényelmesen tudunk mérni), ezen hozzárendelés jogosságát meg kell tudnunk magyarázni.
Rövid akartam lenni, oszt' sikerült is, mi? A Cantor-halmazon nyilvánvaló módon lehet egy mértéket definiálni: az első lépésben kapott két félintervallum kapjon 1/2-1/2 mértéket, a második lépésben azok két fele is kapjon 1/4-1/4-et, a szimmetriamegfontolások alapján, és így tovább. Amit kapunk, ugyanaz lesz mint {0,1}^\omega. Sőt, mondok jobbat. Ugye a Cantor-halmaz elemei azok a számok, amelyek harmadostört felírásában nincs 1-es. Cseréljük ki a kettes számjegyeket egyesekre, ezzel egy kettedestörtet kapunk. Ez a leképezés a Cantor-halmazt a [0,1] intervallumba viszi, miközben fellép ugyanaz az azonosítás mint a másik példánál, és a mérték, kapaszkodjatok meg, a Lebesgue-mérték lesz.
Ja és persze minden egyes pont valószínűsége nulla, ahogy az illik.
Tényleg csak megszámláható sokat ad ki, de amelyeket nem ad ki, azokhoz nyilvánvalóan a 0 valószínűség lesz hozzárendelve, úgyhogy gond egy szál se. Hiszen a kérdés az volt, hogy ezen a halmazon hogyan értelmezzünk egy hasznavehető valószínűségi eloszlást, ha egyszer a nullmértékűség miatt nem alapozhatunk a mértékre!
Ráadásul a példám olyan, amely kísérletileg is egyszerűen megvalósítható, szóval tudunk olyan esetet mondani, amikor a(z objektív) valószínűségek pont a leírtak szerintiek lesznek!
Írod:
"Az igazi egy olyan lenne, amiben egyik pontnak sincs pozitív súlya."
Ez nyilván sokkal nehezebb lenne. De tegyük fel, hogy sikerült ilyen mértéket találni! Na most önmagában az, hogy volna egy ilyen mérték, még nem jelentené azt, hogy helyesen írja le a valószínűséget! Hiszen a példám szerint van másfajta, de a valóságnak adott esetben megfelelő valószínűségi eloszlás.
Szóval, ha konstruálunk egy olyan valószínűségi eloszlást, amelynél a Cantor-halmaz egyetlen pontjának sincs pozitív súlya (miközben a halmaz egészéé mégis 1), akkor jó volna egy valóságos modellt is alkotni hozzá, amely képes produkálni azt a bizonyos valószínűségi eloszlást, különben az egész teljesen irreális (és hasznavehetetlen) is lehet.
Azt hiszem, így már messze nem olyan triviális a dolog(mármint hogy semelyik pontnak sincs pozitív súlya).
Most képtelen vagyok pontosan végiggondolni, de
szerintem a Hausdorff-mértékkel működik a dolog.
Ha mégis van valami triviális is, akkor bocs.
Csak megszámlálható sok pontot ad ki, nem?
Másodfajúból meg kontinuum-sok van, szóval elég keveset ad ki.
Az igazi egy olyan lenne, amiben egyik pontnak sincs pozitív súlya.
A végén leírt programod mostohán bánik a másodfajú pontokkal (amik nem végpontok)! Persze szíve joga. Koncentrálhatná az egész tömeget az 1 pontba. Úgy egyszerűbb megírni :-)))
Szerinted itt mennyiben jogos a Cantor-halmaz azonosítása egy másik (nem nullmértékű) halmazzal, ha egyszer kontinuum számosságú halmazoknál még a kölcsönösen egyértelmű megfelelés SEM elegendő ahhoz, hogy a valószínűség eloszlása ugyanaz legyen?
Mert szerintem nem nagyon. Az ilyen azonosítás mindaddig önkényes (és csak az önkényünket fejezi ki), amíg nem tudjuk visszavezetni valamilyen "fizikai" körülményre.
Az érem másik oldala, hogy NEM is szükséges mérhető halmazzal azonosítanunk a Cantor-féle halmazt ahhoz, hogy valamilyen önkényes valószínűségeket rendeljünk az elemeihez, ugyanis:
A Cantor-halmazt eredményező kivágásoknál mindig megduplázódik az intervallumok végpontjainak a száma, amely végpontokról tudjuk, hogy a halmaz részei lesznek, ezért az újonnan keletkezett végpontokhoz önkényesen hozzárendelhetjük a következő valószínűségeket:
kiinduló szakasz végpontjaihoz: 1/4 (2 db)
1. kivágásnál keletkező végpontokhoz: 1/8 (2 db)
2. kivágásnál keletkező végpontokhoz: 1/32 (4 db)
3. kivágásnál keletkező végpontokhoz: 1/128 (8 db)
stb.
A szabály az, hogy a valószínűségeket negyedeljük, így a végpontok számának duplázódása ellenére is feleződik az "újonnan kiosztott" valószínűség. Vagyis ezzel a módszerrel a Cantor-halmazhoz végül is a megkívánt 1/2+1/4+1/8+1/16+... = 1 értéket rendeljük hozzá. A halmaz bármely megadott pontjáról megmondhatjuk, hogy mekkora a valószínűsége, így azt is, hogy az azokból képezett részhalmazoké mennyi.
Természetesen a valószínűség előbbi elosztása _önkényes_, ezért nem feltétlenül felel meg a valóságnak. Mindazonáltal lehet ilyen is a valóság, hiszen tekintsük pl. a következőt:
A feladat legyen az, hogy egy program véletlenszerűen kiválassza a Cantor-halmaz valamelyik pontját. A program meg működjön úgy, hogy első lépésként 1/4 valószínűséggel válassza ki a kiinduló szakasz végpontjait, ha pedig azok nem kerültek kiválasztásra, akkor vágja ki a szakasz közepét, majd 1/8 valószínűséggel válassza ki a keletkezett 2 új végpont valamelyikét. Ha ezek sem lettek kiválasztva, akkor térjen rá a következő kivágásra, stb.
megmondhatjuk: a Cantor-halmaz azonosítható a {0,1}^\omega-val,
az (1/2,1/2) eloszlás hatványával, bár közben megszámlálható sok pont duplán számolódik, de ez úgysem számít a mérték (valószínűség) és mérhető halmazok (események) szempontjából.
