egy egykomponensű t paraméter a többdimenziós sokaságon hozzárendeséssel egy kijelölt vonalmenti, arra vonatkozó, korlátozódó (vagy csak annak egy részére vonatkozó) koordinátázást valósít meg.
Nem feltétlenül. Egy görbének például nem muszáj injektívnek lennie, és ha nem az, akkor ez már borul. Nem beszélve arról, hogy koordinátázásnak mindig a sokaság nyílt halmazainak egy diffeomorf leképezését nevezzük, nem pedig valami alacsonyabb dimenziójú részsokaságon értelmezett függvényt, amihez ugye előbb definiálnod kéne azt a bizonyos részsokaságot (hogyan? hát egy görbével!). Ki van ez már rendesen találva, éspedig pont úgy, ahogy mondtam, nézd meg ezt bármilyen differenciálgeometria könyvben, vagy mondjuk abban a Wikipedia cikkben, aminek két különböző szekcióját is belinkeltem külön-külön.
Infinizézimálisan kicsi mennyiségek nem léteznek. Ezeket Newton ugyan még kitalálta és használta, de ez egy zavaros, logikailag ellentmondásos fogalom volt (erre George Berkeley püspök már akkor rámutatott), de ő rákényszerült a használatukra, mert még nem létezett a határérték fogalma, ami ezeket később kiváltotta.
Tehát a dxi az vektor. (Ez minden jó könyv szerint is így van.)
Csak éppen azokban a könyvekben dxj nem valami infinitézimálisan kicsi dolog, hanem az érintőtér duális terének egy bázisvektora. Az érintőtér pedig azokból az érintővektorokból (derivációkból) áll, amiket elmeséltem. A duális tér pedig ez érintőtéren értelmezett lineáris funkcionálok tere. De ezt mintha már egyszer valamikor elmeséltem volna neked.
>A t az nem koordináta, hanem egy görbe paramétere.
#Egy görbe paramétere pedig a görbe mentén, annak egy koordinátázását jelenti. Ez pedig (ahogy direkt ezért említettem is ezt) a sokaságon (egy nem teljes, de ) részkoordinátázást jelent, mert a kijelölt vonal a sokaság egy része.
Másképpen mondva, egy egykomponensű t paraméter a többdimenziós sokaságon hozzárendeséssel egy kijelölt vonalmenti, arra vonatkozó, korlátozódó (vagy csak annak egy részére vonatkozó) koordinátázást valósít meg.
Az elkövetett differenciálásaid pontosan megegyeznek egy valamilyen más koordináták esetébenivel. Mert az ott is nyilván pont ugyanilyen. Ne akard azt előadni, hogy nem.
>ám adott görbe esetén különbözői koordinátázások ugyanazt adják, ezt mutattam meg.
#Elmondtam, hogy ha adott a görbe, és annak t paraméterezése (koordinátázása egykutya), akkor közvetve más koordinátázásokon keresztül (x, y, ...) nyilván ugyanazt a df/dt mennyiséget kell kapnod. (A közvetett deriválás folytán ez egyértelmű..)
Infinitezimálisan kicsinyt kellett volna pontosan írnom. Rövidítettem. De ettől még meg kellett volna értened, hogy az infinitezimálisan kicsiny koordinátakülönbségek, amik koordinátadifferenciálok;
dxi
az(ok) igenis vektor(ok).
Tehát a dxi az vektor. (Ez minden jó könyv szerint is így van.)
Még ha infinitezimálisan kicsiny is. Te ezt konkrétan tagadtad.
"Tegyük fel, hogy amit mi virtuális részecskéknek mondunk, azok valódi részecskék a befoglaló térben.
Viszont a "behatolási mélység" miatt egy kicsit átlógnak az általunk érzékelt "valós" dimenziókba."
Erre mondja Howe törvénye, hogy "Működésképtelen elképzelése mindenkinek van."
A működésképtelen elképzelések felbukkanásának elnyomására javasolt a házipálesz megfelelő dózisú adagolása, ha már a delikvens nem rendelkezik józan önkontrollal, amivel megkülönböztetheti az elképzelései helyességét.
"Tegnap azt gondoltam, hogy az egyenes mentén haladó fény nem lép ki a "valós" térből.
Közben a fejemben a hangok megsúgták, hogy ez egyáltalán nem biztos."
Minekutána a foton hullámfüggvénye valójában a képzetes síkon mozog körbe, ezért nem egy igazi releváció a felismerésed. A fény - a jelenlegi modellezésünk szerint - "igénybe veszi" a matematikában létező, de fizikailag nemlétező képzetes síkot is:
Olyan nincs, hogy "infinitézimális". Illetve van, de azt úgy hívják, hogy nemstandard analízis. Ha a standardot nem ismered, akkor a nemstandardot biztos, hogy nem. Differenciálhányadoshoz differenciahányados kell, hiszen az előbbi az utóbbinak a határértéke. Ez a definíciója.
A t az nem koordináta, hanem egy görbe paramétere. Mondanom kellett volna, sőt nagyon sokmindent el kellett volna mondani ahhoz, hogy annak is világos lehessen amit írtam, aki még soha sem hallott róla. El kellett volna mondani a differenciálható sokaság fogalmát, ahhoz a topológiai alapfogalmakat, az atlaszokat, diffeormorfizmusokat, görbék fogalmát, meg egy csomó más mindent is. Aki tényleg szeretné tudni, hogy mi ez, az ne innen akarja megtanulni, ez csak egy iránymutatás akart lenni. Persze azt azért tényleg mondhattam volna, hogy a derivációk azok a görbék érintői. Egy görbe pedig egy R -> S leképezés, tehát pont fordított irányú, min egy koordináta. Különböző görbék (vagyis különböző R->S leképezések) különböző derivációkat adhatnak (adniuk is kell, ha minden vektort így akarunk megkapni), ám adott görbe esetén különbözői koordinátázások ugyanazt adják, ezt mutattam meg.
Ez sem jó. Ahogy a korábbi fejtegetéseid is zavarosak. Látszik, hogy te is kevered a dolgokat, és nem érted jól, nem látod tisztán. Persze sokkal matematikaibban látod, de akkor is ordas félreértés van benne. Pontosabban nem veszel észre egy lényeges dolgot. Ez a következő egyszerű dolog:
A t (amit mondhatunk paraméternek) tulajdonképpen egy koordinátázás vagy annak (teljesnek a ) része.
Tehát az x majd az y koordinátázáson keresztül közvetve írod fel az f skalármező t koordinátázás szerinti változását.
>Ekkor tehát a pontokat nem lehet kivonni egymásból eztért nem létezik a x(t)-x(0))/t differenciahányados, aminek a t->0-beli határértéke lenne az értintővektor.
#Dehogynem. Az infinitezimális koordinátakülönbségek a vektorok prototípusai. Ez alap. Ez generálja az érintőteret a görbült sokaság adott pontjánál.
dxi
ez vektor.
Amit mondasz, az nem differenciálhányados, hanem differenciahányados. Annak valóban nincs használható értelme. Azonban a t --> 0 -ban differenciálhányadossá válik, ami az említett dxi vektorprototípus.
Viszont az 1D sokasághoz is lehet koordinátázást és metrikát rendelni.
Koordinzátázást kell is, de metrikát nem feltétlenül. A koordinátázástól viszont nem függ az érintővektor. Ha a sokaságod S, és veszel egy x: S->R koordinátázást és egy ettől eltérő y->R koordinátázást, akkor az érintővektor mint deriváció ugyanaz marad, hiszen
A QED szerint a fénykvantum az összes lehetséges pályát befutja virtuálisan, és a végtelen számú lehetséges pálya hullámainak szuperpozíciója az "egyenes" vonaltól nagyon eltérő komponenseket eliminálja
A QED szerint a fénykvantum az összes lehetséges pályát befutja virtuálisan, és a végtelen számú lehetséges pálya hullámainak szuperpozíciója az "egyenes" vonaltól nagyon eltérő komponenseket eliminálja, a hozzá közel álló komponensek viszont egymást erősítve végül kiadják, hogy a fény "egyenes" vonalban terjed. (A dolog akkor válik hasznossá, amikor eltérő törésmutatójú anyagok vannak a fény útjában, vagy tükröző felületek: ekkor a QED modellje precízen pontosan visszaadja a klasszikus optika fény-pályáit, akár fénytörésről, akár visszatükröződésről van szó.)
Röviden, hogy érthető legyek: a fény sokkal "bonyolultabban" viselkedik annál, mint amit az outsider laikusok képzelnek róla. Úgyhogy a kérdést szerintem hanyagoljuk, mert pillanatok alatt be lehet vele vinni a vérlaikust a susnyásba, és minimum három félév egyetemi szintű fizika kell ahhoz, hogy ezek után kikeveredjen onnan és megértse a dolgot.
Figyeld meg, mennyire más az, amit mma ír, meg amit te.
Van egy bonyolult, nehezen megragadható dolog.
Neked vannak valami homályos fogalmaid, próbálod velük valahogy megragadni a dolgot, de mindig kicsúszik a kezedből, ellentmondásokba botlasz, látod hogy baj van, de nem tudod mit lehetne tenni.
Matematikusok meg kidolgozták, hogy lehet ezt halál precízen, jól definiáltan, egyben hatékonyan, használhatóan csinálni.
Ekkor vagy kimászunk a sokaságból a két pont közötti szakaszon, vagy kanyarvektorunk van
Csak jelzem, hogy egy 1-dimenziós sokaság mindig görbületmentes, vagyis "lapos", vagyis az érintővektorok lokálisan értelmezhetők pontok különbségeként. Akkor is, ha ezt az 1-dimenziós sokaságot úgy ágyazod be egy 2-dimenziós sokaságba, mint ahogyan a 9843-beli ábrán tetted. Vagyis ha így ágyazod be, akkor az 1-dimenziós sokaságod vektorai tényleg "kanyarvektorok" lesznek, de nincs ezzel semmi baj, mert ez csak a beágyazás miatt van így, és ahogy mondod, erre nincs szükség, felejtsük is hát el.
A probléma nem itt van, hanem ott, amikor egy sokaság görbült, mint például egy gömb felszíne. Itt akár beágyazod a gömbfelszínt egy magasabb dimenziós térbe, akár nem, a vektorok soha nem lesznek pontok különbségei (vagyis a sokaság egy pontjából egy másik pontjába mutató nyilak), mert nem lehet őket egyértelműen definiálni, ugyanis nem lehet őket eltolni. Pontosan ezt a görbült egy sokaság definíciója: a vektorokat önmagukkal párhuzamosan körbetolva nem ugyanabba a vektorba érkezünk, mint ahonnan kiindultunk. Ekkor tehát nem léteznek "szabad vektorok", csak "kötött vektorok", vagy matematikusabban fogalmazva: a tér nem lesz egy vektortér feletti principális homogén tér (affin tér), hanem csak egy általános differenciálható sokaság. Ekkor tehát a pontokat nem lehet kivonni egymásból eztért nem létezik a x(t)-x(0))/t differanciahányados, aminek a t->0-beli határértéke lenne az értintővektor. Ezt a nemlétező differenciahányadost úgy pótolják a matematikusok, hogy a nemlétező limt->0(x(t)-x(0))/t differenciálhányados helyett veszik azt a függvényt, ami az x(0) pont egy környezetében értelmezett f függvényhez az limt->0(f(x(t))-f(x(0))/t számot rendeli hozzá. Ennek már van értelme, hiszen a függvényértékeket már ki lehet vonni egymásból. Ezt a hozzárendelést nevezik derivációnak, vagy (absztrakt) érintővektornak. Ez tényleg általánosítása az affin (=lapos) térben létező érintővektornak, hiszen ott f' = (df/dx)(dx/dt), és ott dx/dt tényleg egy igazi vektor, vagyis ott dx/dt = limt->0(x(t)-x(0))/t, így ott tényleg az érintővektorok végzik el ezt a hozzárendelést, vagyis ott a derivációk azonosíthatók a valójában is létező vektorokkal.
Még egyszer, hátha korábban nem értetted meg: a vektor nem egy fizikai objektum, hanem egy matematikai mennyiség aminek van egy iránya is.
Fejben ezt kezelheted két darabban: mint Toldi a petrencésrúddal adott az irány, és ezen felül van még egy számod. Ennyike a vektor!
Csakhát az ember vizuális majom, ezért szeret térben-képekben gondolkodni, és a kettő dolgot FEJBEN összevonta: az irányt mutató vonalra "térbeli hosszként" rámérte a számértéket, a két végtelenbe tartó fölös részt lenyeste, és örül, mint majom a farkának, hogy ezzel geometriai interpretációt csinált egy absztrakt gondolati struktúrából.
És téged ez vezet meg. Hogy az egyszerű vizualizálás és kezelés céljából a vektormennyiségekből fejben geometriai objektumot konstruáltunk, amik egy fejben létező geometriai térben "laknak". Te azt keresed makacsul, hogy hol van fizikailag ez az elképzelt geometriai tér, amit a vektormennyiségek vizualizálásához vezettünk be.
Azt érdemes ezekhez még megemlíteni, hogy csak bizonyos speciális esetekben lehet egy nagy görbületlen egy dimenzióval nagyobb térbe beágyazni a görbültet. Még több dimenzióval rendelkezőbe több a lehetőség. De vannak beágyazhatósági tételek, nem könnyű téma. Még a lokális beágyazhatóság sem. Vannak ezzel kapcsolatban is tételek, MiKat említett valamit.
De a lagjobb a Riemann-féle geometria, ami minden esetben működik, és nem kell semmilyen beágyazás.
Amúgy az eléggé szabályos Univerzum 3D terét előnyös 4D-be ágyazni... a modellek teszik is.
