ami azt illeti, ez sajnos nem igazán helyes. az éter, amit elkeseredetten kutattak sok időn át, pontosan mint a fény vezető közege volt definiálva. azt nem tudták, hogy a az éter vajon egy egységes valami, vagy vannak benne áramlások, mozgások. ennek eldöntésére vizgálták a fény aberrációját, amit sikerült is kimutatni, és ezzel igazolták, hogy ha van éter, a Föld ahhoz képest mozog. de az továbbra sem volt bizonyított, hogy az éterben nincsenek áramlások, csak annyi, hogy itt, a mi észlelhető földi környezetünkben nem lehet együtt-haladó éterlégkör. aztán jött a MM kísérlet, és már megint újra kellett kezdeni mindent.
K: Én nem az éterelmélet alapján állok... V: Elhiszem. K: ... hanem úgy gondolom, hogy létezik egy nyugalmi rendszer, amiben a fény sebessége 'c', és minden más rendszerben belső méréssel kimutatható a nyugalmi rendszerhez képest vett mozgás, éppen azáltal hogy a mérhető fénysebesség kisebb mint 'c'. Ugyebár ha egy tó felszínén mozgó hajók is meg tudják mérni a vízhullámok megfigyelésével a mozdulatlan vízhez képest mért sebességüket, szerintem logikus hogy ugyanez legyen a helyzet a fény esetében is. V: Nos amit leírtál, az matematikailag teljesen korrekt. K: Örülök hogy ezt mondod! V: De azt nem lehet mondani, hogy új felfedezés: ezt hívják éterelméletnek. K: Azt hittem, hogy az éterelmélet lényege hogy mindnyájunkat körbevesz egy láthatatlan és megfoghatatlan anyag, amely... V: Nem, az az Erő. Igazából az éterelmélet lényege pontosan az, amit leírtál: hogy van egy kitüntett nyugalmi rendszer, amelyben a fény sebessége 'c', és minden más rendszerben belső méréssel kimutatható a nyugalmi rendszerhez képest vett mozgás, éppen azáltal hogy a mérhető fénysebesség kisebb mint 'c'. K: De hogyan bizonyítod, hogy nem az éterelmélet, hanem a specrel a helyes? V: Sehogy. Matematikailag mindkettő ellentmondásmentes, azt hogy melyik alkalmasabb a tapasztalatok leírására, csakis a kísérletek dönthetik el.
Szerintem fogadjuk meg mmormota tanácsát, és törekedjünk arra, hogy ebbe a topikba csak letisztultnak mondható gondolatokat írjunk, mindenki által követhető formában. Be kell vallanom, én a te hozzászólásaidból egy kukkot sem értek. Ha gondolod, fejtsd ki részketesebben, hogy mire is gondolsz pontosan mondjuk a "mi a relativitáselmélet lényege" topikban. Hátha ott együtt ki tudunk sütni valamit belőle.
A másik ami számomra érdekes, hogy a fényszerűen elválasztott események vagy végtelen közel kerülnek egymáshoz, vagy végtelen távol attól függően, hogy a sebebességünk iránya az esemény c-sebességének térbeli irányával egyezik vagy ellentétes.
mmormota, ebben Neked teljesen igazad van. Magam is így gondolom. Amit beírtam, arról azt gondoltam, hogy egy letisztult álláspont. De kiderült, hogy mégsem az, habár valami volt azért benne. SR segített ezt tisztázni.
Amit javasolsz, aszerint a kérdéseket az ikertopikban kell felvetni, a hozzáértők tisztázzák, és az eredményt beírják a FAQ-ba.
De azért egy fórum mégiscsak valamiféle beszélgetés, eszmecsere. Még ha nem teljesen letisztult eszméké is, vagy letisztultnak csak vélt eszméké. A fórum pont arra való, hogy ezeket ténylegesen letisztázzák azok, akik jobban tudják. Ezt nem gondolom szemetelésnek, sőt. Amit számonkérsz, az már inkább valami enciklopédia lenne.
Nagyon szégyellem magam, hogy ilyen rendetlen vagyok, mégegszer bocsánat, hogy elragadtattam magam. De ha már így alakult a dolog, akkor élek a topiknyitó utólagos engedélyével, és még egy kicsit kotyogok.
V.: Nem tudom, mert a fenti okoskodásból nem látom, hogy a példaként felvett bázis azt jelenti-e, hogy az egy fénysugárhoz lenne rögzítve. De talán egy jobb példa segítene.
Azt hiszem elég nehéz pontosan értelmezni, hogy mire mondjuk azt, hogy egy koordinátarendszer egy fényszerű világvonalhoz van rögzítve. Mint tudjuk, egy ilyen világvonalon tetszőleges két esemény távolsága, vagyis a köztük eltelt sajátidő nulla, vagyis egy ilyen világvonalon áll az idő. És ez még csak az egyik baj.
A másik az, hogy megszűnik a 3-dimenziós tér is. Olyan értelemben, hogy egy normális időszerű világegyenessel definiált vonatkoztatási rendszerben a 3-dimenziós tér a 4-dimenziós Minkowski-térnek az illerő világegyenesre merőleges altere. És ez az altér nem tartalmazza az adott világegyenest, így a kettőjük direkt összege kiadja a teljes 4-dimenziós téridőt. Ezzel szemben láttuk, hogy egy fényszerű világvonalra merőleges altér is csak 3-dimenziós, de tartalmazza magát a fényszerű világvonalat is. A világvonal és a rá merőleges 3-dimenziós altér direkt összege tehát csak 3-dimenziós. Tehát egy ilyen vonatkozratási rendszerben nem csak az idő áll, hanem az ilyen értelemben vett térből is 1 dimenzió "elveszik" (beleolvad az időtengelybe).
> Néha és is belekotyogtam volna, de nem akartam összeszemetelni. Most már nyugodtan... legfeljebb majd egyszer csinálunk egy igazi FAQ-ot, ezt meg átnevezzük "proto-FAQ"-ra...
Talán szerencsés lenne, ha a FAQ-nak lenne egy ikertopicja, ahol a csatlakozó vitákat le lehet folytatni. Hiszen a FAQ megnevezés valamilyen letisztult álláspont átadását sejteti, nem valódi véleménykülönbségek öszecsapását. Néha és is belekotyogtam volna, de nem akartam összeszemetelni.
K: Végülis mi a kavarodás alapja? V: Az, hogy kicsit felületesen 'távolságnak' nevezünk egy olyan mennyiséget, ami kifejezetten nem teljesíti a távolság-axiómákat, amelyek: ro(X,Y)=0 <=> X=Y ro(X,Y)=ro(Y,X) ro(X,Y)<=ro(X,Z)+ro(Z,Y)
K.: Ez több, mint érdekes, és igen tanulságos. Pl. Írod: "hallottam róla, hogy a Minkowski-térben lehet csupa nulla hosszúságú vektorból álló bázist (ú. n. null-bázist) megadni." Tudnánk-e erre példát mutatni? V.: Igen, pl. (t,x,y,z) sorrendben:
e1=(1,1,0,0), e2=(1,-1,0,0), e3=(1,0,1,0), e4=(1,0,0,1) Ez bázis, mert lineárisan függetlenek, hiszen: 0=ae1+be2+ce3+de4 követelmény csak a,b,c,d = 0 esetben lehet, mivel: a+b=0 a-b=0 a+c=0 a+d=0 az első két egyenletből a=b=0, majd a másik kettőből: c=d=0 Másrészt látható, hogy mindegyik e vektor fényszerű, hosszuk nulla.
K.: Mit is akart egy egy mutáns mondani? Hogy fényhez nem lehet koordinátarendszert rögzíteni. De most láttuk, hogy lehet olyan bázist használni, melyben minden bázis nullvektor, azaz fényszerű. Igaz ugyan, hogy ez a bázis nem merőleges vektorokból áll, Írod is, hogy "ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor." ebben pedig csupa ilyen szerepel. És persze az is igaz, amint írod is, hogy ezt a bázis nem lehet normálni. Akkor mégis lehet fényhez rögzíteni koordinátarendszert? V.: Nem tudom, mert a fenti okoskodásból nem látom, hogy a példaként felvett bázis azt jelenti-e, hogy az egy fénysugárhoz lenne rögzítve. De talán egy jobb példa segítene.
Bocs, ha kicsit off vagyok, de ha már belekezdtem, hadd fejezzem be. Szóval annak a bizonyítása, hogy fényszerű vektor nem lehet eleme ortogonális bázisnak, a következő.
Indirekt módon tegyük fel, hogy f egy fényszerű vektor, és {f, g1, g2, g3 } egy ortogonális bázis. Vegyünk most egy tetszőleges f-től lineárisan független f' fényszerű vektort.
Az f' vektort a bázisvektorok lineáris kombinációjával felírva:
f' = pf + qg1 + rg2 + sg3 valamely p,q,r és s valós számokkal.
Ekkor egyrészt vf = 0, hiszen a vf = pf2 + qg1f+ rg2f+ sg3f jobboldalának első tagja azért nulla, mert f fényszerú, a többi pedig azért, mert a feltételünk szerint a bázisvektoraink páronkánt ortogonálisak.
Másrészt ff' =/= 0 a (272)-ben említett tétel miatt, miszerint két lineárisan független fényszerű vektor nem lehet ortogonális egymásra.
Q.E.D.
-------------------------
A (272)-ben említett tétel bizonyítása pedig az alábbi.
Legyen adva két vektorunk, egy szokásos inerciarendszer által definiált koordinátákkal megadva (x1,x2,x3,t) és (y1,y2,y3,τ). Az egyszerűseg kedvéért csak (x,t) és (y, τ) -t fogok írni, de x és y helyébe mindig (x1,x2,x3) -at ill. (y1,y2,y3)-at, xy helyett x1y1+x2y2+x3y3-at, x2 helyett x12+x32+x32-et, y2 helyett pedig y12+y32+y32-et kell gondolni.
Tegyük fel, hogy (x,t) nemzérus fényszerű vektor, vagyis t=/=0 és x2 - t2 = 0.
Tegyük fel, hogy (y,τ) nemzérus fényszerű vektor, vagyis τ=/=0 és y2 - τ2 = 0.
Tegyük fel azt is, hogy (x,t) és (y, τ) Minkowski értelemben merőlegesek egymásra, vagyis (xy-tτ) = 0.
Azt kell belátnunk, hogy van olyan λ valós szám amellyel y = λx és τ = λt.
Bizonyítás:
3. szerint (xy)2 = (tτ)2
= t2τ2 (mivel itt t és τ valós számok)
= x2y2 (1. és 2. alkalmazásával)
A Schwartz-egyenlőtlenség szerint viszont (xy)2 <= x2y2 , és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x és y lineárisan függők, vagyis, ha van olyan λ valós szám amellyel y = λx. Legyen λ tehát ez a szám. Ekkor 3-ból :
tτ = xy = λx2 = λt2 (1. miatt).
t-vel egyszerűsítve: τ = λt. Tehát (x,t) és (y, τ) valóban lineárisan függő.
ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor
Tiszta hülye vagyok. Hát hogy a csodába szerepelhetne, ha a a bázis ortonormált. Hiszen 0 hosszúságú vektort nem lehet normálni! Amin én gondolkodtam, az valójában az volt, hogy ortogonális (de nem feltétlenül normált) bázisban szerepelhet-e fényszerű vektor. A válasz viszont valószínúleg erre is nem, de sajnos még nem találtam rá bizonyítást.
A nullvektorok, vagyis a fényszerű vektorok viszont kizárólag a velük párhuzamos vektorokra merőlegesek, vagyis egy fényszerű vektorhoz nincs tőle lineárisan független másik vektor, amely merőleges rá.
Pardon, ez nem igaz. Csak annyi igaz, hogy ha mindkét vektor fényszerű, és lineárisan függetlenek, akkor nem lehetnek merőlegesek egymásra (ez valóban egyszerűen belátható a Schwartz-egyenlőtlenség felhasználásával).
De egy fényszerű vektorra egy nem fényszerű akkor is lehet merőleges, ha lineárisan függetlenek.
Pl. ha {e0, e1, e2, e3 } a szokásos ortonormált bázis, akkor az e0 + e1 fényszerű vektorra merőleges a tőle lineárisan független e2 térszerű vektor, hiszen
(e0 + e1)e2 = e0e2 + e1e2= 0 + 0 = 0. És ugyanígy az e3 vektor is.
Több, ezektől független merőleges vektor viszont már valószínűleg tényleg nem található. Azt hiszem, hogy az az igaz, hogy egy fényszerű vektort tartalmazó ortogonális vektorrendszer maximum 3 vektorból állhat, tehát az azért tényleg igaz, hogy ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor.
V: Amit hallottál, az igaz. De a vonatkoztatási rendszerekkel definiált bázisnak ortonormáltnak kell lennie, vagyis annak a bizonyos másik iránynak merőlegesnek kell lennie az elsőre. A nullvektorok, vagyis a fényszerű vektorok viszont kizárólag a velük párhuzamos vektorokra merőlegesek, vagyis egy fényszerű vektorhoz nincs tőle lineárisan független másik vektor, amely merőleges rá. Így ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor.
K: Nem mondtál véletlen valamit rosszul? Azt mondtad, hogy a fényszerű vektorok a velük párhuzamos vektorokra merőlegesek. Akkor most párhuzamosak, vagy merőlegesek?
V: Mind a kettő egyszerre. A párhuzamosság azt jelenti, hogy egyik vektor a másiknak a konstansszorosa, a merőlegesség pedig azt, hogy a skaláris szorzatuk nulla. Ha a metrika indefinit, akkor ez a két dolog nem zárja ki egymást. Valóban furcsa egy kisit ez a Minkowski-geometria.
K: Ha adott két esemény (E1,E2), amelyek koordinátái K-ban (t1,x1) és (t2,x2), a K'-ben pedig (t1',x1') és (t2',x2'), akkor mi az a mennyiség, ami mindkettőben ugyanannyi? V: Mondjuk az L^2=(x2-x1)^2-(t2-t1)^2c^2 = (x2'-x1')^2-(t2'-t1')^2c^2.
K: És ugye azért L^ˇ, mert mindig pozitív, (kivéve ha t2=t1 és x2=x1)? V: Inkább úgy mondanám, hogy lehet pozitív is, ebben az esetben azt mondhatjuk hogy a köztük lévő távolság 'térszerű', másképpen mondva van olyan rendszer is, ahol E1 és E2 egyidejűek. Ez azt is jelenti, hogy egyik sem lehet oka a másiknak, mert még a fénysugár sem kötheti őket össze.
K: És ha negatív? V: Akkor a távolságuk 'idő jellegű', tehát van olyan rendszer, ahol E1 és E2 ugyanazon a helyen különböző időben bekövetkező események. Ebben az esetben lehet köztük oksági kapcsolat.
K: No és ha nulla? V: Az az a különleges eset, amikor egy fénysugár eljuthat egyikből a másikba.
K.: Hmm. Én ebből nem látom, hogy ez miért tenné lehetetlenné azt, hogy fénysugárhoz rögzítsük a koordinátarendszerünket. Mi több, hallottam róla, hogy a Minkowski-térben lehet csupa nulla hosszűságú vektorból álló bázist (ú. n. null-bázist) megadni. Márpedig egy koordinátarendszer megadása egy vektortéren azonos egy bázis megadásával. Szóval, akkor hogy is van most ez?
K.: Lehet fénysebességű inerciarendszert felvenni? Pontosabban lehet-e a fényhez inerciarendszert rögzíteni?
V.: Nem.
K.: No de miért nem? Mert a Lorentzben nulla lesz a nevező?
V.: Hát igen. De ez inkább következmény, egy mélyebben fekvő ok áll a háttérben.
Éspedig: Kezdjük egy ismertebb esettel: Most én kérdezek:
K'.: Hogyan veszünk fel a síkon egy koordinátarendszert?
V'.: Kijelölök egy pontot (O) origó, és egy irányt. Ez adja az x tengelyt, erre merőleges az y.
K'.: Hogy jelölöd ki az irányt?
V'.:Megadok egy a kívánt irányba eső X pontot. Bármelyik lehet, ami az origóból ebbe az irányba esik.
K'.: Szóval akármelyik pont jó lehet?
V'.: Igen, kivéve magát az O pontot, azaz az XO táv ne legyen nulla. De mi köze ennek ahhoz, amit kérdeztem?
V.: A téridőben is hasonlóan veszünk fel koordinátarendszert. Kiválasztunk egy (O) eseményt, ez lesz az origó. Keresünk egy másik (X) eseményt, ez adja majd az egyik tengelyt. Az egyetlen feltétel, hogy az XO táv ne legyen nulla. Azonban egy fénysugár által érintett minden eseményre XO=0. Ezért nem lehet a fénysugárhoz koordinátarendszert rögzíteni.
K: A sajátvektorok keresésénél tehát egy t', x' vektort keresünk, melyre (t',x')=L(v)*(t', x')=la*(t',x'). Én ilyet nem találtam. Először megkerestem L(v) sajátértékeit, erre két értéket kaptam, la1=(c+s)/2 és la2=(c-s)/2, ahol c=ch α és s= sh α. Ezekhez viszont nem sikerült sajátvektort találnom, csak ha c=s, ami csak α=végtelen, v=1 esetére. Hol hibázhattam? Nem értem: ezek transzformáltja (ch α - sh α)(t,t) illetve (ch α + sh α)(t,-t). Kérlek segíts néhány részlettel.
K: Ha már a Lorentz-transzformáció mátrixáról beszélünk, mondjuk meg azt is, hogy van-e neki sajátvektora! V: Mi is az?
K: Olyan vektor (esetünkben (t,x) pár), aminek a transzformáltja az eredetivel azonos irányú, vagyis csak a hossza változik a transzformáció alatt, az iránya nem. V: Hát ilyen kettő is van, a (t,t) meg a (t,-t), ezek transzformáltja (ch α - sh α)(t,t) illetve (ch α + sh α)(t,-t).
K: Van ennek valami szemléletes jelentése? V: Pl: Az origóból induló fénysugár a K-ban és a K'-ben is ugyanazt az utat futja be.
K: Remek! Tehát kiderült, hogy a fénysebesség állandósága a Lorentz-transzformáció következmény! V: Fordítva! A fénysebesség tapasztalt állandósága miatt kellett elvetni a Galei-transzformációt és bevezetni a Lorentz-félét!
K: Akkor a fénysebesség állandósága nincs cáfolhatatlanul bebizonyítva? V: Természetesen nincs... gyakorlásképpen olvasd el újra a 21-et!
K: Ez tehát azt mutatja, hogy a Lorentz trafó, tehát a specrel, nem csak állandó sebességű tömegpontok esetére érvényes a hely és időadatok átszámítására, hanem tetszőleges sebességgel mozgó (gyorsuló) pontok esetében is alkalmazható, a sebességátszámító képlettel együtt. (a pillanatnyi seebességre persze, és persze mindkét rendszer inerciarendszer, tehát a '-s sebessége egyenletes a '-tlenben, = V.
Ami most a továbbiakban bennem felmerül, hogy vajon a v=dx/dt sebsségből képezhetünk-e bármilyen vektort? Pl. v=(dt/dt, dx/dt)=(1,v) vektor-e?
V: Nem, mert (1,v') =/= L(V) (1,v).
K: Ez esetben a gyorsulás d/dt(1,v)=(0,a) sem lehet vektor, márpedig a tömegpont mozgásegyenletét vektoros formában kellene keresni.
V: Valóban, ezért keresni kell olyan mennyiségeket, amik megtartják vektoros tulajdonságaikat a Lorentz után is. Ezek pedig U=(dt/dT, dx/dT), amire igaz:
U'=L(V) U (T a tömegpont sajátideje, minden inerciarendszerben uganaz))
Ebből már képezhetjük a gyorsulást: dU/dT, amire szintén jól működik a LT, ezért alkalmas a mozgástörvény felírására, mert ez minden inerciarendszerben azonos alakú lesz.
K: Azt mondod, hogy d/dt (t',x') = d/dt L(v)(t,x) = L(v) d/dx (t,x). Bizonyára így is van, de engem a dx'/dt' jobban érdekelne! K: Azt mondanám, hogy dx'/dt = -sh α + dx/dt * ch α dt'/dt = ch α - dx/dt * sh α dx'/dt' = (-sh α + dx/dt * ch α)/(ch α - dx/dt * sh α) = = (-v+dx/dt)/(a-v*dx/dt)
K: Ez igen tanulságos, különösen a konkrét számpéldák, melyek a fénysebesség azonosságára utalnak, ill. bizonyos helybenmaradó és együttmozgó pontok úttörvényeit adják. De vajon alkalmas-e ez a sebességösszeadás képletének felírására is?
V: Persze, hiszen ez épp az x=at+b egy olyan speciális esete, amiben a b=0, de a-nak nam adunk konkrét számértéket:
x'=(a ch α - sh α)/(ch α - a sh α)*t'
x'/t'=(a ch α - sh α)/(ch α - a sh α)=(a-th α)/(1-a th α)
