A partíciók számáról lenne kérdésem: egy adott, nagy n-nek, hány k tagra való felbontásánál van a maximális partíciók száma? Közelítő képlet érdekelne.
Legyen az n szám partícióinak száma p(n), és jelölje pk(n) n-nek pontosan k tagra való felbontásainak számát. Néhány pk(n)/p(n) grafikon, hogy érthetőbb legyen.
A wikin van ez a képlet pk(n)-re, de csak k<<n esetén működik. Van olyan képlet, ami a maximuma környékén ad jó közelítést? A max. értéke is érdekelne, ha van ilyen infó, nem csak a helye.
Preda Mihăilescunak köszönhetően sok millió ember megtudott valami újat a természetes számokról. Úgy gondolom, ez fontosabb dolog, mint egy olyan tétel, amit csak néhány száz matematikus ért a világon.
Nagyon köszönöm a válaszaidat, semmiképpen nem volt szándékomban, hogy felbosszantsalak, vagy ilyesmi.
Mivel nem vagyok matematikus, sajnos sok mindenről nem tudom megállapítani, mennyire fontos, de abban biztos vagyok, hogy a Catalan-sejtéshez hasonlók a legfontosabbak közé tartoznak. Preda Mihăilescunak köszönhetően sok millió ember megtudott valami újat a természetes számokról. Úgy gondolom, ez fontosabb dolog, mint egy olyan tétel, amit csak néhány száz matematikus ért a világon.
Selberg nem is a prímszámtétellel foglalkozott, hanem valami mással, ennek egy részét mondta el Turánnak.
Selberg egész életében a Riemann-zetával foglalkozott, ami a prímszámokról szól (első megközelítésben). A Selberg-féle aszimptotikus formula, ami a prímszámtétel elemi bizonyításának alapja, a prímszámtétel analitikus formájának egy gyengített (átlagolt) változata. Ha nem a prímszámtétel új bizonyítása lebegett volna Selberg szeme előtt, akkor a formulát érdektelennek tartotta volna, hiszen pár sorban következik a prímszámtételből. Ez mindenki számára világos, aki számelmélettel foglalkozik. Világos volt Turánnak, ahogyan Erdősnek is. Világosan látták, hogy Selberg miért csinálja azt, amit. Erdős maga úgy fogalmaz, hogy Selberg vezette le elsőként a Selberg-féle aszimptotikus formulából a prímszámtételt. Ehhez a befejező lépéshez Erdős adott egy fontos löketet. Olvasd el Erdős eredeti cikkének első három bekezdését, ami kevesebb, mint egy oldalt tesz ki. Ezzel egybehangzóan Selberg is azt állítja, hogy ő vezette le először a prímszámtételt elemi eszközökkel. Nézd meg az ő cikkének is az első oldalát.
Állítólag Selberg nem is volt akkor az egyetemen
Az egész történet (Selberg, Turán, Erdős) az Institute for Advanced Study-ban játszódott le. Ez a világ egyik leghíresebb kutatóintézete, innen ment nyugdíjba Selberg, Einstein, és még sok híres ember. Nem egyetem.
De majd elolvasom az ajánlott linket is.
Érdemes elolvasni Goldfeld írását, mert eredeti levélrészletekkel fejti ki a történetet. De mint mondtam, az egész bizonyításnak nincs nagy jelentősége. Akkor úgy tűnt, hogy ez egy fontos dolog, de az idő nem ezt igazolta. Később persze lehet, hogy újra fontosnak fogjuk tartani, de egyelőre a prímszámtételre nincs jobb módszerünk, mint a Riemann-zetát komplex függvénytannal vizsgálni és alkalmazni.
Olyan ez, mintha az olimpián az első helyezett nem kapna aranyérmet, csak az edzője, vagy a gyúrója.
Furcsa elképzeléseid vannak a matematikáról. Baker munkája sokkal fontosabb, mint Mihailescu-é. Baker munkája nem egy konkrét, izolált diofantikus egyenletről szól, hanem egy teljes elmélet, egy új szemléletmód. Az a gond, hogy olyasmiről beszélsz, amit nem értesz. Baker nem egy edző, hanem a XX. század egyik legnagyobb matematikusa. Mihailescu - minden tiszteletem ellenére - nem tartozik ebbe a körbe. Van pár nagyon szép tétele, de nem változtatta meg a matematika folyását (Bakerrel ellentétben). Amúgy elnézést, hogy megint tudománymetriával dobálózom: Baker 64 cikket írt és arra 1377 hivatkozást kapott. Baker tételeit nagyon sok helyen lehet alkalmazni.
Egyébként a nagy Fermat-sejtést is csak azért sikerült bizonyítani, mert kimutatták, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés ekvivalens vele.
Nem ekvivalens vele, hanem: a Fermat-sejtés következik a Shimura-Taniyama-sejtésből. A Fermat-sejtés bizonyítása mindent egybevéve több ezer oldalt tesz ki. Annak bizonyítása, hogy a Fermat-sejtés következik a Shimura-Taniyama-sejtésből, maga több száz oldalt tesz ki. Ezt Wiles előtt csinálták. Az, hogy a Shimura-Taniyama-sejtés igaz, szintén több száz oldalt tesz ki. Ennek egy speciális esetét igazolta Wiles. De megint csak hangsúlyoznom kell, hogy Wiles munkája kitűnik az eredetiségével. A módszer rengeteg más helyen is alkalmazható, fantasztikus következményei vannak. Itt egy friss cikk, ami maga Fields-érem gyanús, és Wiles módszerének továbbfejlesztését használja (sok egyéb mellett).
Így tekintve, olyan nagy újdonságértéke akkor annak sem volt.
Azt azért tudnod kell, hogy a Shimura-Taniyama-sejtés (mint állítás) sokkal fontosabb a Fermat-sejtésnél.
Szerintem a régi, közérthető problémákat szeretné a legtöbb matematikus bebizonyítani, de csak nagyon kevesen mernek belevágni, mert rendkívül nehezek.
Ez nem igaz. Most az a kérdés, hogy magadnak hiszel, vagy nekem, a matematikusnak. A legtöbb matematikus a területének fontos problémáit próbálja megoldani. Ezek között vannak régiek és vannak újak. Sok matematikus eleve olyan objektumokat vizsgál, amiket 100 éve nem ismertek, mert még nem fedezték fel őket. Sőt, sok matematikai terület (pl. az én szakterületem) nem is létezett 100 évvel ezelőtt. Ez nem valamiféle gyávaság, hanem a tudomány gyorsuló fejlődése. A legtöbb érdekes és fontos kérdést a közelmúltban tették fel. Pl. a tökéletes számok ókori problémája talán a legrégibb megoldatlan kérdés a matematikában, de nem tudok olyan komoly emberről, aki dolgozik rajta. Egy elszigetelt - amúgy nagyon nehéz - kérdésről van szó, de nem tűnik fontosnak. Sokkal többen dolgoznak a Langlands-programon, mert ez egy központi kérdéskör, annak ellenére, hogy még "csak" 50 éves.
Az utóbbi 50 évben nem is hallottam más ilyenről, csak a fentebb említett kettőről.
Sok régi problémában volt áttörés az utóbbi 20 évben. Itt most abba is hagyom, mert egyrészt erre nincs időm, másrészt csak felbosszantom magam. Kérlek, hagyd a matematikusokra a matematikai eredmények megítélését!
Olvastam, amit írtál, csak nem értem, mert én teljesen másképp ismerem a történetet. Selberg nem is a prímszámtétellel foglalkozott, hanem valami mással, ennek egy részét mondta el Turánnak. Turán elmondta Erdősnek, aki felismerte, hogy ez a munka segíthet bizonyítani elemi úton a prímszámtételt. Miután engedélyt kapott az eredmény felhasználására, elvégezte a bizonyítást. Állítólag Selberg nem is volt akkor az egyetemen, és ő tudta meg utoljára, hogy "Erdős meg valami skandináv bebizonyították elemi úton a prímszámtételt". Ezen berágott, és elutasította, hogy társszerzők legyenek. Utána (nem tudom, mennyivel) talált egy olyan bizonyítást, ami teljesen más lett, mint az Erdősé.
De majd elolvasom az ajánlott linket is.
"Megjegyzem, hogy Tijdeman a Baker-módszert használta, és Baker a módszeréért Fields-érmet kapott."
Hát, éppen ez az! Olyan ez, mintha az olimpián az első helyezett nem kapna aranyérmet, csak az edzője, vagy a gyúrója. Egyébként a nagy Fermat-sejtést is csak azért sikerült bizonyítani, mert kimutatták, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés ekvivalens vele. Így tekintve, olyan nagy újdonságértéke akkor annak sem volt.
"Nem az számít, hogy hány éves a probléma, hanem hogy milyen nehéz"
Én összefüggést látok a két dolog között, érdekes, ha Te nem. Szerintem a régi, közérthető problémákat szeretné a legtöbb matematikus bebizonyítani, de csak nagyon kevesen mernek belevágni, mert rendkívül nehezek. Az utóbbi 50 évben nem is hallottam más ilyenről, csak a fentebb említett kettőről.
Az Abel-díj hasonló, mint a Wolf-díj, gyakorlatilag ugyanazok a díjazottak.
A Catalan-sejtés több mint 150 éves probléma, hány Abel-díjas bizonyított már be hasonlót?
Nem az számít, hogy hány éves a probléma, hanem hogy milyen nehéz, és mennyire fontos a matematika egészére nézve. A Catalan-sejtésnek ráadásul volt már egy jelentős részleges megoldása: Tijdeman korábban igazolta, hogy csak véges sok ellenpélda van, és konkrét korlátot adott a legnagyobb lehetséges ellenpéldára. Tehát Mihailescu megoldásának nem volt akkora újdonság-értéke, mintha a semmiből jött volna. Megjegyzem, hogy Tijdeman a Baker-módszert használta, és Baker a módszeréért Fields-érmet kapott. Nem véletlenül, hiszen a Baker-módszer széleskörben használható, rengeteg diofantikus egyenletet (és egyéb problémákat) is megoldottak vele. Mihailescu bizonyítása nagyon szép (már amennyire értem), de nem volt nagy hatása még az algebrai számelméletben sem.
Ráadásul egy 28 oldalas bizonyításról van szó.
Ez nem számít hosszúnak, és nem is releváns. Nekem van 75 oldalas cikkem (aminek nagy része a főeredmény bizonyítása), illetve ezen kívül is van több 50+ oldalas cikkem. Nem ritkák a 100-200 oldalas munkák egy igazán komoly eredmény esetében.
Egy ilyen különleges probléma bizonyítása az én szememben többet ér, mint más matematikusok teljes életműve
Az egy dolog, hogy Te mit tartasz különlegesnek, illetve a Te szemedben mi mit ér. A díjakról bizottságok döntenek, akik a világ vezető matematikusaiból állnak. Lásd Terence Tao.
Tehát minden esetben így értékelnek, csak Erdős esetében értékeltek másképp?
Erdős sok nagy díjat kapott (pl. Wolf-díj), bár ez szerintem őt kevéssé érdekelte. Amikor esélyes volt a Fields-éremre, még egészen más volt a világ (benne a matematika), mint most. 80 évvel ezelőtti időkről beszélünk. Ráadásul akkor még a Fields-érem is elég friss volt. De hidd el, az összes Fields-érmes óriási dolgokat vitt véghez. Nagyon sok matematikus van, és közöttük sok a fantasztikus elme. Nem feltétlenül azok a legjobb matematikusok, akikről sokat hallasz. A Catalan-sejtésről és a Fermat-sejtésről valószínűleg azért tudsz, mert könnyű megfogalmazni, könnyű róla beszélni.
Selberg hozzájárult, hogy felhasználhassák az eredményeit (már amennyit elárult)
Nem járult hozzá, olvasd el Goldfeld írását, amit linkeltem. Itt kulturális különbségek is vannak. Amit egy magyar matematikus úgy ért, hogy amit hallott egy privát beszélgetésben, azt elmondhatja másoknak, azt egy norvég matematikus nem úgy érti. Nem nyilvános előadás volt Selbergé, de még ha az is lett volna, az sem kötelezte volna Selberg-et semmire. Alapból mindenki azt publikálja, amit maga talált ki, felhasználva azt, ami ami nyomtatásban elérhető. A társszerzőség trükkös dolog: ezt azért is tudom, mert többnyire társszerzőkkel publikálok.
Erdős bizonyított először, neki mindenképpen járt volna a díj
Huhh. Olvastad, amit írtam? Nem Erdős bizonyított először. A bizonyítás nagyobb részét Selberg egyedül találta ki. A bejezés egy egyszerűbb dolog volt, és ezt egymástól függetlenül és egyszerre találta ki Erdős és Selberg. Továbbá - mint írtam - Selberg nem ezért a bizonyításért kapta a Fields-érmet. Kérlek, olvasd el újra és alaposabban, amit írtam. Ha már rászántam az időt.
De megkaphatták volna mindketten, mert évente két személyt díjaztak.
1950-ben ketten kaptak díjat: Laurent Schwartz és Atle Selberg. Mindkettő óriási matematikus, ahogyan Erdős Pál is. Mostanában egyébként már 4 díjazott szokott lenni. Nagy a verseny a tudományban. 1950-ben nem Erdős volt a befutó, hanem Schwartz és Selberg. Schwartz találta ki a disztribúciók elméletét, ami az analízis egyik legalapvetőbb eszköze, és a matematikán kívül is mindenhol használják. Megérdemelte a díjat.
Én úgy tudtam, a Wolf-díjat adják életműért, az Abel-díjat a matematikai Nobel-díjként szokták emlegetni, és Nobel-díjat egy-egy kiemelkedő eredményért szoktak adni. Ez akkor félrevezető.
Nem vagyok matematikus, csak a tényekből próbálok következtetni. A Catalan-sejtés több mint 150 éves probléma, hány Abel-díjas bizonyított már be hasonlót? Ráadásul egy 28 oldalas bizonyításról van szó. Egy ilyen különleges probléma bizonyítása az én szememben többet ér, mint más matematikusok teljes életműve, még akkor is, ha a "matematikai értéke" a matematikusok szerint nem túl nagy.
Wiles a hiba felfedezése után azért vette maga mellé a tanítványát, hogy mindenképpen ők javítsák ki a hibát, mert ha nem így lett volna, más bizonyította volna a nagy Fermat-sejtést, hiába Wiles végezte volna el a munka kilencvenvalahány százalékát. Tehát minden esetben így értékelnek, csak Erdős esetében értékeltek másképp? Ez számomra elfogadhatatlan. Selberg hozzájárult, hogy felhasználhassák az eredményeit (már amennyit elárult), Erdős bizonyított először, neki mindenképpen járt volna a díj. De megkaphatták volna mindketten, mert évente két személyt díjaztak. Ennek ellenére még így sem kapta meg a díjat Erdős, és ez hatalmas igazságtalanság. És én is úgy olvastam, hogy kombinatorikai és gráfelméleti munkássága annyira kiemelkedő volt, hogy azért is megérdemelte volna.
Nem értek egyet. Elég mélyen benne vagyok a matematikában, ezen belül a számelméletben, és úgy gondolom, hogy a nagy díjakat megérdemelten kapják azok, akik kapják.
Az Erdős-Selberg vitában szerintem Selberg-nek volt igaza. A problémán Selberg is gondolkozott, és ő érte el az áttörést egy konkrét aszimptotikus formula bizonyításában, amely a theta(x)~x (prímszámtétel) egy átlagolt változata. Az átlagolt formula elemi bizonyításáról néhány IAS member hallott Selberg-től privát előadás formájában, köztük Turán is, aki Erdősnek tudósított. A rá következő napokban Selberg és Erdős egymástól függetlenül igazolta, hogy a Selberg-féle aszimptotikus formulából kihozható Tauber-típusú módszerrel a prímszámtétel. Természetesen az említett formulát Selberg pont ebből a célból vezette le a prímszámtételtől függetlenül: más értelme nem lett volna, hiszen a prímszámtételből egy sorban következik a formula. Ezek után Erdős úgy gondolta, hogy együtt kellene publikálniuk az egész cuccot. Selberg erre reagálhatott volna pozitívan, de nem támadható azért, hogy negatívan reagált. Ő rakta bele a többet a prímszámtétel elemi bizonyításába. A történetről itt olvashatsz részletesen.
Az igazság az, hogy a prímszámtétel elemi bizonyításának nincs nagy jelentősége. Akkor lenne jelentősége, ha erősebb hibatagot adott volna, mint a klasszikus bizonyítás vagy más módon vitt volna közelebb minket a prímszámok és a Riemann-zeta megértéséhez. A motiváció is ez volt. Az elemi bizonyítás egyébként hosszabb és csúnyább, mint az eredeti, komplex függvénytanos érvelés. Az is egy félreértés (a magyarok körében közkeletű), hogy Selberg ezért az eredményéért kapta volna a Fields-érmet. Furcsa is lenne, ha egy már 50 éve ismert és nem túl nehéz tétel újrabizonyításáért kapna valaki Fields-érmet. Selberg azért kapta az érmet, mert belátta, hogy a Riemann-zeta nemtriviális gyökeinek egy pozitív hányada a kritikus egyenesen van (vö. Riemann-sejtés). Na ez igazi, meglepő áttörés volt. Ehhez Selbergnek ki kellett dolgoznia egy új módszert (mollification method), amit máig széleskörben használnak az analitikus számelméletben.
Erdőst nagyobb matematikusnak tartom Selberg-nél, és természetesen megérdemelte volna a Fields-érmet, ahogyan Lovász és Szemerédi is megérdemelte volna anno. Erdős nem Selberg miatt nem kapott Fields-érmet, hanem mert a kombinatorikát (amiben Erdős igazán kiemelkedő volt), akkoriban nem tartották olyan fontos területnek, mint most. Selberg koncentráltabb területen dolgozott, így a számelmélet többet köszönhet neki, mint Erdősnek (bár ezzel a hazai számelmélészek egy része vitatkozna). A már említett Riemann-zetás eredményen kívül ott van a Selberg-szita (aminek továbbfejlesztésével nemrég bizonyították, hogy a szomszédos prímek különbsége végtelen sokszor legfeljebb 246), vagy a Selberg-féle nyomformula (ami az automorf formák elméletének egyik legáltalánosabb és legmélyebb eszköze). Kevesen tudják, de a Fermat-sejtés bizonyítása a Langlands-Tunnell tétellel kezdődik, amit a nyomformulával bizonyítottak.
Preda Mihăilescu miért nem nyert Abel-díjat a Catalan-sejtés bizonyításáért?
Az Abel-díjat nem 1-2 nagy eredményért adják, hanem életműért, sok áttörő eredményért, átfogó munkáért. Olyannak adják, akinek a hatása óriási és akinek a módszereit széleskörben használják. Mihăilescu-ról ez nem mondható el, és ez kitűnik pusztán a tudománymetriai adatokból is. Mihăilescu-nak a MathSciNet szerint 34 cikke van és 154 hivatkozása. Daubechies-nek - akit ekéztél - 129 cikke van és 6933 hitakozása. Selbergnek 43 cikke van és 1926 hivatkozása, Wiles-nak 28 cikke és 2000 hivatkozása. Mihăilescu nincs egy súlycsoportban azokkal, akik Abel-díjat kaptak. Ha Mihăilescu fiatalabban oldotta volna meg a Catalan-sejtést, akkor talán kapott volna Fields-érmet, bár ismerve a számelmélész Fields-érmeseket, itt se lett volna esélye.
Talán nem eléggé híres egyetemen dolgozik, vagy valami havernek kellett akkor kiadni a díjat...
Az Universität Göttingen - ahol Mihăilescu dolgozik - világhírű egyetem. Abban igazad van, hogy a leghíresebb egyetemek (Harvard, Stanford, Princeton, Cambridge stb.) tudatosan nyomják, jelöltetik a saját embereiket, de ennek nincs akkora torzító hatása, mint gondolod. Érdemes elolvasnod Terrence Tao írását arról, hogy a legutóbbi Fields-érem választásánál milyen gonddal jártak el. Tagja volt a bizottságnak, lásd itt.
Még egyet hadd tegyek hozzá. Valószínűleg nem vagy matematikus, ezért nem igazán tudod megítélni a Fields-érmesek és az Abel-díjasok munkásságát. Ha tévednék, elnézést kérek.
Véleményem szerint a díjakat mostanában már csak ritkán nyerik, akik megérdemelnék, ehelyett politikai döntések születnek. Vajon a matematikai díjak is ilyenek?
A Fields-érem szerintem mindig is a legostobább, leglogikátlanabb díj volt, mivel csak negyvenéves korig nyerhető meg. Szégyen, hogy éppen az egyik matematikai díj a leglogikátlanabb. Ehhez a díjhoz kapcsolódik a matematika történelmének legigazságtalanabb döntése is, az Erdős-Selberg-vita. Erdős annak ellenére nem kapta meg a díjat, hogy ő bizonyította először a prímszámtételt elemi úton, és két embert díjaztak évente, tehát Selberggel együtt is megkaphatta volna. (Selberg valószínűleg az egyik legellenszenvesebb volt a kiemelkedő matematikusok között, nem csak emiatt.)
Marad az Abel-díj, amit tavaly egy nő nyert meg. Gondolom régóta várták már, hogy egy nő valami értékelhetővel jelentkezzen. Talán nem túl merész feltételezés, hogy könnyedén lehetett volna találni olyan férfit, aki jobban megérdemelte volna. Ami legalább ennyire felháborító: Preda Mihăilescu miért nem nyert Abel-díjat a Catalan-sejtés bizonyításáért? 2002-ben bizonyította, és 2004-ben publikálta, tehát 2003-ban vagy 2005-ben kellett volna megkapnia (2003 óta van Abel-díj). Talán nem eléggé híres egyetemen dolgozik, vagy valami havernek kellett akkor kiadni a díjat...
P.S. Azt máig se tudjuk egyébként, hogy van-e végtelen sok n2+1 alakú prím. Olyanokat tudunk, hogy végtelen sok n-re n2+1 legfeljebb két prím szorzata, illetve végtelen sok n-re n2+1 osztható egy n1.2-nél nagyobb prímszámmal.
Gergő mégegyszer köszönöm a segítségedet. Egy nemeuklideszi geometriával kapcsolatos számolgatásaim melléktermékeként adódott az amiről írtam. Először találkoztam olyan számnégyesekkel, amely egyszerre több diofantoszi egyenletet is kielégít. Még publikálva nem láttam hasonlót.
Az oszthatóságokat a Z[x,d] polinomgyűrűben értjük, ami egy egyértelmű faktorizációs tartomány. Elegendő belátnuk, hogy
(1) n>1 esetén fn(x,d) osztható az x2, d2, (d-x)2 polinomokkal;
(2) n=3k+1 és n=3k+2 esetén fn(x,d) osztható az x2-dx+d2 polinommal.
Azért elegendő ez, mert x2, d2, (d-x)2, x2-dx+d2páronként relatív prímek a Z[x,d]-ben.
Nézzük az (1)-et. Modulo x2 kapjuk, hogy
fn(x,d) ≡ 0 + 0 + (d2-dx)n - (-dx+d2)n = 0.
Tehát fn(x,d) osztható x2-tel. Az fn(x,d)=fn(d,x) szimmetria miatt osztható d2-tel is.
Modulo (d-x)2 = x2-2dx+d2 kapjuk, hogy
fn(x,d) ≡ (dx)n + 0 + 0 - (dx)n = 0.
Tehát fn(x,d) osztható (d-x)2-tel. Ezzel az (1)-et beláttuk.
Nézzük a (2)-t. Modulo x2-dx+d2kapjuk, hogy
fn(x,d) ≡ (dx)n + (-d2)n + (-x2)n.
Jelölje gn(x,d) a jobb oldalt. Tehát elegendő belátni, hogy
(3) n=3k+1 és n=3k+2 esetén gn(x,d)osztható az x2-dx+d2 polinommal.
Ehhez a Z[x,d] polinomgyűrűről térjünk át a Z[w][x,d] polinomgyűrűre, ahol w egy primitív harmadik egységgyök. Elegendő belátni az oszthatóságot a Z[w][x,d]-ben, mert akkor a hányados egyrészt Z[w][x,d]-beli, másrészt invariáns a komplex konjugálásra, tehát Z[x,d]-beli is. A Z[w] - az Euler-egészek gyűrűje - egyértelmű faktorizációs tartomány, ezért a Z[w][x,d]is az. Az utóbbiban az x2-dx+d2felbomlik mint (x+wd)(x+w'd), ahol w' a w konjugáltja, ezért elegendő belátni, hogy
(4) n=3k+1 és n=3k+2 esetén gn(x,d) osztható az x+wd polinommal.
Valóban, ha az egész együtthatós gn(x,d) polinom osztható az x+wd polinommal, akkor osztható a komplex konjugálással kapott x+w'd polinommal is, vagyis az (x+wd)(x+w'd) szorzattal is, hiszen a tényezők relatív prímek.
Korrekcióra kényszerülök. Két sejtésem van. Első állításom az, hogy (dx)n+(x2-dx)n+(-(dx-d2))n-(x2-dx+d2)n ≡ 0 (mod dˇxˇ(x2-dx)ˇ(dx-d2)ˇ(x2-dx+d2)), minden n=3k+1 illetve n=3k+2-re, ahol k>0.
Második állításom az, hogy (dx)n+(x2-dx)n+(-(dx-d2))n-(x2-dx+d2)n ≡ 0 (mod dˇxˇ(x2-dx)ˇ(dx-d2)) minden n>2 -re. A válaszokat megköszönném.
Néhány diofantoszi egyenlet "megoldóképlet"-ével kezdeném. Tegyük fel, hogy x>d. (dx)1+(x2-dx)1-(dx-d2)1=(x2-dx+d2)1, (dx)2+(x2-dx)2+(dx-d2)2=(x2-dx+d2)2, (dx)3+(x2-dx)3-(dx-d2)3+3dx(x2-dx)(dx-d2)=(x2-dx+d2)3, (dx)4+(x2-dx)4+(dx-d2)4+4dx(x2-dx)(dx-d2)(x2-dx+d2)=(x2-dx+d2)4,... Még az 5 és 6 hatványkitevős alak is létezik. Mindegyiknek közös jellemzője, hogy (dx)n+(x2-dx)n+(-(dx-d2))n-(x2-dx+d2)n ≡ 0 (mod dˇxˇ(x2-dx)ˇ(dx-d2)ˇ(x2-dx+d2)). Valójában igaz ez az állítás minden n>2-re? (itt a dx jelölésnek semmi köze nincs a differenciálhoz, tehát dx=dˇx)
