Igen, abbahagyta. Chuck Norris le tudja írni az összes természetes számot. Kétszer is.
Minden természetes szám rajta van a papíron. Ugye ez az un. "aktualizált végtelen" felfogás, amit leginkább Cantornak köszönhetünk.
"Mathematicians generally accept actual infinities. Georg Cantor is the most significant mathematician who defended actual infinities, equating the Absolute Infinite with God. He decided that it is possible for natural and real numbers to be definite sets, and that if one rejects the axiom of Euclidean finiteness (that states that actualities, singly and in aggregates, are necessarily finite), then one is not involved in any contradiction." (Wikipedia)
Tehát a kérdésedre a válasz az, hogy igen, abbahagyta, mivel Ő fizikailag is tudja aktualizálni a végtelent (mi csak képzeletben). A másik kérdésedre a válasz az, hogy minden természetes szám rajta van a végtelen papíron.
Kicsit olyan a kérdésed, mintha azt mondanád, hogy nem létezhet olyan, hogy természetes számok halmaza, mivel minden természetes számnál van nagyobb. Ez butaság.
Tegyük fel, hogy Chuck Norris elkezdi felírni egy végtelen papírra egymás alá a természetes számokat. Miután végzett, összehajtogatja az összes természetes számot tartalmazó papírt, és megkérdezi:
- Szerepel-e a papíron végtelen hosszú szám?
A következőképpen okoskodom. Ahogy írja le a számokat, egyre több számjegyből áll egy szám, a számok hosszúsága nem korlátos. Képezzünk most egy karaktersorozatot úgy, hogy kezdjük egy nullával, majd írjunk mindig a végére egy nullát akkor, ha az éppen leírt természetes számunk hossza egyel nagyobb, mint az előzőleg leírt szám hossza. Könnyen belátható, hogy a nullák a végtelenségig íródnak. Chuck Norris már befejezett végtelen papírjából képezve ezt a nullákból álló sorozatot, egy végtelen hosszú nullákból álló karaktersorozatot kapunk. Mivel ezt a nullákat tartalmazó karaktersorozatot pont úgy állítottuk elő, hogy az minden pillanatban a Chuck által írt természetes szám hosszát
adja meg a nullák száma, ezért a végtelen papír tartalmaz végtelen hosszú természetes számot.
Tehát a válasz igen. Chuck Norris leírt végtelen hosszú természetes számot.
Az előző hozzászólásom már vagy egy órája nem jelenik meg, rendetlenkedik az Index. Na mindegy, folytatom:
Ha a kontinuum hipotézis tagadását hozzávesszük ZFC-hez, akkor abból még nem következik a kontinuum számosság helye a számosságok rendszerében?
Nem. A kontinuumhipotézis esetén a kontinuum az omega rákövetkező számossága, a kontinuumhipotézis tagadása esetén a kontinuum szinte akárhányadik lehet a sorban. Azért csak szinte, mert azért vannak enyhe megkötések, amik halmazelméleti tételekből következnek. A kontinuum lehet rákövetkező számosság, de lehet limeszszámosság is. Lásd http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum
Fel kell venni pluszban egy önkényes definíciót, ami a kontinuum számosság létezését rögzíti?
A létezését nem kell rögzíteni, hiszen az egy jóldefiniált fogalom a standard halmazelméletben, függetlenül attól, hogy a kontinuumhipotézis igaz-e vagy sem. A kontinuum számosság mindig létezik: ez az omega hatványhalmazának a számossága, pont.
1. A ZFC-beli végtelenségi axióma biztosítja a megszámlálható végtelen halmaz létezését. Ez az omega halmaz, ennek a számosságát jelöljük alefnull-lal.
Nem egészen. A végtelen halmaz, amit az axióma biztosít, nem feltétlenül az omega. Ellenben ha már tudjuk, hogy végtelen halmaz létezik, akkor ebből kiindulva definiálható az omega, amiről bizonyítható, hogy a legkisebb végtelen számosság (speciálisan végtelen halmaz).
2. A ZFC-ben definált hatványhalmaz művelettel definiálhatjuk az omega halmaz hatványhalmazát, ennek a számossát nevezzük kontinuum számosságnak.
Igy van.
3. Ha ZFC-hez a kontinuum hipotézist vesszük hozzá, akkor omega számossága után a kontinuum számosság következik. Ebben az esetben a kontinuum számosság rákövetkező számosság.
Igy van.
4. Ha viszont ZFC-hez a kontinuum hipotézis tagadását vesszük hozzá, akkor az alefnulla és a kontinuum számosság között végtelen sok számosság lehetséges, de ebben az esetben ezeket a köztes számosságokat reprezentáló halmazokat nem tudjuk megkonstruálni úgy, mint ahogy a kontinuum számosságú halmazt megkonstruáltuk omega hatványhalmazaként. Ebben az esetben a kontinuum számosság ugyanúgy limesz számosság, mint alefnull.
Nem feltétlenül. A kontinuum-hipotézis tagadásával megfér az az állítás, hogy a kontinuum a tizenhetedik végtelen számosság legyen. Ebben az esetben a kontinuum továbbra is rákövetkező számosság, csak nem a második, hanem a tizenhetedik a sorban. Továbbá lehet a kontinuum úgy is rákövetkező számosság, hogy végtelen sok végtelen számosság van előtte. Az, hogy a kontinuum melyik alef lehet és melyik nem (magyarán a sorban melyik a kontinuum), az mély vizsgálatok tárgya jelenleg is. Sok tétel van. Továbbá a "megkonstruálás" elég szubjektív fogalom, főleg a halmazelméletben. Vannak definíciók és tételek, amik bizonyos halmazok létezését biztosítják, ennyi. A rákövetkező számosság ugyanúgy tekinthető konstrukciónak, mint a hatványhalmaz számossága, és viszont.
Segítséget, matematikus gondolatokat kérek az alábbi adatbázis filozófia támogatására, vagy elvetésére :)(
A valós világ egyedek, tulajdonságok és kapcsolatai segítségével leírható. Egyed:a vizsgálatunk tárgyát képező adatmodell-egyed az a való világ egyedének (objektumának) tulajdonságokkal leírt példánya, más szóval egy cél által irányított aspektusból készült vetülete. Tulajdonság: olyan elemi objektum leírás ,ami az objektumról állít egy kategóriát és megadja ennek a kategóriának az értékét. Pl a szine: piros Értelmes , egységes gondolatot (itéletet, mondatot) csak a kölcsönös függésben lévő egyed és a tulajdonság együttesen jelent, ahol az egyed az alany és ahol a tulajdonság(ok) az állítmány(ok). Ha a szín tulajdonság definiciója a cél az adatmodellünk számára, akkor a SZIN objektumhoz rendelhetünk pl hullámfrekvencia frekvencia tartományt , egy megnevezést , egy adattípust más szóval tulajdonságokat. (Halassy Béla adatmodell gondolataira támaszkodtam)
Bebizonyítható ?
1.Tulajdonságok leírhatók a tulajdonságok leíró, tulajdonságleíró-tulajdonságok segítségével?
2 Az egyedek leírhatók a tulajdonságaik segítségével ? 3 Az egyedek közötti kapcsolat leírható, az egyed közötti kapcsolatleíró tulajdonságaik segítségével?
Gondolatok a bizonyításhoz:
Egy halmaz legelemibb egyedét tekintsünk, olyan objektumnak, aminek 3 elemi tulajdonsága van: - egyediséget kölcsönző tulajdonsága (ID) - az adott egyedre jellemző tulajdonsága (attributum) - az adott egyedre jellemző tulajdonság értékre. (value) Ez a 3 tulajdonság egymástól el nem választható (elméletem szerint ezen a szinten)
-Ebben az esetben az adatmodell egyed, egy véges számú tulajdonsággal leírható objektum ,ahol az egyedet az azonos ID elemi objektum sorok alkotják. Egy példával élve :egy mértani alakzatot is olyan pontok alkotják, ahol egy pontnak 3 tulajdonsága van (X, Y + egy síkazonosító) -Szerintem egy valós objektum úgy aránylik adatmodell vetületéhez, mint a valós objektum tulajdonság számossága az objektum modell tulajdonság számosságához. Más szóval egy mértani négyzet végtelen pontból áll. Egy valós objektum is végtelen tulajdonságból áll. Az adatmodellünk,ebből csak véges számú tulajdonságot tárol éppen annyit, ami céljához kell. Pl egy három szöghöz 3 pontot, vagy alapot& hozzátartozó magasságot. Itt is érvényesül a szent háromság (ezzel az univerzális adatmodellel tárolható): háromszöget azonosító ID , tulajdonság és ahhoz tartozó érték. -Ha a tulajdonságra, mint olyan egyedre tekintünk, amit éppen meg akarok határozni, akkor a 2. bizonyítás érvényes rá. -Ha az egyedek közötti kapcsolatra tekintek ,akkor erre a kapcsolatra (mint tulajdonságra) érvényes a 1. és a 3. bizonyítás.
Didaktikai szempontból (és/vagy a bizonyítást segítve) 4 db táblázatottal leírtam az adatmodellemmel néhány elemi halmazmüveletet eredményét. (unio,metszet, különbség)
A kiindulási állapotban A halmaz (1,2,3) elemet,B halmaz (23) elemet és a 4.es elem mind két halmazhoz tartozik.
Start állapot AUB (A&B halmaz unio) AMB (A&B halmaz metszete) AB (A különbség halmaz B) id attributtum value id attributum value id attribut value id attributum value 1 számosság 1 1 számosság 1 4 számosság 1 1 számosság 1 1 A halmaz része igen 1 A halmaz része igen 4 B halmaz része igen 1 A halmaz része igen 2 számosság 1 2 számosság 1 4 A halmaz része igen 2 számosság 1 2 A halmaz része igen 2 A halmaz része igen 2 A halmaz része igen 3 számosság 1 3 számosság 1 3 számosság 1 3 A halmaz része igen 3 A halmaz része igen 3 A halmaz része igen 4 számosság 1 4 számosság 1 4 B halmaz része igen 4 B halmaz része igen 4 A halmaz része igen 4 A halmaz része igen 23 számosság 1 23 számosság 1 23 B halmaz rész igen 23 B halmaz rész igen
Arra gondoltam,hogy ha az adatmodellel (2 db tulajdonságával) bizonyítható /belátható az elemi halmazműveletek helyessége, akkor az adatmodell tulajdonságainak kiterjesztésével más műveletvégzéssel + megszorításokkal és + protokolokkal + stb igaz és helyes lehet.
Előre is köszönöm gondolatotokat. Természetesen ha az adatmodell matematikai támogatása szakmailag vállalható munka, akkor annak kompenzálására számíthatok.
Ezzel a definícióval azért mégis bajok vannak, hiszen egy végtelen halmaz hatványhalmazának a számossága nem egyértelmű.
A definícióval semmi baj sincs, ez inkább a világ (pontosabban a ZFC) problémája. Az, hogy egy végtelen halmaz hatványhalmazának a számossága nem egyértelmű, csupán a kontinuum-hipotézis egy másik megfogalmazása szavakban. Pl. a kontinuum lehet az omega rákövetkező számossága, de lehet az omega utáni tizenhetedik számosság is. Ez pedig annyit jelent - a metamatematikától és a filozófiától eltekintve - hogy a ZFC egyes modelljeiben a kontinuum az omega rákövetkező számossága, míg más modellekben az omega utáni tizenhetedik számosság. Ettől még a kontinuum definíciója teljesen korrekt: az omega részhalmazai halmazának a számossága. A kontinuum csak annyira nem egyértelmű, amennyire az omega, vagy a teljes halmazelmélet nem az. Igen, több modellje van a ZFC-nek, és egyes állítások (az ún. gödeli mondatok) tekintetében nincs egyetértés a modellek között. A kontinuum-hipotézis pontosan egy ilyen állítás.
1. A ZFC-beli végtelenségi axióma biztosítja a megszámlálható végtelen halmaz létezését. Ez az omega halmaz, ennek a számosságát jelöljük alefnull-lal.
2. A ZFC-ben definált hatványhalmaz művelettel definiálhatjuk az omega halmaz hatványhalmazát, ennek a számossát nevezzük kontinuum számosságnak.
3. Ha ZFC-hez a kontinuum hipotézist vesszük hozzá, akkor omega számossága után a kontinuum számosság következik. Ebben az esetben a kontinuum számosság rákövetkező számosság.
4. Ha viszont ZFC-hez a kontinuum hipotézis tagadását vesszük hozzá, akkor az alefnulla és a kontinuum számosság között végtelen sok számosság lehetséges, de ebben az esetben ezeket a köztes számosságokat reprezentáló halmazokat nem tudjuk megkonstruálni úgy, mint ahogy a kontinuum számosságú halmazt megkonstruáltuk omega hatványhalmazaként. Ebben az esetben a kontinuum számosság ugyanúgy limesz számosság, mint alefnull.
"A kontinuum definíció szerint az omega hatványhalmazának a számossága,"
Ezzel a definícióval azért mégis bajok vannak, hiszen egy végtelen halmaz hatványhalmazának a számossága nem egyértelmű.
(Csirmáz: http://www.renyi.hu/~csirmaz/shelah/sh.pdf ) "A forszolas megjelenese utan nagyon hamar kiderult, hogy az altalanostott kontinuum hipotezis nagyon fuggetlen," nehany termeszetes megszortastol eltekintve majdnem tetsz}olegesen el}orhatjuk 2^omega erteket."
Ha a kontinuum hipotézis tagadását hozzávesszük ZFC-hez, akkor abból még nem következik a kontinuum számosság helye a számosságok rendszerében? Fel kell venni pluszban egy önkényes definíciót, ami a kontinuum számosság létezését rögzíti?
Mivel nincs legnagyobb számosság és rendszámok bármely osztályában van legkisebb elem ezért egy kappa számosság rákövetkezője, a kappánál nagyobb számosságok legkisebbikeként képezhető.
Ezt nem értem. A kontinuum definíció szerint az omega hatványhalmazának a számossága, tehát egy lépésben ott vagy a kontinuumnál. Ez független a kontinuum-hipotézistől, hiszen ez egy definíció. A kontinuum-hipotézis arról szól, hogy az omega és a kontinuum között nincs más számosság.
Ha rákövetkező számosságokra gondolsz (hatványképzés helyett), akkor konzisztens ZFC-vel, hogy egy csomó számosság legyen az omega és a kontinuum között, vagy bármilyen végtelen halmaz és a hatványszámossága között. Erről egy szakértő többet tudna mondani.
Mi van akkor, ha ZFC-hez a kontinuum-hipotézis tagadását vesszük hozzá következő axiómaként? Bebizonyítható akkor az, hogy a hatványhalmazképzés rekurzív alkalmazásával egyszer elérjük a kontinuum számosságot?
