A kísérleti körülményeken múlik, hogy melyik a helyes eredmény, illetve, hogy a helyes eredmény egyáltalán a felsorolt 3 között van-e, ugyanis a húr "véletlenszerű berajzolása" még nem határozza meg a valószínűség eloszlását. Bár az ember hajlamos azt hinni, hogy meghatározza (hiszen "egyenletes"), de ez mégsem igaz, ugyanis nincs tisztázva, hogy milyen tartományon egyenletes! Márpedig az egyenletesség megváltozhat, amikor áttérünk egyik tartományról egy másikra, még ha a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű is!
Konkrétan pl. a húr középpontja egyértelműen meghatározza a végpontjait, és viszont, a valószínűségre mégis mást kapunk (1/4 és 1/3). Fizikailag ez úgy lehetséges, hogy amikor egy adott módszerrel úgymond véletlenszerűen kiválasztunk egy húrt, akkor kényszerfeltételeket is érvényesítünk, és ez befolyásolja a valószínűségeket.
A legtisztább kísérleti szituáció az, amikor a húrnak a kör középpontjától mért távolságát választjuk ki egyenletes valószínűséggel (p=1/2), ugyanis ez analóg azzal az esettel, amikor végtelen hosszú egyenesre dobjuk rá a kört.
Ha a kísérlet során úgy akarunk eljárni, hogy a húr középpontja az R/2 sugarú tartományon belülre essen (p=1/4), akkor ez egy kényszert jelent a húrnak a kör középpontjától mért távolsága és a húr iránya között, másszóval az ilyen választásnál már nem lesz igaz, hogy a távolság és az irány egymástól függetlenek.
Akkor is kényszert vezetünk be, amikor a húr egyik (rögzített) végpontjához keressük a másikat a körön (p=1/3), ugyanis a távolságok és a szögek itt sem függetlenek.
Megjegyzés I:
Az első esetben (p=1/2) is használunk egy kényszert, ti. rögzítettük az egyenes (avagy húr) irányát. Ez akkor befolyásolja a valószínűséget, ha a különböző irányok nem szimmetrikusak.
Megjegyzés II:
A forgatásos (3.) és az eltolásos (1.) eset azonos eredményre vezet (p=1/2), ha az egyenest egy végtelen távoli pontja körül forgatjuk.
Igen, arra nagyon gyorsan rávilágít a módszer, hogy a racionális számok halmazának a mértéke korlátos - szemben a valós számokéval.
Az is egyből belátható, hogy bármely előre rögzített véges számnál is kisebb, hiszen elég annak felénél kisebb számmal indítani lefedő intervallumok hosszát.
Az eszrevetel jogos,de a lenyeg nem ebben van,hanem abban,hogy a keletkezo halmaz veges merteku,ami nem fedhet le egy vegtelen merteku halmazt.Az osszhosszusagot a leheto
legkenyelmesebb modon szamoltam.
A intervallumsorozatod összhosszúsága nyilván csak akkor lenne biztosan 2, ha az intervallumok nem fednék át egymást. Dehát miért ne fednék át, ha pl. a q1 szám 1/2 sugarú körzetén belül is vannak racionális számok? Szóval szerintem az összhosszúság kevesebb is lehet 2-nél (1-nél már nem) (:-))).
Tekintsuk a valos szamegyenest.Szedjuk sorozatba
a racionalis szamokat (q1,q2,q3,q4,....).Minden
racionalis szamra tegyunk egy (nyilt) intervallumot a kovetkezokeppen:az intrevallum
kozepe legyen az adott racionalis szam,es az intervallum hossza pl.q1 eseten legyen 1 hosszusagu,q2 eseten 1/2 hosszusagu,q3eseten 1/8
hosszusagu es igy tovabb....
Igy mertekelmeleti megfontolasokbol azonnal,kovetkezik,hogy nem fedtuk le az egesz szamegyenest (hiszen a konstrualt intervallumsorozat osszhusszusaga 2).
Lehetne-e maskepp (szebben) belatni,hogy igy nem tudunk minden valos szamot lefedni?
"HA az igaz, hogy a 0-ák és az 1-esek minden 0,-val kezdődő kombinációja előfordulhat"
Persze hogy igaz. Gondolj úgy rá, hogy a pont "megmaradt" = "minden lépésben megmaradt". Tehát az első lépésben vagy balra vagy jobbra van. Innen kezdve meg rekurzívan ugyanígy (hisz az a fele maga is egy Cantor halmaz, teljes összhangban azzal, hogy a Hilbert kocka pl. x1=0 síkja maga is egy Hilbert kocka). Tehát minden további lépésben is vagy a bal vagy a jobb szélső kis intervallum lesz választva, 0 vagy 1, fej vagy írás (lépésszám=az intervallumhossz negatív logaritmusa :-).
Azt hiszem, ez remek példa arra, hogy hogyan érdemes fogalmakat összekapcsolni.
A Cantor halmaz "természetes" topológiája ugyanaz, mint a Hilbert kockáé, így ha a a Cantor halmaz topológiáját akarja az ember nézni, akkor a Hilbert-kockára érdemes gondolni, ha meg a mértéket, függetlenséget stb., akkor a végtelen fej-írás sorozatra érdemes gondolni. Sőt, ha a rendezését akarom megérteni, akkor a [0,1] intervallumra gondolok, de úgy, "ahogy ott van", és nem a tizedes vagy milyen jegyek szerinti képére. A végpontok (páronként összeragasztva a megfelelőket, vagy ami ugyanaz, az elhagyott nyílt szakaszok) úgy vannak rendezve, mint a racionális számok, a másodfajú pontok pedig, mint az irracionális számok.
Köszönöm, mostmár értem. Szóval előbb az utolsó egyeseket kicseréljük az utána következő helytől végtelenül sorjázó 2-esekre, majd pedig az összes 2-est 1-esre. HA az igaz, hogy a 0-ák és az 1-esek minden 0,-val kezdődő kombinációja előfordulhat, akkor ezzel tényleg leképeztük a Cantor-halmazt a [0,1] intervallumra.
De az eredeti probléma továbbra is megmarad, ti. kontinuum számosságú halmazoknál hiába találunk kölcsönösen egyértelmű megfelelést (amelynek létezését az azonos számosság garantálja), a leképezés módjától függően a mérték akárhogy megváltozhat.
Hi, Nereida!
Ami a kapaszkodást illeti, én írtam írtam be előbb az R-t, és remélem elhiszed, hogy közben nem gyűrűre gondoltam (62). Viszont mért írod, hogy a kocka más interpretáció, mint a Lebesgue-mérték. Ugyanazzal a Bernoulli-sorozattal választod ki a kocka csúcsát, amivel a diadikus valós számot. Ez a meggyőzős változat. A tekintélyelvű: P. Halmos, Measure Theory. Springer Verlag. p. 159. (It is possible to use the theory of product spaces to give a completely non topological construction of Lebesgue measure on the real line…)
Hi, Feelgood!
Itt a hangsúly azon van, hogy van olyan felírás. És amikor először elhangzott, akkor a hangsúly nem lett kitéve. Ez azért nagyon nem ugyanaz.
Bizonyos számnak kétféle felírása is lehetséges 3-as
számrendszerben, pl. 0,1=0,0222..., ez okozta a
félreértést. (számelmélet topic befigyel :)))
Ha a 0-kkal és 2-esekkel felírható számokat nézzük, az éppen a Cantor-halmaz lesz.
Amikor végtelen sok 2-esre végződik egy szám, akkor persze van 1-es-es (de szép szó :))
reprezentációja is, de ettől még tisztességes Cantor-halmazbeli szám.
Ezt most hirtelen nem látom be miért lenne igaz, hiszen:
- az 1/3 benne van a Cantor-halmazban,
- és harmados törtként is benne van az 1-es számjegy ("0.1"). Mit értek rosszul?
Szvsz úgy kell érteni, hogy vagy nincs benne 1, vagy ha mégis van, akkor utána már csak 0-k lehetnek. Utóbbi esetben viszont van alternatív felírás, amiben nincs egyes. (Pl. 0.1 = 0.0222...)
A valószínűséget tényleg eloszthatjuk az általad jelzett módon, és még alighanem az is igaz, hogy ennél az eloszlásnál a Cantor-halmaz tetszőleges olyan részének a valószínűsége is könnyen megállapítható, amely (nem túl sok) intervallum által lefedett.
Az általam leírt módszerrel szemben itt az egyes pontok valószínűsége nulla, de tartományokat jól tudunk mérni.
A folytatásban írod, hogy:
"Ugye a Cantor-halmaz elemei azok a számok, amelyek harmadostört felírásában nincs 1-es. ..."
Ezt most hirtelen nem látom be miért lenne igaz, hiszen:
- az 1/3 benne van a Cantor-halmazban,
- és harmados törtként is benne van az 1-es számjegy ("0.1"). Mit értek rosszul?
Függetlenül az előbbi kérdéstől, ha a Cantor-halmazt át is tudjuk vinni egy intervallumba (amit kényelmesen tudunk mérni), ezen hozzárendelés jogosságát meg kell tudnunk magyarázni.
Rövid akartam lenni, oszt' sikerült is, mi? A Cantor-halmazon nyilvánvaló módon lehet egy mértéket definiálni: az első lépésben kapott két félintervallum kapjon 1/2-1/2 mértéket, a második lépésben azok két fele is kapjon 1/4-1/4-et, a szimmetriamegfontolások alapján, és így tovább. Amit kapunk, ugyanaz lesz mint {0,1}^\omega. Sőt, mondok jobbat. Ugye a Cantor-halmaz elemei azok a számok, amelyek harmadostört felírásában nincs 1-es. Cseréljük ki a kettes számjegyeket egyesekre, ezzel egy kettedestörtet kapunk. Ez a leképezés a Cantor-halmazt a [0,1] intervallumba viszi, miközben fellép ugyanaz az azonosítás mint a másik példánál, és a mérték, kapaszkodjatok meg, a Lebesgue-mérték lesz.
Ja és persze minden egyes pont valószínűsége nulla, ahogy az illik.
Tényleg csak megszámláható sokat ad ki, de amelyeket nem ad ki, azokhoz nyilvánvalóan a 0 valószínűség lesz hozzárendelve, úgyhogy gond egy szál se. Hiszen a kérdés az volt, hogy ezen a halmazon hogyan értelmezzünk egy hasznavehető valószínűségi eloszlást, ha egyszer a nullmértékűség miatt nem alapozhatunk a mértékre!
Ráadásul a példám olyan, amely kísérletileg is egyszerűen megvalósítható, szóval tudunk olyan esetet mondani, amikor a(z objektív) valószínűségek pont a leírtak szerintiek lesznek!
Írod:
"Az igazi egy olyan lenne, amiben egyik pontnak sincs pozitív súlya."
Ez nyilván sokkal nehezebb lenne. De tegyük fel, hogy sikerült ilyen mértéket találni! Na most önmagában az, hogy volna egy ilyen mérték, még nem jelentené azt, hogy helyesen írja le a valószínűséget! Hiszen a példám szerint van másfajta, de a valóságnak adott esetben megfelelő valószínűségi eloszlás.
Szóval, ha konstruálunk egy olyan valószínűségi eloszlást, amelynél a Cantor-halmaz egyetlen pontjának sincs pozitív súlya (miközben a halmaz egészéé mégis 1), akkor jó volna egy valóságos modellt is alkotni hozzá, amely képes produkálni azt a bizonyos valószínűségi eloszlást, különben az egész teljesen irreális (és hasznavehetetlen) is lehet.
Azt hiszem, így már messze nem olyan triviális a dolog(mármint hogy semelyik pontnak sincs pozitív súlya).
Most képtelen vagyok pontosan végiggondolni, de
szerintem a Hausdorff-mértékkel működik a dolog.
Ha mégis van valami triviális is, akkor bocs.
Csak megszámlálható sok pontot ad ki, nem?
Másodfajúból meg kontinuum-sok van, szóval elég keveset ad ki.
Az igazi egy olyan lenne, amiben egyik pontnak sincs pozitív súlya.
A végén leírt programod mostohán bánik a másodfajú pontokkal (amik nem végpontok)! Persze szíve joga. Koncentrálhatná az egész tömeget az 1 pontba. Úgy egyszerűbb megírni :-)))
Szerinted itt mennyiben jogos a Cantor-halmaz azonosítása egy másik (nem nullmértékű) halmazzal, ha egyszer kontinuum számosságú halmazoknál még a kölcsönösen egyértelmű megfelelés SEM elegendő ahhoz, hogy a valószínűség eloszlása ugyanaz legyen?
Mert szerintem nem nagyon. Az ilyen azonosítás mindaddig önkényes (és csak az önkényünket fejezi ki), amíg nem tudjuk visszavezetni valamilyen "fizikai" körülményre.
Az érem másik oldala, hogy NEM is szükséges mérhető halmazzal azonosítanunk a Cantor-féle halmazt ahhoz, hogy valamilyen önkényes valószínűségeket rendeljünk az elemeihez, ugyanis:
A Cantor-halmazt eredményező kivágásoknál mindig megduplázódik az intervallumok végpontjainak a száma, amely végpontokról tudjuk, hogy a halmaz részei lesznek, ezért az újonnan keletkezett végpontokhoz önkényesen hozzárendelhetjük a következő valószínűségeket:
kiinduló szakasz végpontjaihoz: 1/4 (2 db)
1. kivágásnál keletkező végpontokhoz: 1/8 (2 db)
2. kivágásnál keletkező végpontokhoz: 1/32 (4 db)
3. kivágásnál keletkező végpontokhoz: 1/128 (8 db)
stb.
A szabály az, hogy a valószínűségeket negyedeljük, így a végpontok számának duplázódása ellenére is feleződik az "újonnan kiosztott" valószínűség. Vagyis ezzel a módszerrel a Cantor-halmazhoz végül is a megkívánt 1/2+1/4+1/8+1/16+... = 1 értéket rendeljük hozzá. A halmaz bármely megadott pontjáról megmondhatjuk, hogy mekkora a valószínűsége, így azt is, hogy az azokból képezett részhalmazoké mennyi.
Természetesen a valószínűség előbbi elosztása _önkényes_, ezért nem feltétlenül felel meg a valóságnak. Mindazonáltal lehet ilyen is a valóság, hiszen tekintsük pl. a következőt:
A feladat legyen az, hogy egy program véletlenszerűen kiválassza a Cantor-halmaz valamelyik pontját. A program meg működjön úgy, hogy első lépésként 1/4 valószínűséggel válassza ki a kiinduló szakasz végpontjait, ha pedig azok nem kerültek kiválasztásra, akkor vágja ki a szakasz közepét, majd 1/8 valószínűséggel válassza ki a keletkezett 2 új végpont valamelyikét. Ha ezek sem lettek kiválasztva, akkor térjen rá a következő kivágásra, stb.
megmondhatjuk: a Cantor-halmaz azonosítható a {0,1}^\omega-val,
az (1/2,1/2) eloszlás hatványával, bár közben megszámlálható sok pont duplán számolódik, de ez úgysem számít a mérték (valószínűség) és mérhető halmazok (események) szempontjából.
Remélhetőleg nem. Hiszen korábban is az volt az véleményem, ami most. Csupán igyekeztem kissé más oldalról is megvilágítani, hogy a valószínűség az a fizikai körülményeken (szimmetriákon) alapul, és nem a mi rá vonatkozó önkényes feltevésünkön. (Ez utóbbi nem a valószínűség, csak a valószínűség becslése volna.) A valószínűséggel kapcsolatban csak a kiinduló fizikai helyzetre vonatkozóan tehetünk feltevéseket, vagyis azt a kísérletet definiálhatjuk, amelyre érvényes az adott valószínűség.
Hozok egy még újabb példát (hiába, szeretem a példákat (:-)))...). Egy társaságban a szokásos véletlenszerűséggel dobáljunk fel egy szabályos alakú dobókockát, miután megszavaztattuk az embereket, hogy mekkora a valószínűsége az 5-ösnek. Akik a kiinduló helyzetet nem eléggé jól ismerik, vagy tetszőleges egyéb önkényes okból, alighanem az 1/6-od valószínűséget tartják majd igaznak. De vajon igaz-e, ha a 2-es helyén is az 5-ös számjegy van? (A többi számjegy rendben.)
Végül felvetek egy újabb (Cantor-féle) problémát:
Vegyük a [0,1] (zárt) intervallumot, amelynek kivágjuk a közepét, így visszamarad 2 intervallum: [0,1/3] , [2/3,1]. Következő lépésként a kapott intervallumok közepét is kivágjuk, és kapunk 4 intervallumot: [0,1/9], [2/9,3/9], [6/9,7/9], [8/9,1]. Az intervallumok összes hosszúsága minden lépéskor a 2/3-adára csökken, így ha az eljárást vég nélkül folytathatjuk, akkor a maradék hossza kisebb lesz tetszőleges előre rögzített véges számnál. Teszi ezt úgy, hogy közben egyre több pontról (pl. az intervallumok végpontjairól) tudjuk belátni, hogy végeredményben is a maradék része marad! Sőt, még az is bizonyítható, hogy a nullmértékű maradék pontjainak a számossága kontinuum.
Na most az előbbi Cantor-halmaz egyes pontjait kiválaszthatjuk valamilyen véletlentől is függő eljárással. Meg tudjuk-e hát mondani, hogy a Cantor-halmaz különféle részhalmazai kiválasztásának mi a valószínűsége? (Mi kell ahhoz, hogy megmondhassuk?)
Írod:
"... Mindketten csupán kifejezéseken lovagolunk, csak szerintem úgy kell lovagolni, ahogy én csinálom :-)) "
Éppen azért vetettem fel "a húrproblémát", hogy ne kifejezéseken lovagoljunk, hanem a valószínűség jelentéséhez kerüljünk közelebb.
Írod:
"A Bertrand-paradoxonról: ugye különböző értékeket ki lehet hozni. Ez amiatt van, hogy a feladatban szereplő "véletlenszerűen" szó önmagában nem mond semmit, mindig meg kell mondani, hogy milyen eloszlás szerint. Én is mindig törekedni szoktam arra, hogy még ha a szövegkörnyezetből egyértelmű is, kitegyem elé az "egyenletes eloszlás szerint" kifejezést(már amikor arról van szó). A húrokról többféle eloszlás elképzelhető ép ésszel, ez okozza a galibát. "
Amíg nem ismerjük pontosan a valószínűség eloszlását (pl. hogy hol is van az az egyenletes eloszlás) addig a valószínűségi mező megállapítása sem egyértelmű. A galibát szerintem nem az okozza, hogy "A húrokról többféle eloszlás is képzelhető ép ésszel", hanem hogy a valóságban is többféle lehet, beleértve azt a lehetőséget is, hogy egyszer ilyen, máskor meg olyan! (Vagyis a kísérlet leírása nem elég pontos.)
A fizikai körülmények (a szimmetriákat is beleértve) meghatározzák, hogy adott esetben mi a helyzet, csak mi nem feltétlenül ismerjük elég jól, így tévedésben lehetünk a valószínűség tényleges eloszlására nézve.
Írod:
"-a valószínűségi mező, mint absztrakt konstrukció megválasztása önkényes "
Attól függ, hogy a valóságos esetet jellemző valószínűségi mezőről beszélsz, vagy a Te feltételezésedről. Ez utóbbi tényleg önkényes, az előbbi nem annyira.
Folytatod:
"-hogy a gyakorlatban ezek közül melyiket használjuk, az már nem teljesen az, mivel ebben befolyásolnak észérvek, tapasztalat, etc."
Persze, hiszen a feltételezéseink nem mindegyike felel meg a valóságnak.
Folytatod:
"-és ami a legfontosabb: akármelyiket is használjuk és akármilyen körültekintően is választottuk, nincs rá SEMMI GARANCIA, hogy az a gyakorlatban is így lesz. "
Arra sincs totális garancia, hogy a következő pillanatban nem semmisül meg az Univerzum mindenestül.
Ezért a legfontosabb szerintem nem az, hogy "bármi megeshet", hanem hogy szemlátomást nem esik meg bármi. Ez teszi értelmessé az okok és körülmények keresését, amelyek meghatározni hivatottak a többesélyes események valószínűségeit, illetve annak eloszlását.
Konklúzió: attól, hogy mi sokféle valószínűségi mezőt ki tudunk találni, még nem következik, hogy igazak lesznek egy adott esetre. De a körülmények megismerése hozzásegíthet ahhoz, hogy rátaláljunk a valóságot jellemző(k)re.
