Keresés

Részletes keresés

Aurora11 Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58604

Csak itt a távolság egy vektornak a hossza. Viszont a koordináták maguk vektorok, és emiatt a metrikus tenzornak egy kétindexes tenzornak kell lennie, vagyis mátrix reprezentálja. Különben a koordinavektorok skaláris szorzata nem müködne.

r=gij xixj

ez az xi és xj skaláris szorzata. Ez 3D-ben Euklideszi metrikában

r=x2+y2+z2

Ekkor a metrikus tenzor 3D-s diagonláis mátrix, aminek diagonális elemei:

g11=1,g22=1,g33=1

 

A 4D-s Minkovsky térben:

r=c2t2-x2-y2-z2

Ekkor a metrikus tenzor 4D.s diagonális mátrix, aminek diagonális elemei:

g00=1,g11=-1,g22=-1,g33=-1

 

Gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben a metrikus tenzor sokkal bonyolultabb, és helyfüggő lehet(ez jelenti azt, hogy lokális), általában nem diagonális mátrix reprezentálja.

 

Szóval a metrikus tenzor nem függvény, hanem tenzor, mert mátrix-szal reprezentálható.

 

 

Előzmény: Törölt nick (58602)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58601

Kedves Privatti!

 

Nagyon sok féle tenzor van. A metrikus tenzor a vektortér metrikáját fejezi ki. A relativitáselméletben a négyesvektorok között vannak felsőindexes négyesvektorok(kovariáns vektor), és alsóindexes négyesvektorok (kontravariáns négyesvektor). Egyik indexelésből a másikba úgy lehet átlépni, hogyha a mezrikus tenzorral szórozzuk. Inerciarendszerben ez nagyon egyszerű, így nincs túl nagy különbség a kovariáns és kontravariáns vektoralak között (pusztán hogy a térszerű komponensek pozitív vagy negatív előjellel van véve), de gyorsuló inerciarendszerben már jelentős eltérés lehet közöttk, mert ekkor a metrikus tenzor nagyon bonyolult lehet.

Előzmény: Törölt nick (58590)
ivivan Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58596
"már az általános iskolában tanítják."

Hát speci én csak egyetemen tanultam a mátrixokat, a mátrix szorzást és így tovább. Márpedig nekem igazából valami mátrixosdinak tűnik ez a tenzor dolog, de az igazat megvallva egy kukkot nem értek belőle még mindig, pedig Gergő már legalább 3x próbálta elmagyarázni...

"hiszen drasztikusan lecsökkentené a felesleges levezetősdik számát a mátrixok (determinánsok) rutin szerű alkalmazása."

Ebben biztos vagy? Nekem azt mutatja a tapasztalatom, hogy a mátrixok használata kifejezetten nehezen megy be a többség fejébe, ezért alig hiszem, hogy javítaná a középiskolai tanulást...
Előzmény: Gézoo (58595)
Gézoo Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58595
Kedves Angelica!

Nekem úgy tűnik, hogy a zengzetesen hangzó "metrikus tenzor" kifejezés mögötti általánosítás minden elemét már az általános iskolában tanítják.
Minden szakmának, így a matematikának is előbb-utóbb része lett a misztifikációs törekvések halmaza, ahol a korábban már megismert szabályok által pontosan körülírt kifejezéseknek adunk "menően hangzó" új összefoglaló nevet, különösen akkor ha csupán már a fizikában, mérnöki gyakorlatban sok-sok éve használt fogalmak többszörös újracímkézéséről van szó.
Ilyen az azonos nyomás,- ill. azonos feszültség potenciálú felszínek tenziónak nevezése, majd ennek a tenziónak a tovább misztifikálása tenzor alakra.

Ha nevén nevezzük az egyes eseteket: skalár-skalár; skalár-vektor;vektor-skalár; vektor-vektor; szorzatként, akkor a hallgatóság azonnal érti, hogy milyen műveletekkel, milyen szabályok betartásával, milyen eredményhez jutunk.

A tenzor műveletetek esetében ez nem egyértelmű, csupán az látszik azonnal, hogy minden említett szorzat felírható mátrix alakban is, azaz érvényesek rájuk a mátrixokra érvényes műveleti szabályok, de az már láthatatlan marad, hogy a tenzor emlegetése mögött milyen típusú források és eredmények rejlenek.
Arról már nem is szólva, hogy egyébként a mátrix műveletekkel legalább már középiskolás szinten megismerkedhetnének a gyermekek, hiszen drasztikusan lecsökkentené a felesleges levezetősdik számát a mátrixok (determinánsok) rutin szerű alkalmazása.

Mindezért úgy gondolom, hogy nagy ostobaság lenne, ha a szegény általános iskolás gyerekek tömegét a tenzorokkal terrorizálnánk.
Többségüknek bőven elég baja akad a szimpla alapműveletek elsajátításával is.
Előzmény: Angelica Archangelica (58592)
Nautilus_ Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58594
""lényegében a közönséges szorzás általánosítása":
No, ezért nem értem, hogy miért nem tanítják gimiben, holott már általános iskolában is taníthatnák:))"


A tenzor azért ennél bonyolultabb fogalom: egy multilineáris forma: egy R gyűrű feletti R-modulus, és a duális modulusa elemeit képezi a gyűrűre.

Ha a duális modulus n-esein értelmezzük, akkor azt mondjuk, hogy n-edrendű kontravariáns, ha a modulus m-esein (is, mert lehet vegyes is), akkor m-edrendű kovariáns a tenzor.
Előzmény: Angelica Archangelica (58592)
mmormota Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58593
Ha az eddigi trend folytatódik, inkább a rendes szorzást is kiveszik a tananyagból... :-)
Előzmény: Angelica Archangelica (58592)
Angelica Archangelica Creative Commons License 2010.06.18 0 0 58592
"lényegében a közönséges szorzás általánosítása":
No, ezért nem értem, hogy miért nem tanítják gimiben, holott már általános iskolában is taníthatnák:))
Előzmény: Gergo73 (58591)
Gergo73 Creative Commons License 2010.06.17 0 0 58591
A tenzor egy általános fogalom a lineáris algebrában, lényegében a közönséges szorzás általánosítása. Egy tiszta tenzor az olyasmi, mint "szorozd össze ezeket meg azokat a mennyiségeket". A kevert tenzor pedig tiszta tenzorok összege. A metrikus tenzor azt mondja meg, hogy (egy lokális koordinátarendszerben) hogyan lehet az origótól való (közeli) távolságot megkapni a koordinátákból. Pl. a szokásos síkon Pithagorasz tétele szerint venni kell a két koordináta négyzetösszegét és ez adja a keresett távolság négyzetét: d2=x2+y2. A jobb oldal egy tenzor: x és x szorzata plusz y és y szorzata. Egy általánosabb felületen az x-nek és az y-nak bonyolultabb másodfokú homogén kifejezése adja a távolság négyzetét, továbbá pontról pontra változik, hogy mi ez a kifejezés (a pont környezetében). Ez a metrikus tenzor (két dimenzióban).
Előzmény: Törölt nick (58590)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58589
Nem értem, hogy fizikus szakon miért nem tanítják Bolyai János Appendixét, és Cayley és Klein geometria osztályozását.
Előzmény: 54w (58587)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58588

"(súgva írom, hogy a metrika amiatt jobb szó a többinél, mert egyrészt roppantul kevesen értik, másrészt extra-speciálisan tudományosan hangzik ... )"

 

:)

 

Metrika alatt a metrikus tenzort értem. Ez a speciális relativitáselméletben is előfordul, de ott mindig ugyanaz a diagonális mátrix (1,-1,-1,-1) diagonális elemekkel. Inerciarendszerekben ez mindig ugyanaz. Az általános relativitáselméletben , amikor gyorsuló rendszereket írunk le(és az ekvivalencia elv miatt a gravitációt is így írják le) ez a mátrix nem feltétlenül diagonális, és az egyes mátrixelemeknek van helyfüggésük.

Előzmény: Törölt nick (58585)
54w Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58587
Új szót találtam ki számodra!
Geometrika.

Ez a legtudományosabb, no persze senki sem érti. :))))
Előzmény: Törölt nick (58585)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58586

Kedves Privatti!

 

Geometriát pontosan tudom, hogy micsoda, a topológiába és morfológiába nem nagyon tudom, hogy pontosan mi tartozik.:) Eléggé analízises fogalmak, amit nagyon elfelejtettem.

 

 

Előzmény: Törölt nick (58584)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58583

"Egyszerűen nem pi a kerület és a sugár aránya."

 

Tehát a forgó korong esetére a geometria már nem lesz euklideszi? Landau is ezt írta, csak a kerület és a sugár arányára más értéket írt, ami rossz volt. De az elv, hogy forgatott rendszerben más lesz a geometria úgy látszik helyes.  

Előzmény: mmormota (58581)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58582
Köszönöm szépen, elolvasom! Nem utálom a tenzorokat, tök dekoratívak!:)
Előzmény: mmormota (58581)
mmormota Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58581
"Viszont azt nem értem, hogy a forgó korongon levő megfigyelő hogy lehet, hogy nem nagyob sugarú korongot mér, ha a korong kerülete megnyúlt?"

Egyszerűen nem pi a kerület és a sugár aránya.

Ha a forgó rendszer metrikája bővebben érdekel, nézd meg a linket amit korábban betettem. (csak ha nem utálod a feltétlenül szükségesnél jobban a tenzorokat) :-)
Előzmény: Aurora11 (58580)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.16 0 0 58580

"Nem következik - persze meg kell egyezni, hogyan méri. Ha pl. abban egyeznek meg, hogy az álló korongra ráfestenek egy sugarat még a felpörgetés előtt, majd felpörgetve ennek hosszát méri a forgó megfigyelő, akkor az megegyezik az állóval, hiszen mérőrúd merőleges a mozgásirányra."

 

Igazad van, a forgó megfigyelő a forgó korong kerületére az eredeti sugarat méri, ugyanazt, mint a nyugvó megfigyelő a nyugvó korongra. De a forgó korongon levő megfestett sugaron, ha egy pont végighalad, akkor a nyugvó megfigyelő azt látja, hogy ez a pont görbe vonalíven halad keresztül. Így a forgó megfigyelő felfestett sugarát a nyugvó megfigyelő nem görbének látja?

 

"Hogy még tisztább legyen, képzeld el hogy még álló helyzetben a peremére szögelnek két egyforma méterrudat, de egyiknek mindkét végét, másiknak csak az egyik végét.

Felpörgetik a korongot. Amelyiket csak egyik végénél szögeltek oda, az a relativisztikus kontrakció miatt rövidebb lesz az álló rendszerből nézve. Amelyiknek meg mindkét végét odaszögelték, az nem tud az álló rendszerből nézve rövidebb lenni, mert nem engedi a két szög. Szakad vagy nyúlik.

Egy felülről készült fényképen a két méterrúd nem lesz egyforma.
Az egyik végén szögelt hossza a képen a relativisztikus kontrakciónak megfelelően rövid lesz.
A két szög viszont a másikat nem engedi, emiatt az eredeti hosszúságú lesz (mechanikusan megnyúlt vagy szétszakadt)."

 

Így már értem. Ez pont olyan, mint az űrhajós példa. Vagyis azzal, hogy a forgó és a nyugvó korong fedésbe hozható, ezért ki van kötve az a feltétel, hogy az álló és mozgó rendszerben ugyanaz a kerületük. Viszont ebből az következik, hogy a Lorentz kontrakciót ki kell egyensúlyozni a korong kerületének megnyúlása. Ez eddig tiszta!

 

 

Viszont azt nem értem, hogy a forgó korongon levő megfigyelő hogy lehet, hogy nem nagyob sugarú korongot mér, ha a korong kerülete megnyúlt?

Előzmény: mmormota (58579)
mmormota Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58579
"A nyugvó megfigyelő a forgó korongnak és a mozgó korongnak a kerületét ugyanannyinak méri"

Így van. A két korong fedésbe hozható, nem sok kétség lehet...

"De ebből nem az következik, hogy a nyugvó megfigyelő szemszögéből a forgó megfigyelő nagyobb sugarat mér?"

Nem következik - persze meg kell egyezni, hogyan méri. Ha pl. abban egyeznek meg, hogy az álló korongra ráfestenek egy sugarat még a felpörgetés előtt, majd felpörgetve ennek hosszát méri a forgó megfigyelő, akkor az megegyezik az állóval, hiszen mérőrúd merőleges a mozgásirányra.

"Mert különben nem lehetne érteni azt, hogy a korong megnyúlása és kontrakciója kiegyenlíti egymást."

Ez egy valamilyen anyagból készült reális korong peremének anyagára vonatkozik. Elkészítik, majd megpörgetik, és elérik hogy ne tudjon a sugár megváltozni, se a korong meggörbülni.

A peremnek sebessége van, relativisztikusan rövidebb kellene legyen. De nem tud, mert a fix sugár nem engedi rövidülni. Ezért mechanikusan megnyúlik. Így értettem hogy pont kiegyenlíti egymást.

Hogy még tisztább legyen, képzeld el hogy még álló helyzetben a peremére szögelnek két egyforma méterrudat, de egyiknek mindkét végét, másiknak csak az egyik végét.

Felpörgetik a korongot. Amelyiket csak egyik végénél szögeltek oda, az a relativisztikus kontrakció miatt rövidebb lesz az álló rendszerből nézve. Amelyiknek meg mindkét végét odaszögelték, az nem tud az álló rendszerből nézve rövidebb lenni, mert nem engedi a két szög. Szakad vagy nyúlik.

Egy felülről készült fényképen a két méterrúd nem lesz egyforma.
Az egyik végén szögelt hossza a képen a relativisztikus kontrakciónak megfelelően rövid lesz.
A két szög viszont a másikat nem engedi, emiatt az eredeti hosszúságú lesz (mechanikusan megnyúlt vagy szétszakadt).
Előzmény: Aurora11 (58578)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58578

Szia Mungo!

 

"A lényeg abban a magyarázatban van, hogy a kerület megnyúlása és a kontrakció kiegyenlítik egymást ebben a speciális esetben"

 

A nyugvó megfigyelő a forgó korongnak és a mozgó korongnak a kerületét ugyanannyinak méri. De ebből nem az következik, hogy a nyugvó megfigyelő szemszögéből a forgó megfigyelő  nagyobb sugarat mér? Mert különben nem lehetne érteni azt, hogy a korong megnyúlása és kontrakciója kiegyenlíti egymást.

Előzmény: Mungo (58577)
Mungo Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58577

Azért, mert mi azt látjuk a nyugvó rendszerből, hogy a forgó rendszerbeliek görbe vonal hosszát mérik le sugar gyanánt, mert ami forgó rendszernek egyenesnek számít az a mi rendszerünkből nézve görbe. Ezért a forgó rendszerbeliek mérésére nyugvó rendszerből vizsgálva nagyobb sugarat kapunk, mint amit mi a nyugvó rendszerből mérnénk.
 
Ez zsákutca. mmormota 58553-ben kifejtett magyarázatán kellene egy cseppet elmélkedni.
A "sugár" geometriai fogalom és mindegy, hogy a körlap áll, vagy forog.
A lényeg abban a magyarázatban van, hogy a kerület megnyúlása és a kontrakció kiegyenlítik egymást ebben a speciális esetben

Előzmény: Aurora11 (58576)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58576

Szia Kedves Privatti!

 

Ekkor ezzel lehet magyarázni azt, hogy a nyugvó rendszerből nézve a forgó korongbeliek mérésére nagyobb kerületet kapnánk, mintha a korong kerületét mi mérnénk le a nyugvó rendszerből?

Azért, mert mi azt látjuk a nyugvó rendszerből, hogy a forgó rendszerbeliek görbe vonal hosszát mérik le sugar gyanánt, mert ami forgó rendszernek egyenesnek számít az a mi rendszerünkből nézve görbe. Ezért a forgó rendszerbeliek mérésére nyugvó rendszerből vizsgálva nagyobb sugarat kapunk, mint amit mi a nyugvó rendszerből mérnénk.

Előzmény: Törölt nick (58575)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58574
Igazad volt. Köszi!
Előzmény: mmormota (58571)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58573
Nem lehetséges az, hogy a forgatott rendszerbeli sugár a nyugvó rendszerből nézve egy görbe vonal?
Előzmény: mmormota (58569)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58572

Szia Nmormota!

 

Nagyon szépen köszönöm a segítségedet!:) Nagyon hasznos volt. Szerintem nem maga Landau tévedett, hanem az átfordításnál elírták, és a lektorok nem vették észre.

Előzmény: mmormota (58570)
mmormota Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58571

Ezt találtam itt:

http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch03/ch03.html#Section3.4

 

Ebben is a nagyobb mint 2pi szerepel - ahogy én is gondolom.

 

3.4.4 Einstein's carousel

 

 Non-euclidean geometry observed in the rotating frame


The following example was historically important, because Einstein used it to convince himself that general relativity should be
described by non-Euclidean geometry.8 Its interpretation is also fairly subtle, and the early relativists
had some trouble with it.


Suppose that observer A is on a spinning carousel while observer B stands on the ground.
B says that A is accelerating, but by the equivalence principle A can say that she is at rest in a gravitational field, while B is free-falling out from under her. B measures the radius and circumference of the carousel, and finds that their ratio is 2π. A carries out similar measurements, but when she puts her meter-stick in the azimuthal direction it becomes Lorentz-contracted by the factor γ=(1-ω2r2)-1/2, so she finds that the
ratio is greater than 2π.
In A's coordinates, the spatial geometry is non-Euclidean, and the metric
differs from the Euclidean one found in example 6 on page 85.

 

mmormota Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58570
Remélem hogy segítettem és nem hülyeséget terjesztettem - ez a Landau példa aggaszt.
Jóéjt.
Előzmény: Aurora11 (58568)
mmormota Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58569
"De ebből következik-e az, hogyha az ehez a kerülethez tartozó sugarat leméred akkor az nagyobb, mint a nyugvó korong esetén a sugár(vagyis r)? "

Nem, az nem változik. Legalábbis ahogy én értelmezem:

Mivel itt se árt a szőrözős definíció, a sugarat egy olyan szakasz mentén mérik, amely egy felülről készült pillanatfelvételen az álló K rendszerben egyenes, és a kör közepét a körívvel köti össze, egyszóval sugár az álló rendszerben készült képen.

A szőrözés azért nem árt, mert nem triviális, mi az "egyenes" a forgó korongon.
Inerciarendszerben ilyeneket lehet mondani: "egyenes a fénysugár", meg "két pont közötti legkisebb távolság" pl. A forgó korongon mindkettő necces...
Előzmény: Aurora11 (58567)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58568
Köszönöm az eddigi segítséget! Jó éjszakát!
Előzmény: mmormota (58566)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58567

Igen. Akkor kövessük a Te mérési utasításodat!

"- K nem forgó rendszerben legyártanak egy kellően hosszú szabócentit.
- rajzolnak a földre egy nagy kört
- fölé raknak egy forgó átlátszó lapot
- az átlátszó lapot kényszerítik valahogy hoyg síkban maradjon, nem tud pl. felgörbülni mint egy gömbhéj
- az átlátszó lapra rajzolnak egy akkora kört hogy pont fedésben legyen a földre rajzolt körrel - ez az átlátszó lapon át szépen látszik is
- pár ember felszáll a forgó lapra, viszik az álló rendszerben gyártott centit
- szépen körbe rendezik a centit, nem feszül, nem nyűlik, nem rángatják, hanem elrendezik körben
- az a centin levő szám, ami így körberakva épp a centi nullájához passzol, lesz a forgó rendszerben mért kerület


Na, ez a szám szerintem nagyobb lesz mint 2r*pi."

 

Ebből az következik, hogy amikor a forgó rendszerben mérsz kerületet akkor az 2 pi r-nél nagyobb. De ebből következik-e az, hogyha az ehez a kerülethez tartozó sugarat leméred akkor az nagyobb, mint a nyugvó korong esetén a sugár(vagyis r)?

Előzmény: mmormota (58566)
mmormota Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58566
Az a baj ezzel, hogy a "látjuk" nem jól definiált. Márpedig ezzel vigyázni kell. A specrel inerciarendszereiben Einstein ezt szinkronizált órákkal és sok megfigyelővel szépen definiálta is, úgyhogy ott vita nincs, midnen tiszta és világos.

De a forgó korongnál ez nem megy. Ide is kellene világos definíció, mérési utasítás, mert különben mindenki gondol ami eszébe jut és nem egyről fogunk beszélni.

Ezért írtam pl. a Landau példára egy annyira szőrözős mérési utasítást -ahogy én értem. De Landau nyilván valahogy máshogy értette.
Előzmény: Aurora11 (58562)
Aurora11 Creative Commons License 2010.06.15 0 0 58565
Szerintem nem tévedsz. Nem biztos, hogy az eredeti orosznyelvű Landau  könyvben rosszul van, lehet hogy a magyar fordításban volt a hiba.
Előzmény: mmormota (58564)

Ha kedveled azért, ha nem azért nyomj egy lájkot a Fórumért!