Az SU egy tisztán matematikai fogalom, a "special unitary" rövidítése, magyarul speciális unitér csoport. Ez olyasmi, mint egy euklideszi tér forgatásainak csoportja (ami az SO "special orthogonal" csoport), csak itt nem valós vektorok távolságtartó transzformációiról van szó, hanem komplex vektorokéról. Az SU és az SO példák a Lie-csoportokra, amelyek általános elméletét évtizedekkel azelőtt kidolgozták a matematikusok, hogy a fizikusok használták volna. Erdős egy Gólyavári estén mesélte, hogy Princetonban a 20-as években a csoportelméletet nem vették bele a fizikusok tantervébe, mondván, hogy a csoportelmélet az a tárgy, aminek soha nem lesz a fizikában alkalmazása...
Egyébként kérdezted, mire jók a csoportok. Nos, erre nehéz válaszolni, mert gyakorlatilag nincs matematikai terület, ami ma meg tudna lenni csoportelmélet nélkül. Eredetileg Galois találta ki a csoport fogalmát és a segítségével bizonyította (180 évvel ezelőtt), hogy az ötöd és magasabb fokú algebrai egyenleteknek nincs olyan gyökjeles megoldóképlete, mint amit a másodfokú egyenletekre az iskolában tanulunk (tehát ami az együtthatókból a négy alapművelet és gyökvonások segítségével előállítják a gyököket). Harmad- és negyedfokú egyenletekre van ilyen képlet, de magasabb fokúakra nincs, és ez csoportelmélettel bizonyítható. Elnagyoltan arról van szó, hogy az általános ötödfokú egyenletnek sokkal bonyolultabb a szimmetriacsoportja, mint az általános negyedfokú egyenletnek. Egyébként a matematika talán legismertebb problémája, a Fermat-sejtés megoldása mélyén is mindenféle csoportelmélet található (Galois-csoportok reprezentációi, illetve reduktív algebrai csoportok automorf reprezentációi).
Nem egészen, hanem: A1xA5 az SU(2)xSU(6) gyökrendszere (root system). És nincs mit rajta felbontani, az A1xA5 maga a felbontás, mert A1 és A5 irreducibilis gyökrendszerek. Ha az SU(n+1) Lie-algebrájának felbontására vagy kíváncsi az An-beli gyökök szerint, az teljesen standard, maguk a mátrixkoordináták (az átlón kívüliek) jelölik ki az egyes gyökökhöz tartozó sajátaltereket.
Csoportelméletet már nagyon régen tanultam, és azóta nem foglalkoztam vele, így egykori tudásomnak már csak a töredéke van meg. De nemrég küldtél valami anyagot csoportelméletről, hétvégén áttanulmányozom, és akkor hátha tudok segíteni Neked. De lehet, hogy inkább a "matematika elsősegély" című topikban kellene kérned a segítséget, Matmérnök, Elsőszülött vagy Gergő hátha tudnak segíteni Neked, szerintem Ők matematikusok......
Igen, "perdület", de a "perdület" szót sem klasszikus mechanikai értelemben kell venni, hiszen itt NEM arról van szó, hogy a spinnel rendelkező részecskék "forognak a tengelyük körül".....
Már a SU(6)-nál tartunk? Hiszen még az Univerzum kezdeti időszakában is csak SU(5) volt, amikor a Higgs-bozonok betöltötték rendeltetésüket! A SU(6) "magyarra fordítva" minek felelne meg a részecskefizikában? Ti erről tanultatok valamit?
"ha a térbeli forgatásra szimmetrikus akkor a lendület marad meg. "
perdület marad meg
" Így, ha részecskék spinjeit vizsgáljuk akkor tudjuk, hogy az lendület, így tartozik hozzá a Hamilton operátor (kvantummechanikában már operátor) egy szimmetriája."
Azt kiderítettem, hogy az A1 egyenlő az SU(2)-vel az A5 pedig SU(6)-al.
Vagyis A1xA5 igazából SU(2)xSU(6). Ennek kellene a dekompozicíóját megcsinálni.
Az SU az egy determináns, unitér mátrixoknak a csoportja. Ez a csoport például a spinek leírására használható. Igazából a térbeli forgatásokkal van kapcsolatban. Illetve az izospinek leírásához is.
A csoportelmélet egy nagyon érdekes matematikai témakör, csak annyi elnevezés van, hogy nagyon nehéz megtanulni. De, ha fizikai alkalmazásai által ismerjük meg a csoportelméletet, akkor könnyű magyarra fordítani.
Ha érdekel lehetne erről beszélgetni.
Igazából arról van szó, hogy a klasszikus fizikában megjelent egy olyan tétel, ami szerint minden megmaradó mennyiséghez tartozik egy szimmetria(Noether-tétel). Például, ha a Hamilton függvénynek a térbeli eltolásra szimmetrikus akkor ebből az impulzusmegmaradás következik. Ha időbeli eltolásra szimmetrikus, akkor az energia marad meg, ha a térbeli forgatásra szimmetrikus akkor a lendület marad meg.
Így, ha részecskék spinjeit vizsgáljuk akkor tudjuk, hogy az lendület, így tartozik hozzá a Hamilton operátor (kvantummechanikában már operátor) egy szimmetriája. Ez a spin esetén a 3D-s forgatásra nézve van szimmetria. Így jönnek be a forgáscsoportok, mert a forgatások csoportott alkotnak. A csoport olyan algebrai struktúra, ami pontosan van definiálva, aszerint, hogy a csoport elemei között milyen műveletek(kétváltozós) zártak, illetve legyen asszociatítivitás, inverz elem , egységelem létezése.
Rengeteg fizikai mennyiséghez szintén tartozik valamilyen szimmetria, és azt így már le lehet írni a csoportelemmel. Mert a szimmetriatranszformációk általában csoportott alkotnak.
Igen, csak a gravitációs hullámok kimutatásával is bajba vannak. Talán iszonyatosan nagy gravitációs kollapszusoknak lehetne olyan kövér gravitonjai, amiket lehetne detektálni.
És az égi mechanikát is ezért veszik olyan szigorúan, hiába csodálják még a tanársegéd OKTATÓINK is, hogy Érdi Bálint Professzor Úr az előadásain papírok nélkül, fejből írkálja tele a táblát az égi mechanika egyenleteivel:))
Igen, csak a gravitonokat nem akartam belekeverni a Gravitációelmélet topikomba, de jó lenne, ha sikerülne kimutatni őket, mint a gravitációs kölcsönhatás kvantumait.....
Sajnos ebben a témában nem nagyon tudok nyilatkozni, mert nem nagyon ismerem az áltrelnek azt a jelentős részét amikor gravitációs teret írnak le. Igazából én még a gyorsuló rendszerekre való általánosítással ismerkedem. Ahogy a cikkből olvastam, ez nem az a felcsavarodás, ami a húrelméletnél előfordul, hanem a metrika megváltozása, amit a forgó égitest okoz. Ennek van olyan hatása, amit a "téridő csavaródásaként" interpretálnak.
Amúgy a linearizált Einstein egyenletek a kvantumtérelméletből is kijön. Mert a kettes spinű részecskék téregyenlete pont olyan, mint a linearizált Einstein egyenlet. Innen gondolják, hogy a graviton kettes spinű részecske lenne.
"azok az emberek jutottak eszembe, akiket legegyszerűbb éter-hívőknek nevezni - s akik folyton elbuktak azokon a vitafórumokon, melyeken a "van éter, vagy nincs?" volt a legfőbb vitatéma."
Ezt nem hiszem, mert akkor nem fektetnének dollár milliókat ilyen kísérletsorozat elvégzésébe. Mert ilyen kutatást csak biztos elmélet mellett kezdenek el.
Egyik tanárom mesélte, hogy milyen fontos az, hogy fizikus szakon a diákokat megtanítják számolni. Mert a Nasa egy űrteleszkóp építésébe dollármilliókat is költhet. És a kilővést nem bizhatja a véletlenre, nem mindegy, hogy az űrben milyen pályán halad, és nem-e tér le ettől a pályától. A pályaszámításokra olyan kutatókat biznak meg, akik nemcsak a pályákat számolják ki, hanem a pályák stabilitását, hogyha pici eltérnek a kezdeti feltételek, akkor az űrhajó mennyire tér el az eredeti pályájától. Erre a Nasa nagyon ügyel, mert ha nem vesznek figyelembe minden lehetséget, akkor dollár milliójuk mehet kárba.
Innen gondolom, hogy ebben a gravitációs kisérletben sem mennek véletlenre.
(58605)-ben írtad: "A gravitációs térerősség egy vektortér, de örvénymentes. Emiatt fel lehet írni egy skaláris tér gradienseként.".
(58609)-ben írtad: "Én a Newtoni gravitációs elméletre gondoltam. Itt még szó sincs téridőről. Úgy tudom, hogy a hagyományos általános relativitáselméletben sem csavarodik még a téridő."
Én egy mérési eredményről írtam (gravity probe b). Tehát ahol nem csavarodik, örvénylik, azt az elméletet el lehet felejteni.
A távolság és a metrikus tenzor is függvények, de speciális függvények, ami indokolja a külön elnevezést. A metrikus tenzor azt regisztrálja minden pontban, hogy a környezetében "hogyan viselkedik" a távolság. Pl. egy felületen a metrikus tenzorból ki lehet olvasni, hogyan görbül a felület egy tetszőleges pontban. Persze a globális távolságfüggvényből is ki lehet ezt olvasni, de a metrikus tenzorból jobban. A metrikus tenzor a távolságfüggvény lokális tulajdonságait ragadja meg, és persze a globális távolságfüggvény reprodukálható a metrikus tenzorból.
Olyan ez, mint egy autó sebességének és megtett távolságának a kapcsolata. Ha minden pillanatban tudjuk a megtett távolságot, akkor abból kiszámolható minden pillanatban a sebessége. A pillanatnyi sebesség egy lokális tulajdonság, csak attól függ, hogy az autó az adott pillanat környékén miként mozgott. Másfelől ha minden pillanatban ismerjük az autó sebességét, akkor abból a megtett távolság (mint az idő függvénye) is rekonstruálható.
Én a Newtoni gravitációs elméletre gondoltam. Itt még szó sincs téridőről. Úgy tudom, hogy a hagyományos általános relativitáselméletben sem csavarodik még a téridő.
Csak a húrelmélet magyarázata az, hogy nagyon kis méretekben a 11 D-s téridő fel van csavarodva. De ez egy hipotézis, mint az is, hogy Arisztotelész bevezette a négy elem fogalmát:tűz, víz, levegő,föld. Nagyon hasznos hipotézis mind a kettő, mert akárcsak az Arisztotelészi elmélet, a húrelmélet is elvezethet a helyes elmélet felé.
"Légy szíves írd meg, mit jelent a metrika rövidítés."
A metrika hétköznapi szóhasználatban olyasmit jelent, hogy a térnek milyen a geometriája. Mert a tér nemcsak Euklideszi lehet, hanem lehet hiperbolikus(Bolyai-Lobacsevszkij), elliptikus, és bonyolult osztályozások is vannak, amit még nem értek. Ezekben a geometriában a párhuzamossági axióma másképp van definiálva, mint az Euklidesziben.
Szóval a tér geometriai típusát jellemző fogalom a metrika. Bár ez nem túl szabatos megfogalmazás.
"Másik gondom: Miután úgy tudom, hogy Einstein gravitációs elméletében a gravitációs tér nem vektortér, hanem skalártér, már nem értek semmit, totál összezavarodtam."
A gravitációs térerősség egy vektortér, de örvénymentes. Emiatt fel lehet írni egy skaláris tér gradienseként.
E=-grad (fi) fi(x,y,z) egy skalártér, az E(x,y,z) a gravitációs térerősség. Ha a nehézségi gyorsulásból levonjuk a centrifugális erő gyorsulását(am akkor kapjuk meg a gravitációs térerősséget:
E=g-acf
Vagyis Ex=-d(fi)/dx
Ey=-d(fi)/dy
Ez=-d(fi)/dz
Itt a deriváltak parciális deriváltak.
A fi potenciál ismeretében mindent tudunk a gravitációs térről. De a gravitációs tér egy vektortér! Az elektrosztatikában is vissza lehet vezteni az elektromos térerősséget egy skalár potenciál gradiensére, de ettől még az elektrosztatikus tér egy vektortér.
d2(fi)/dx2+d2(fi)/dy2+d2(fi)/dz2=4 pi gamma ró, ahol ró(x,y,z) a tömegsűrűség, gamma a garvitációs állandó. Ez Poissont egyenlet a fi-re, ró a gravitációs potenciál forrása.
Csak itt a távolság egy vektornak a hossza. Viszont a koordináták maguk vektorok, és emiatt a metrikus tenzornak egy kétindexes tenzornak kell lennie, vagyis mátrix reprezentálja. Különben a koordinavektorok skaláris szorzata nem müködne.
r=gij xixj
ez az xi és xj skaláris szorzata. Ez 3D-ben Euklideszi metrikában
r=x2+y2+z2
Ekkor a metrikus tenzor 3D-s diagonláis mátrix, aminek diagonális elemei:
g11=1,g22=1,g33=1
A 4D-s Minkovsky térben:
r=c2t2-x2-y2-z2
Ekkor a metrikus tenzor 4D.s diagonális mátrix, aminek diagonális elemei:
g00=1,g11=-1,g22=-1,g33=-1
Gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben a metrikus tenzor sokkal bonyolultabb, és helyfüggő lehet(ez jelenti azt, hogy lokális), általában nem diagonális mátrix reprezentálja.
Szóval a metrikus tenzor nem függvény, hanem tenzor, mert mátrix-szal reprezentálható.
Nagyon sok féle tenzor van. A metrikus tenzor a vektortér metrikáját fejezi ki. A relativitáselméletben a négyesvektorok között vannak felsőindexes négyesvektorok(kovariáns vektor), és alsóindexes négyesvektorok (kontravariáns négyesvektor). Egyik indexelésből a másikba úgy lehet átlépni, hogyha a mezrikus tenzorral szórozzuk. Inerciarendszerben ez nagyon egyszerű, így nincs túl nagy különbség a kovariáns és kontravariáns vektoralak között (pusztán hogy a térszerű komponensek pozitív vagy negatív előjellel van véve), de gyorsuló inerciarendszerben már jelentős eltérés lehet közöttk, mert ekkor a metrikus tenzor nagyon bonyolult lehet.
Hát speci én csak egyetemen tanultam a mátrixokat, a mátrix szorzást és így tovább. Márpedig nekem igazából valami mátrixosdinak tűnik ez a tenzor dolog, de az igazat megvallva egy kukkot nem értek belőle még mindig, pedig Gergő már legalább 3x próbálta elmagyarázni...
"hiszen drasztikusan lecsökkentené a felesleges levezetősdik számát a mátrixok (determinánsok) rutin szerű alkalmazása."
Ebben biztos vagy? Nekem azt mutatja a tapasztalatom, hogy a mátrixok használata kifejezetten nehezen megy be a többség fejébe, ezért alig hiszem, hogy javítaná a középiskolai tanulást...
Nekem úgy tűnik, hogy a zengzetesen hangzó "metrikus tenzor" kifejezés mögötti általánosítás minden elemét már az általános iskolában tanítják. Minden szakmának, így a matematikának is előbb-utóbb része lett a misztifikációs törekvések halmaza, ahol a korábban már megismert szabályok által pontosan körülírt kifejezéseknek adunk "menően hangzó" új összefoglaló nevet, különösen akkor ha csupán már a fizikában, mérnöki gyakorlatban sok-sok éve használt fogalmak többszörös újracímkézéséről van szó. Ilyen az azonos nyomás,- ill. azonos feszültség potenciálú felszínek tenziónak nevezése, majd ennek a tenziónak a tovább misztifikálása tenzor alakra.
Ha nevén nevezzük az egyes eseteket: skalár-skalár; skalár-vektor;vektor-skalár; vektor-vektor; szorzatként, akkor a hallgatóság azonnal érti, hogy milyen műveletekkel, milyen szabályok betartásával, milyen eredményhez jutunk.
A tenzor műveletetek esetében ez nem egyértelmű, csupán az látszik azonnal, hogy minden említett szorzat felírható mátrix alakban is, azaz érvényesek rájuk a mátrixokra érvényes műveleti szabályok, de az már láthatatlan marad, hogy a tenzor emlegetése mögött milyen típusú források és eredmények rejlenek. Arról már nem is szólva, hogy egyébként a mátrix műveletekkel legalább már középiskolás szinten megismerkedhetnének a gyermekek, hiszen drasztikusan lecsökkentené a felesleges levezetősdik számát a mátrixok (determinánsok) rutin szerű alkalmazása.
Mindezért úgy gondolom, hogy nagy ostobaság lenne, ha a szegény általános iskolás gyerekek tömegét a tenzorokkal terrorizálnánk. Többségüknek bőven elég baja akad a szimpla alapműveletek elsajátításával is.
