Meggondolatlan kijelentésem kapcsán próbáltam utána nézni különféle forrásokban, interneten, hogy vajon a skalár tekinthető-e egydimenziós vektornak és fordítva. De mintha még a kérdés megfogalmazását is kerülgetné mindenki, mint a forró kását.
Néhány hozzám hasonló meggondolatlan fecsegőtől eltekintve nem találtam erre vonatkozó komoly kinyilatkoztatást.
Se pro se contra.
Ígyhát az olvtársakhoz fordulok: kinek mi a véleménye ezzel kapcsolatosan?
Persze a megalapozott véleményeknek jobban örülnék.
> Igen / nem / kellően laza társalgásban nem ordító hiba / ... / ... vagy mi?
A hármas. (Pl. messze nem olyan rossz, mint pl dy/dx-ben d-vel egyszerűsíteni... na jó, ez tréfa volt)
> > Érdekesebb kérdés pl. ez: a valós számok R halmaza hány dimenziós vektortér a racionális számok Q halmaza felett?
> Félve válaszolom, mert nyilván ha ilyen egyszerűnek látszik a válasz akkor nagy valószínűséggel nem az, hogy egydimenzióst.
Ugyebár itt szám-egyesek-ről van szó, mégis legalábbis kétdimenziós kell legyen (igazából végtelen), mivel az 1*r1 + sqrt(2)*r2 = 0 -nak nincs megoldása racionális r1, r2 megoldása.
"Érdekesebb kérdés pl. ez: a valós számok R halmaza hány dimenziós vektortér a racionális számok Q halmaza felett?"
Félve válaszolom, mert nyilván ha ilyen egyszerűnek látszik a válasz akkor nagy valószínűséggel nem az, hogy egydimenzióst.
"...De más példákat is figyelembe véve én inkább azt gondolom, hogy akkor ezek szerint világszerte az oktatás nem támogatja az egészséges személyiségfejlődést...."
Félek, hogy a személyiségfejlődésedet nem fogja előmozdítani sem a válasz, sem az ahhoz vezető út, ezért inkább - nem is tudom, mi lenne a HELYES pszichológia megközelítés- írjál még vagy 200 kommentet, mielőtt elgondolkodsz. Mondjuk egy jó csehszlovák szilvából főzött magyar pálinkát húzzál le a gondolkodás előtt, az nem árthat.
Persze a példámon huzakodhatunk: én mondhatom hogy mert Szlovákiában az euro miatt drága a pálinkánakvaló gyümölcs is, te meg mondhatod erre, hogy akkor ott van Románia, stb.
De ugye te is tudod, hogy nem ez volt a lényeg.
És az sem, hogy a mostani példám nem absztrakt matematikai, mert hogy nem az, annak nincs köze ahhoz, hogy a vektorok és skalárok kérdésében nem a fizikaiakról kezdtünk beszélni.
Szerintem amikor a matematikát egységesítették, halmazelméleti alapokra helyezték, majd a vektorterek elméletét és a vektoralgebrát átalakították úgy, hogy beilleszthető legyen a többi algebrai struktúra közé, közben átláthatatlanná vált a vektorfogalom első bevezetése idején követett logika ebből feje tetejére állított szempontból.
Holott az algebrai struktúrák közé illesztéshez felhasznált átalakítások nem tették hamissá az eredeti gondolatmenetet sem. Annak ekvivalens átalakításának kell lennie.
> Ennek részhalmaza a szám egyesek, az egydimenziós vektorok halmaza.
Ezt úgy tudnám interpretálni, hogy
1. A1 A* -- ez igaz.
2. A1 egydimenziós vektortér A felett (a szokásos műveletekkel, ha A számtest -- ez is igaz.
(mindkettő igaz, a kettő között nincs összefüggés)
> A skalárok halmaza szintén szám egyesek halmaza.
Ezt már egy kicsit nehezebben hiszem el... Inkább azt mondanám, hogy a számegyesek halmaza (vagyis az A1) izomorf az A-val. (Lásd a következő pontot.)
> Minden skalárnak megfeleltethető egy egydimenziós vektorok halmazából vett elem és fordítva. Ugyanaz az R-beli elem.
Ez igaz.
> Akkor miért nem egyenlő a két halmaz?
Ha két halmaz izomorf, akkor bizonyos értelemben egyenlőnek tekinthetők. Ha akarjuk. Például a valós számok halmaza tartalmaz egy részt, ami izomorf (ezért azonosítható) a racionális számok halmazával.
Azt írtad az előbb, hogy matematikai skalárokról és vektorokról beszélsz, most ez a halmazokra nem vonatkozik?
Azt se látom, hogy a két halmaz miért lenne egyenlő. Ha mondjuk nyíregyházi gyümölcsből lehet gazdaságosan pálinkát főzni Budapesten, akkor miért ne lehetne szlovákiaiból is?
Én úgy látom, az az alapvető tévedésed, hogy azt képzeled, hogy az összes egydimenziós valós vektortér esetén a vektorok halmaza azonos a valós számok halmazával. De ez nem igaz, a 11-ben példát is mutattam erre.
Például van a gyümölcsök halmaz, annak része a Nemdéligyümülcsök halmaza, annak része a MagyarországonTermettÉtkezésreNemeladhatóMinőségű gyümölcsök halmaza.
Aztán van egy másik halmaz, a PálinkaFőzésreAlkalmas gyümölcsök halmaza, és annak része a BudapestenGazdaságosanPálinkafőzésreAlkalmas gyümölcsök halmaza.
Namost akkor a két halmaz, a MagyarországonTermettÉtkezésreNemeladhatóMinőségű és a BudapestenGazdaságosanPálinkafőzésreAlkalmas gyümölcsök halmaza azonos akkor is, ha eredetileg más szempontok szerint cimkéztük őket.
Például az elsőt minőség szerint pontoztuk 0,0-től 5,0-ig, és az 2,25 alattiak kerültek a halmazba, másikba meg úgy, hogy alkalmas/nem alkalmas.
Ez azért egy kicsit más, mint a vektortér... ha mondjuk adott egy A alaphalmaz, akkor beszélhetünk az A fölötti véges, végtelen, vagy bármilyen sorozatok halmazáról (jelük lehet pl. A*, A∞, A**), ezeken is értelmezhetünk műveleteket (pl az összekapcsolást), de egyik sem vektortér.
A skalárszorzat, vagy belső szorzat egy további struktúrát jelent a vektortéren felül. Nem minden vektortérben van belső szorzat. Pl. ha az időt (vagy pontosabban az időbeli eltolásokat) tekintjük, mint vektorteret, ott nincs egy természetes belső szorzat. Persze definiálni lehet, de nincs fizikai tartalma.
Mi az, hogy 2 s szorozva 5 s-mal? 10 s^2-en? És az mi?
"Azoknak az azonossága meg nem függ attól, hogy milyen kontextusban jelennek meg, például hogy milyen más, akár különböző halmazoknak a részhalmazai egyébként."
Már hogyne függne! Halmazok azonossága csupán annyit jelent, hogy az elemeik azonosak. A valós számok halmaza, és pl. az (x,y) ; y=2x feltételt kielégítő számpárokból álló halmaz nem azonos, hisz az elemeik se azonosak.
Igen, de én itt nem a struktúrák vagy a kategóriák azonosságának a kérdésére kérdeztem rá, hanem csak a halmazokéra.
Azoknak az azonossága meg nem függ attól, hogy milyen kontextusban jelennek meg, például hogy milyen más, akár különböző halmazoknak a részhalmazai egyébként.
"Annak, hogy két halmaz azonos legyen, annak az a feltétele, hogy az elemeik azonosak legyenek"
Annak igen, de itt nem csak halmazokról, hanem struktúrákról van szó. Annak, hogy két struktúra azonos legyen, szükséges feltétele, hogy azonos típusú struktúrák legyenek. Sőt, már annak is, hogy izomorfak legyenek. A test és a vektortér két különböző struktúra, vagy a kategória-elmélet szavaival élve: két különböző kategória.
Annak, hogy két halmaz azonos legyen, annak az a feltétele, hogy az elemeik azonosak legyenek, vagy az is, hogy az elemeiken végzett műveletek is azonosak legyenek?
Én itt azt látom itt kiírva, hogy "Fórum" és nem azt, hogy "Csendes foglalkozás magántanulóknak".
Engem nem zavar, ha elnyerem az év leghülyébb topicja díjat vagy akár a leghülyébb olvtárs címet.
Az axiómák, definíciók és tételek megcsócsálását persze nem tartom haszontalannak, azonban léteznek ezeknek nemtriviális következménei is.
Én a magam részéről csodálkoztam, hogy ezt a kérdést nem veti fel senki.
Ennek persze lehetne az az oka, hogy mert annyira triviálisan nem igaz, hogy emiatt eszébe sem jut senkinek felvetni.
De más példákat is figyelembe véve én inkább azt gondolom, hogy akkor ezek szerint világszerte az oktatás nem támogatja az egészséges személyiségfejlődést.
Sem a legorombítókét, sem azokét, akik félnek a legorombítástól.
A matematikusok ezt precízen úgy szokták megfogalmazni, hogy a test egy (A, +, *) hármas, ahol az A a "skalárok" halmaza a + és * a rajtuk értelmezett műveletek (vagy másképpen a K X K Descartes-szorzat megfelelő részhalmazai), amik kielégítik a testaxiómákat, mint pl. a+b=b+a, és hasonlókat.
A vektortér pedig egy (K, V, +, .) négyes, ahol K (a skalárok) egy test a rajta értelmezett műveletekkel(tehát nem egy halmaz, hanem 3), V a vektorok halmaza, + a vektorok összeadása, . pedig a skalárok szorzása a vektorokkal, amik kielégítik a vektortér axiómáit.
Tehát ha a valós számokat, mint testként nézem, akkor az (R,+,*). Ha pedig, mint vektortért nézem saját maga felett, akkor (R, R, +, .). Már abból is látszik, hogy a kettő nem ugyanaz, hogy az egyik 3-tagú, a másik pedig 4, de ráadásul a vektortérnél a két R nem is ugyanazt jelöli: az első a valós számokat a testműveletekkel együtt, a második pedig csak a valós számok halmazát magában. Hiába ugyanaz az eredménye a két +-nak, ill. a *-nak meg a .-nak ebben a speciális esetben, ez két különböző struktúra.
"Ennek részhalmaza a szám egyesek, az egydimenziós vektorok halmaza"
Ez így nem igaz. A számegyesek vektorteret alkotnak saját maguk felett, de nem minden egydimenziós vektortér áll számegyesekből. Állhat mondjuk számkettesekből is, pl. a sík egy tetszőleges origón átmenő egyenesének pontjai, amik (x, y) koordinátákkal jellemezhetők is egydimenziós vektorteret alkotnak a megfelelelő műveletekkel.
