Csak tippelek, de szerintem te az "r" paramétert sugárirányúnak vetted, és azt ábrázolod a vizszintes tengelyen pedig ívhossz jellegű, és ha nem vagyok hülye, akkor ennél laposabb.
Én úgy emlékszem, hogy a kupola csúcspontjában a görbület (tehát a másodrendű derivált) szinguláris, miközben az elsőrendű derivált létezik.
Én most megnéztem, és az jött ki, hogy az első derivált sem létezik (a csúcsponton).
Akkor nem lehet, hogy egyszerűen csak ez a baj? Hogy ilyen görbe, illetve ilyen felület egyszerűen nem létezik? Legalább is pont ott, ahol vizsgáljuk. Tehát mi egy nem létező pontból akarunk elindítani egy testet?
De akár gömb, akár nem, itt is azt a módszert követed, hogy megoldod a diffegyenletet, majd ebből a megoldásból, ebből a már kétszer integrált eredményből vonsz le következtetéseket.
Nem egészen értem az állításodat. Általában eredményekből vonunk le következtetést. Illetve ebben az esetben a Lipschitz-kritérium és az unicitás teljesül.
De az, hogy a diffegyenlet integrálása egy határozatlan eredményre vezet, miért jelentené azt, hogy maga az alap diffegyelnet sem determinisztikus?
Ha a diffegyenlet megoldására nem áll az unicitás, akkor (klasszikus fizikai szóhasználattal) maga az alap egyenlet nem determinisztikus. Filozófiában meg más értelemben is használják a "determinisztikus" jelzőt.
Én úgy emlékszem, hogy a kupola csúcspontjában a görbület (tehát a másodrendű derivált) szinguláris, miközben az elsőrendű derivált létezik. Ezt anno nem vizsgáltam írtam bele, illetve még az is lehet hogy rosszul írtam valamit. Mindenesetre örülök ha átbeszéljük.
Mellékes megjegyzés: Minél kisebb sugarú a lokális gömbfelület, annál kisebb sebességgel tud a test "leválni" róla. "Végtelenül nagy" görbület esetében a nulla sebesség is elég volna hozzá.
A lényeg a következő: Mi alapján írjuk fel az erőket, illetve specifikusan a kényszererőt?
Ha a rugalmasságtanból indulnánk ki, akkor egyszerű esetben a kényszererő irányát a test felületének helyi (kis) benyomódásából lehetne integrálással megkapni.
Merev testes idealizációnál meg az érintő-felületre (ha létezik) merőleges irányú.
Nekem úgy rémlik (de ezt igazán ne tekintsed biztosnak) hogy a kényszererő nagyságának a számolásakor is elő fog kerülni rosszul definiált második derivált derivált, úgyhogy elvileg (legalábbis ha jól emlékszem) a csúcson a testre ható erő határozatlan.
Ez természetesen nem számít akkor, ha csak a felület-menti erőket/gyorsulásokat írjuk le. Ezért nem különösebben részleteztem sem én, sem Norton.
Ezért írtam azt, hogy a t=T időpontban a testre ható erő nulla
Ha pontosan a kupola tetejére teszek egy testet, arra miért hatna vízszintes erő?
Én azt most megkockáztatom, hogy vizszintes erő valóban nulla.
De a csúcspont szinguláris görbületű, és ha nagyon szeretnéd, akkor én ebből azt a matematikailag valószínűleg teljesen hibás, és józan intuicíót sértő fizikai képet vezetném le, hogy a csúcson a testet függőleges erő gyorsítja (végtelenül kicsiny sebességre), végtelenül kicsiny magasságbeli eséssel egy olyan pontra amely szintén középen van.
Ez ugye az elmozduló, gömb alakú test tömegközéppontjának a helye, de ha megpróbálom lerajzolni, nekem ez a vonal is csak a kúpfelületet adja vissza, csak eltolva vagy felnagyítva.
Te most a pontszerű testet egy kicsi golyónak képzeled?
Nem, azt pontszerű testnek képzelem.
Viszont ennek nincs is nagy jelentősége, mert ha igaz az az állítás, hogy a kényszererő mindig merőleges a kényszerre, akkor ez egyértelműen megadja az erő irányát, akár pontszerű a test, akár nem.
Itt a testre ható eredő erő nulla (mármint ami a mi szempontunkból fontos eredő). Newton erre annyit mond, hogy akkor a test sebessége is nulla marad. Mindörökké.
(Érdekes ezt összevetni az ősrobbanást kritizálók gondolataival.)
Te most a pontszerű testet egy kicsi golyónak képzeled?
Sok más esetben is ez lehet a pontosabb modellezés kulcsa, ilyen a jólismert két pontszerű test rugalmas ̈utközése, amely esetben semmi sem rögzíti azt, hogy az ütközés után melyik egyenes mentén mozognak a testek.
Ez egy nagyon szép elméleti probléma. De sajnos a "valóságban" a nulla sugarú próbatestet nem lehet előállítani. Szóval itt a határérték képzés azt eredményezi, hogy a modell jelentősen elszakad a fizikai valóságtól. Viszont érdekesnek tűnik egy bizonyos méret alatt a kvantumfizikára áttérni. ;)
De akár gömb, akár nem, itt is azt a módszert követed, hogy megoldod a diffegyenletet, majd ebből a megoldásból, ebből a már kétszer integrált eredményből vonsz le következtetéseket.
De az, hogy a diffegyenlet integrálása egy határozatlan eredményre vezet, miért jelentené azt, hogy maga az alap diffegyelnet sem determinisztikus?
Egy módszer lehet az ilyen módon felmerülő problémák kikerülésére, ha helyettesítő-testek egysorozatát tekintjük, amely fokozatosan tart a pontszerű testhez.
Valamikor nagyon régen ezt a trükköt én is bedobtam bizonyos mérési eredmények kiértékelésére. Amikor egy zavaró hatást nem tudtam nullára csökkenteni, csak nagyon kicsi értékre leszorítani. De azt nem tudtam, hogy ez mennyire befolyásolja a mérési eredményeket. Viszont a zavaró hatást közelítőleg meg tudtam duplázni. Node azt is tudjuk, hogy a különbségképzés hibaterjedése katasztrofális. Ezért inkább regressziós görbét illesztettem a megtöbbszörözött zavaró hatásokra, és abból extrapoláltam a nulla zavaró hatás eredményét.
A kupola csúcsának közvetlen közelében a test tömegközéppontja a csúcspont felett, egy lokálisanepszilon sugarú gömbfelülettel megegyező felület mentén mozdulhat el.
Lehet, hogy ezt nem értem, hogy ez mitől gömb. Ez ugye az elmozduló, gömb alakú test tömegközéppontjának a helye, de ha megpróbálom lerajzolni, nekem ez a vonal is csak a kúpfelületet adja vissza, csak eltolva vagy felnagyítva.
A fizikai modell mindössze annyit mond biztosra, hogy ha a test sebessége most nulla, és 0 erő hat rá, akkor a test sebessége dt idő múlva is nulla lesz.
Ez még csak nem is állítás.
Kaphatunk hamis "gyököket" is, mint sok más esetben.
Én hamis gyöknek azt hívom, ami nem megoldása az eredeti egyenletnek. Te mit?
az, hogy a test örökké áll, csak az egyik megoldása az egyenleteknek.
Igen. Pontosan ezt mondom. "Az egyenleteknek". Az már egy matematikai modell része. Newton törvénye nem mondja, hogy az F=ma-t, mint differenciálegyenletet meg kell, vagy meg kell tudni oldani. És hogy ha megoldjuk, akkor csak egy megoldást kapunk. Kaphatunk hamis "gyököket" is, mint sok más esetben.
A fizikai modell mindössze annyit mond biztosra, hogy ha a test sebessége most nulla, és 0 erő hat rá, akkor a test sebessége dt idő múlva is nulla lesz. És ez teljesen determinisztikus.
> Itt a testre ható eredő erő nulla (mármint ami a mi szempontunkból fontos eredő). Newton erre annyit mond, hogy akkor a test sebessége is nulla marad. Mindörökké.
Pontosan melyik törvénye
... az, hogy a test örökké áll, csak az egyik megoldása az egyenleteknek. Az, hogy a test egy idő után megindul, szintén teljesíti az egyenleteket. Bizonyos egyenleteket két görbe is teljesít. Előfordul az ilyen.
Amit érdemes megjegyezni, hogy Laplace tévedett, amikor azt mondta, hogy a Newton egyenletek és a kezdeti feltételek egyértelműen meghatározzák a világ mozgását. Nem, több olyan világ van, amire teljesülnek a Newton egyenletek, és a kezdeti feltételek.
Nos igen, ezt olvastam is, de nekem mégis úgy tűnik, hogy máshol van a kutya elásva.
A probléma ugye az, hogy a mozgásegyenletek matematikai megoldása után az jön ki, hogy ennek a testnek valamikor el kell indulnia, és nem derül ki, hogy mikor.
De ezzel már jóval túlléptünk az eredeti modellen.
A Newton-modell csak annyit ír elő, hogy egy test sebességvektorának a változását a rá ható eredő erő szabja meg. Pont. Nem megy tovább.
Itt a testre ható eredő erő nulla (mármint ami a mi szempontunkból fontos eredő). Newton erre annyit mond, hogy akkor a test sebessége is nulla marad. Mindörökké. Ami így is van. Tudjuk, hogy az a test magától soha nem fog megindulni. A modell válasza tehát egyértelmű, és egybeesik a valósággal. (Most nyilván a "klasszikus" valóságra gondolok).
Az, hogy mi ez után áttérünk a matematika vizeire, és ott elkezdünk mindenféle számításokat végezni, mert mi még valami analitikus függvényeket is szeretnénk megkapni, és hogy ebből a törekvésünkből ellentmondó vagy nem egyértelmű eredmények születnek, annak már nem sok köze van a konkrét newtoni modellhez. Elvégre nincs olyan Newton-axióma, hogy a mozgás differenciálegyenletének matematika megoldása egy egyértelmű eredményt kell adjon. De ettől még a differenciális alak egyértelműen jósol, ebben az esetben is.
Ami a látszólagos ellentmondást okozza az egyrészt az, hogy:
-A determinizmus nincsen benne a Newton-axiómákban, ha ezt is beemeljük, akkor az további megkötést jelent.
-Maga a (kontakt)-erő meghatározása nem egyértelmű akkor, ha egy pontszerű test egy nem sima felülettel érintkezik. Ennek a problémának a kezelése szintén nincsen benne a Newton-axiómákban, de matematikailag formalizálható.
Vagyis nem tud rá válaszolni. Ezért ez az adott modellben "rossz" kérdés.
Még az sem biztos, hogy a modellben rossz. Mert a modell ilyenkor visszakérdezhet, hogy pl. mit értesz azon, hogy "áthaladt a résen". És akkor megint nálad a labda.
