De az tök mindegy, hogy a sorok mindig másik sorok (miért számítana?).
Ezen az alapon az se számít, hogy mi van egy sorban és mi nincs. Felhasználtam végtelen sok nullát az ábrához, ergo leírtam végtelen sok nullát, azt vehetjük egy sornak. Ez elég nevetséges, nem gondolod?
Komolyra fordítva a szót: attól hogy tetszőleges hosszú vízszintes sor van az ábrában, még nem következik, hogy lenne végtelen hosszú vízszintes sor is az ábrában.
És ez a megkülönböztetés nagyon is fontos a matematikában. Pl. az elmúlt évek nagy szenzációja volt az a tétel, hogy a prímszámok között van tetszőleges hosszú számtani sorozat. Miközben elég egyszerű belátni, hogy végtelen hosszú számtani sorozat nincs közöttük.
De az tök mindegy, hogy a sorok mindig másik sorok (miért számítana?). Az számít, hogy a piros L(n) sorozat minden eleme benne van a nullákat tartalmazó konstrukcióban, és mind vízszintes mind függőleges irányban végtelenre nő a szára.
Minden n-re igaz, hogy az n. sorban az első nullától fölfelé ugyanannyi nulla van, mint jobbra.
Igen, csakhogy ez nem sor-oszlop szimmetria. Akkor lenne sor-oszlop szimmetria, ha az n. sorban az első nullától lefelé ugyanannyi nulla lenne, mint jobbra. Ugyanis az oszlopok lefele nőnek, a sorok meg jobbra. Tehát a lefele irány szimmetrikus párja a jobbra irány.
Geometrikusan: a sor-oszlop szimmetria a főátlóra való tükrözési szimmetria lenne. Ha a Te ábrádat a főátlóra tükrözöm, akkor az sorban végtelen sok nulla lesz, a második sor eggyel jobbrább kezdődő végtelen sok nulla, a harmadik sor még eggyel jobbrább kezdődő végtelen sok nulla stb. Tehát a tükrözött ábrában az oszlopok lesznek véges hosszúak, a sorok pedig végtelen hosszúak. Lásd még itt.
Azt mondod, hogy ezen L-szerű alakzatok egyik szára végtelen hosszúra nő, ha n tart vételen, a másik nem?
Nem az a kérdés, hogy végtelen hosszúra nőnek-e a szárak. A függőleges szár mindig az első oszlopban van, amiért az első oszlop végtelen hosszú, hiszen tetszőleges hosszú véges szárat tartalmaz. A vízszintes szár viszont mindig másik sorban van, ezért nem következik, hogy bármelyik sor végtelen lenne (valójában minden sor véges hosszú). Egyszerűen nincs szimmetria a sorok és az oszlopok között.
Ha az omega={0,1,2,...} részhalmazaival azonosítjuk az egyes sorokat és oszlopokat (a részhalmaz adja meg a nullák helyeinek sorszámait), akkor a sorok a {0}, {0,1}, {0,1,2} stb. véges kezdőszeleteknek felel meg, az oszlopok pedig a {0,1,2,...}, {1,2,3,...}, {2,3,4,...} halmazoknak (amik a kezdőszeletek komplementerei).
Amúgy csodálkozom, hogy ezt magyarázni kell, hiszen ránézésre világos az ábrából.
"Ebből csak az következik, hogy az első oszlopban van n darab nulla minden n-re, magyarán az első oszlopban van végtelen sok nulla. A sorok ettől még végesek (nincs sor-oszlop szimmetria). De ez világos, elég csak az ábrádra nézni"
Én pont itt látom a szimmetriát. Minden n-re igaz, hogy az n. sorban az első nullától fölfelé ugyanannyi nulla van, mint jobbra.
0
00
000
0000
00000
...
Tehát egy ilyen szimmetrikus L betű szerűség minden n-re adható. Most vegyük csak a pirossal kijelölt alakzatokat n függvényében. Azt mondod, hogy ezen L-szerű alakzatok egyik szára végtelen hosszúra nő, ha n tart vételen, a másik nem?
Még annyit tennék hozzá, hogy amit Te itt pedzegetsz, annak van precíz megfelelője a halmazelméletben. Már mondtam korábban, hogy omega jelöli a véges rendszámok (más néven a természetes számok) halmazát:
omega := {0,1,2,...}
Te azt szeretnéd (vagy úgy gondolod), hogy ebben a halmazban automatikusan van (vagy legyen) végtelen rendszám. Amire Te gondolsz, az nem az omega, hanem az
omega' := omega U {omega}
halmaz, ami az omegát követő rendszám, tehát a második végtelen rendszám. Ennek az omega' halmaznak az elemei a véges rendszámok (0,1,2,3,...) és az omega={0,1,2,3,...}. Az utóbbi elem felel meg a Te "végtelen természetes számodnak".
hiszen az n. sorban ugyanannyi nulla van a sor végéig, mint az első oszlop elejéig. Minden n-re
Ebből csak az következik, hogy az első oszlopban van n darab nulla minden n-re, magyarán az első oszlopban van végtelen sok nulla. A sorok ettől még végesek (nincs sor-oszlop szimmetria). De ez világos, elég csak az ábrádra nézni.
A vastagon szedett nullák végtelen távol kerülnek az első oszloptól, így van benne végtelen hosszú sor.
Végtelen hosszú sor végtelen sok vízszintesen egymást követő nullát jelent. Ilyen nincs az ábrádban.
Igen, a modern matek megállapodása ez, de ez csak konvenció.
Nem hiszem, hogy a modern matek megállapodása lenne ez, inkább a Te agyrémednek nevezném.
Ha kimész az utcára, és megkérdezel bárkit, hogy ha véges hosszú sorokat írunk egymás alá (végtelen sokat), akkor leírunk-e végtelen hosszú sort, akkor nyilvánvalóan azt mondják, hogy nem, hiszen véges hosszú sorokat írtunk csak le.
Hogy egy hasonlattal éljek. Képzeljük el, hogy az emberiség örökre fennmarad. Nézzünk egymás utáni embereket: valaki meghal, születik egy másik stb. Ekkor egy végtelen sok emberből álló láncot kapunk, de ettől még senki sem él örökké. A 0,1,2,3,... számok mindegyike véges, és attól hogy leírtuk őket mind és végtelen sok van belőlük, még nem lesz közöttük végtelen.
és a modern matekban értett természetes számok között
A modern matekban gyakorlatilag ugyanazt értjük természetes szám alatt, mint az ókorban. Egy véges halmaz számosságát (méretét), tehát a 0,1,2,3,... sorozat elemeit. Többek között minden természetes szám előtt véges sok természetes szám van (annyi, amennyi a szám), és minden természetes számot követ egy természetes szám (ami a nála nagyobb természetes számok legkisebbike).
"Ha Chuck Norris leírta a végtelent, akkor abbahagyja vagy nem hagyja abba?"
Chuck Norris bármennyiszer le tudja írni a végtelent, de most nem igazán erről van szó. A "Chuck leírta az összes természetes számot" viccesnek szánt mondat azt akarja jelenteni, hogy "vedd azt a végtelen papírt, amin rajta van minden természetes szám", még egyszerűbben "vedd a tízes számrendszerben reprezentált természetes számok halmazát". Ugye a matematikusok így alkotnak végtelen halmazokat Cantor óta.
A modern matematikában a természetes számok definíció szerint nem tartalmazzák a végtelent. Ez ugye elég jó dolog, mert ez azt jelenti, hogy az, hogy nincs benne a természetes számok között a végtelen, az nem következmény, hanem döntés eredménye. Ezt a döntést leginkább Cantornak köszönhetjük. Cantor hitt a természetfelettiben, nem esett nehezére létezőnek elképzelni végtelen halmazokat, és azóta egy szép és gazdag matematika épült erre a végtelen felfogásra.
Én csak ennek a végtelen felfogásnak a határait próbálom feszegetni. Erre jött ez a példa, hogy tekintsük adottnak a tízes számrendszerben az összes természetes számot (tehát van egy papírunk, amire Chuck felírta az összeset), és mivel a számok hossza minden határon túl nő, ezért, ha adottnak tekintjük ezeket a számokat, akkor lennie kell benne végtelen hosszúnak is. És ez gond, mivel itt ütközés van a korrektül definitté tett természetes számok és a modern matekban értett természetes számok között.
A megfeleltetést csak azokra az esetekre adtad meg, amikor véges sok 0 szerepel a karaktersorozatban, a következtetést meg abból vonod le, amikor végtelen sok.
A leírt végtelen sérti azt az axiómát, hogy minden számnál van eggyel nagyobb.
Ezt a megjegyzésemet butaságnak minősítetted, formális indoklás nélkül. Pedig csak felhívtam a figyelmedet egy axiómára. Meg kellene mondanod, a leírt végtelennél van-e eggyel nagyobb.
Az nem megoldás, hogy azt mondod, á, most ne erről beszéljünk, hanem arról hogy micsoda nagyszerű dolog bevezetni a leírt végtelen fogalmát.
"Tehát a válasz igen. Chuck Norris leírt végtelen hosszú természetes számot."
Miért is? Melyik 0 jelenti azt, hogy most éppen egy végtelen hosszú számot írt le? Ha végignézem a végtelen sok 0-t, számomra mindegyik azt jelenti, hogy akkor éppen egy véges hosszú számot írt le.
Pontosan ugyanazt, mint Cantor, a potenciális végtelen halmazokat definitnek, létezőnek, idő nélkülinek, már leírtnak tekintem. Semmi újat nem találtam ki. Ez pontosan ugyanaz, mint amikor azt mondom, hogy Chuck Norris leírta egy végtelen papírra az összes természetes számot.
