Másként szólva fi=-ln(r). Ezért hívják logaritmikus spirálnak. Ha a másik körüljárási irány szerint van mindegyik bogár szerelme, akkor a még tisztább fi=ln(r) jön ki.
Az én megoldásom sem bizonyítja ezt, hanem erre épül. Én a megoldásomban nem feltételezek állandó sebességet, de azt igen, hogy
(1) Egy bogár szerelme mindig 90 fokos origó körüli elforgatással kapható az adott bogárból.
Ez utóbbi azzal ekvivalens, hogy
(2) Van olyan v(t) függvény, hogy minden t pillanatban mind a 4 bogár sebessége (abszolút értékben) v(t).
Az (1)->(2) implikáció persze világos. A (2)->(1) implikációt úgy láthatod be, hogy 4x2-dimenziós fázistérben helyezed el a bogarakat, ahol a 4 bogár együttes mozgása egy közönséges differenciálegyenlettel írható le. Ezt vagy direkten megoldod (kb. úgy, mint én tettem a megoldásomban, csak komplex számok helyett 8x8-as mátrixokat használva) és rögtön látod a szimmetriát, vagy használsz valamilyen unicitástételt, amiből következik, hogy ha az egyenlet kezdőfeltételekkel együtt rendelkezik a forgásszimmetriával (pontosabban annak a 4x2-es fázistérbeli megfelelőjével), akkor ugyanez szükségképpen igaz a megoldására is.
De mint elmagyaráztuk, csakis logaritmikus spirál lehet a pálya. Nevezetesen azon (r,fi) polárkoordinátákkal rendelkező pontok halmaza, amelyek az r=e-fi egyenletnek eleget tesznek.
Nekem úgy tűnik, nem veszed figyelembe azt a követelményt, hogy a bogár _minden_ _pillanatban_ a szerelme felé megy. Vagyis bármely pillanatban egy bogár sebességvektora (aminek iránya a pályagörbe érintője) a szerelme pillanatnyi helyére mutat.
Nem értem amit most írtál. Milyen húrok, és miért kell húrt választani?
Biztos, hogy ugyanarról a feladatról beszélünk?? (négy bogár egy négyzet csúcsain, mind azonos sebességgel egyszerre megindul a szerelme felé, a szerelme a tőle óramutató járása irányába eső bogár)
Húzz érintőt a körív valamelyik P pontjához (kivéve a két végét). Ez lenne az adott pontban a bogár sebességvektorának iránya. Aztán nézd meg, ez az érintő hol metszi a következő körívet, azt a körívet ahol a szerelme gyalogol. Ennek a metszéspontnak egybe kellene esni P pont 90 fokkal elforgatott képével. Ugyanis ez felel meg annak, hogy a bogár a szerelme felé gyalogol.
A megoldást jelentő logaritmikus spirálon ez teljesül, és csak azon. A te köríveden nem.
Egy kicsit gondolkodtam azon, hogyan lehetne bizonyítani azt, hogy a bogarak mindíg egy, a kiindulásival azonos középpontú négyzet csúcsaiban lesznek (ezen alapul a szemléletes megoldás). Sajnos eredménytelenül. Valószínűleg gergo73-é a korrekt megoldás.
"... ha a nyáj akadályozni akarja a kutyát abban, hogy megkerülje? Ez nyilván azt jelenti, hogy a mozgása minden pillanatban a kutya irányvektorával azonos lesz."
Újabb variáció jutott az eszembe a nyáj és a terelőkutya kapcsán - a modell tényleg befolyásolja a gondolkozást - mi van akkor, ha a nyáj akadályozni akarja a kutyát abban, hogy megkerülje? Ez nyilván azt jelenti, hogy a mozgása a minden pillanatban a kutya irányvektorával ellentétes lesz.
Kérdés, hogy ezzel a taktikával a a náluk gyorsabb kutya megkerülési idejét mennyire lehet megnövelni az álló kör alakú nyáj megkerülésének idejéhez képest?
S mi van akkor, amikor a nyáj segíteni akarja a megkerülést? Akkor a kutya irányvektorával ellentétesen kell mozognia? És ekkor mennyi lesz a megkerülési idő?
Itt is a négyzetet kellene előbb megnézni, mert ott egyenes vonalú mozgások alakulnak ki.
a rugóra merőlegesen elkezdjük mozgatni úgy, hogy amikor a rugó egy teljes ciklust leírt, akkor pont 2r távolságra mozgattuk el. Mekkora a rugó vége által megtett út és a 2r hányadosa?
Az attól függ, hogy milyen sebességgel mozgatod a rugóra merőleges irányban az egészet. És ez az eredeti feladatban egyáltalán nem egyenletes sebesség! (a birka sebességének nagysága állandó, és nem pedig az y kkordinátájának nagysága állandó.)
A rugó által befutott út pont azon sinus függvény "hossza" lesz, aminek 20 méter a hullámhossza és 20 az amlitúdója is. Tehát a függgvény f(x) = 10*sin(20/2pi*x).
Ehhez a nyájas dologhoz van egy fizikai ötletem, ami most ugrott be, és bár még a következményeket nem gondoltam végig, de az látszik, hogy könyebbé teszi a megoldást. A feladat átfogalmazható az alábbi módon:
Van egy rugónk, amit kitérítünk r távolságra. Elengedjük és a rugót a rugóra merőlegesen elkezdjük mozgatni úgy, hogy amikor a rugó egy teljes ciklust leírt, akkor pont 2r távolságra mozgattuk el. Mekkora a rugó vége által megtett út és a 2r hányadosa?
Ez ugyanaz az arány lesz, mint ami a nyájas feladatban is szerepel.
Elnézést, de nekem a rosenkrantz (1019) megoldásából nem ugrott be az, hogy a gondolatmenet ugyanaz.
Én is csak azért írtam le ennyire részletesen, hogy érthető legyen: Rá kell érezni arra, hogy a bogarak a középpont felé egyenletesen közelítenek. Innen (mivel az időtartam rögtön adódik) az út is egyertelmű. Azért örülök, hogy már nem vagyok egyedül ezzel a gondolatmenettel.
ebessége felbontható haladásra (transzláció) és forgásra (rotáció). Vektoriálisan. Te pedig skalárisan adtad őket össze. Ez így természetesen nem jó. (nagyon könnyű lenne :) )
Én azt látom, hogy a megoldásokban ezt a fenti nézőpontot mindenki csak kerülgeti, mint a macska a forró kását, és aztán belebonyolódik a spirálokba, differenciákba, stb. Nem tudom, de (a kezdeti értetlenkedésem után) számomra mmormota 1013-asa a legegyszerűbb bizonyítás (vagy az 1016-beli átfogalmazásom), szerintem azok még a tiédnél is egyszerűbbek.
Visszanéztem a topik elejére, és most látom, hogy 1999-ben már feladtad itt ezt a feladatot! :)
Izgat még az inverz feladat is Én meg azon filóztam, hogy milyen alakzatban kell lennie a nyájnak, hogy a pulikutya pont egy félkört tegyen meg. Ha jól sejtem egy gitárpengető/esőcsepp alakú síkidomról van szó, aminek van egy csúcsa, meg egy görbe, önmagába hurkolódó 'oldala'.
Ronda integrálra vezet. Felírni nem nehéz, pl. a középponti szög szerint dfi és dt szerint cosinus tétel egy kis háromszögre a kerületen, ezt mint másodfokú egyenletet megoldani dt-re, majd integrál 0...2pi-ig, ami kiadja a körbejárás idejét. Nagyon meglepne, ha ezt meg lehetne oldani numerikus közelítés nélkül.
Én szabályos sokszögekkel helyettesítettem a kört, s azok oldalszámának növelésével az egyes sokszögekre kapott megoldások határértéke lesz a körös feladat megoldása.
De ez igen macerás, azt reméltem, hogy itt valaki fel tudja írni az görbéjét és ívhossz integrálással talán egyszerűbb lehetne a megoldás.
Izgat még az inverz feladat is, hogy milyen alakzat megkerülése esetén lehetne leegyszerűsíteni a megoldást?
