Szerintem az egyenletet nem x-re kellett megoldani, hanem y-ra. Persze ha tudod invertálni az x-et mint y függvényét, akkor megkapod y-t mint x függvényét.
Arra lennék kiváncsi azt hogyan lehet kezelni halmazelméletileg.
Ez nem halmazelmélet, hanem elemi koordinátageometria. A z-tengely körüli a szöggel való elforgatás az (x,y,z) pontot az (x.cos(a)+y.sin(a),-x.sin(a)+y.cos(a),z) pontba viszi. Egy ponthalmazt (pl. az Er egyeneseket) úgy forgatsz el, hogy minden pontját elforgatod.
Ugye a teljes Tyihonov ("kompakt terek szorzata kompakt") ekvivalens a kivalasztasival. Ha azonban csak Hausdorff (T_2) terekre teszuk fel a tetelt, akkor a kivalasztasinal gyengebb allitast kapunk.
A Maple ezt adja erre, illetve ad egy ellentétes előjelű megoldást is. A zavaró alulvonásos jelölés az általa bevezetett új változót, konstansot jelenti.
Akkor a hiperboloidokat megbeszéltük. Hátra van még Er:={(r2,rt,t):t valós}egyenesekés ezeknek a forgatásai. Ezekben is volna egy két észrevételem. Arra lennék kiváncsi azt hogyan lehet kezelni halmazelméletileg.
Igen, a tér maga elég konkrét, de a nyílt fedései már jóval kevésbé. Az utóbbi egy mélyebb absztrakció eredménye, hasonlóan ahogyan a valós számok részhalmazai is elvontabbak a valós számoknál.
Itt egy bizonyítás, amit rögtönöztem. a=0 esetén v konstans vektor, vagyis c triviálisan egy egyenesen mozog. Tegyük fel ezért, hogy a(s) nagysága egy nemnulla konstans. A továbbiakban egy tetszőleges f=f(s) vektor- vagy skalárfüggvényre használjuk az f'=df/ds rövidítést. A feltétel szerint v.v és a.a konstans, vagyis deriváltakat véve v.a=0 és a.a'=0. Mivel az a-ra merőleges vektorok 1-dimenziós alteret alkotnak és v egységnyi hosszú, ezért a'=kv, ahol k=k(s) egy skalárfüggvény. Most megmutatjuk, hogy k konstans. Ehhez vegyük észre, hogy a'=kv miatt egyrészt a'.a'=k2(v.v)=k2, másrészt a.a''=a(kv)'=a(k'v+ka)=k'(v.a)+k(a.a)=k(a.a), tehát a'.a'+a.a''=k2+k(a.a). De itt a bal oldalon a.a'=0 deriváltja áll, vagyis 0=k2+k(a.a), tehát k=0 vagy k=-(a.a). Mivel k folytonos és legfeljebb két értéket vehet fel (hiszen a.a konstans), ezért k konstans, amint állítottuk. De akkor (a-kc)'=a'-kv=0, vagyis a-kc konstans vektor. Ha k=0, akkor a egy (nemnulla) konstans vektor, de v.a=0 és v nagysága egységnyi, vagyis v is konstans vektor (mert folytonos és csak két lehetséges értéke van), tehát a=0, ami ellentmondás. Ezért k egy nemnulla konstans, vagyis az a-kc konstans vektort felírhatjuk, mint -kc0, ahol c0 egy konstans vektor. Tehát a-kc=-kc0, vagyis c=c0+k-1a. Itt a feltétel szerint a egy körön mozog, ezért ugyanez igaz c-re is.
A bizonyításból persze az is látszik, hogy a c által bejárt körív sugara |a|/|k|=1/|a|, összhangban a görbület standard definíciójával.
Érdekes, hogy a {0,1}^N "konkrét" dolog a halmazelméletben- a Te kifejezéseddel, - addig ha topologikus térként fogjuk fel, már kell a kiválasztási axióma ahhoz, hogy a szorzattér kompakt (Tyihonov-tétel - de ez már csak kötözködés).
Kedves matekosok, egy egyszerű differenciálgeometriai kérdésem lenne, bizonyára tudtok szép választ adni rá.
Ha jól emlékszem, egy c(s) ívhossz-parméterezésű síkgörbe v(s)=dc/ds érintővektora egységnyi hosszú, ennek az a(s)=dv/ds deriváltja pedig merőleges v(s)-re.
Hogy lehetne egyszerűen belátni, hogy ha a(s) nagysága konstans, akkor c(s) egy körív? Olyan bizonyítás érdekelne, amely akkor is működik, ha az ívhosszat, nagyságot és merőlegességet pszeudoeuklideszi, vagyis indefinit metrika definiálja. Ekkor persze a körív hiperbola darabot jelent.
Köszönet viszont. Ezek már ilyen forszolás szagú dolgok (amihez semmit se értek), az én horizontom idáig már nem ér el. Én ZFC-ben dolgozom elég konkrét objektumokkal (analitikus számelmélet, harmonikus analízis, automorf formák, L-függvények), ritkán kell elgondolkoznom a létezés problémáin.
Köszönet. Egyébként. A valós számok a halmazelméletben - mint minden - halmazok, és definiálhatók formulákkal, mint minden osztály (definíció szerint). Vannak olyan valósok, melyek olyan számelméleti formulával definiáltak, amelyek ftlenek ZFC-től, és azt mondjuk az általuk definiált valósra, hogy nagy komplexitású. De minden ilyen esetben az N^N tér egy-egy eleméről beszélünk.
egy "tipikus" valós szám tizedes jegyei is "összevissza" vannak!
Jó, de ez nem a ZF "problémája", hanem a PA-é. Az utóbbiban nemigen tudod felépíteni, megjeleníteni "azokat" a valós számokat, amiket a ZF-ben. A ZF-nek is vannak "problémái", akkor feltesszük az AC-t. Persze ezt csak félkomolyan mondom, lényeg hogy a ZF-ben könnyedén definiálhatod a valós számokat, majd egy ZF-beli valós szám tizedes- és lánctörtjegyeit.
Hát a valós számokat valahogy definiálni kell (ZF-en belül), ha beszélni akarunk róluk. És ha már definiálva vannak, akkor bármelyik valós szám esetében alkalmazhatod a transzfinit rekurzió tételét pl. a tizedesjegyek definíciójára. Az N^N is egy kiváló definíció (az irracionális számokra), de ahhoz a lánctörtjegyek vannak közelebb, nem a tizedesjegyek. Persze könnyen váltogathatsz tizedesjegyekről lánctörtjegyekre és viszont, szóval ettől még nem kell az AC.
Ha kijönne az, hogy fiatalabban lehet kijönni a fekete lyukból, mint belementünk, akkor szeretnék társszerző lenni a készülő műben. Persze csak álnéven, a filmes jogdíjak miatt!
Oké!
egyébként ha sajátidőben nem is, de koordinátaidőben elvileg lehetne Kerr-téridőben visszafelé is menni. Vagyis időutazást tenni a múltba is, mondjuk a földi idő szerint.
Másrészt - akár fogd fel filozófiai érvként, hogy - egy valós számot úgy képzünk, hogy adunk egy kiválasztási függvényt, amely minden n-re választ megszámlálható sok, 0-át és 1-et tartalmazó halmazból (már az általános iskolában is), ami által a valós számokat erősen nemkonstruktív fogalomnak tekintik, ha nem lehet végesen megkonstruálni őket.
Jó, hát a természetes számokat sem lehet végesen megkonstruálni. Egy-egy számot igen, de a teljes struktúrát nem. Szerintem aki el tudja képzelni a természetes számokat, az valamennyire el tudja képzelni a valós számokat is. A valósok részhalmazait már nemigen lehet elképzelni szerintem. De a valós számokat talán még igen.
Amikor azt mondod, hogy a "halmazok teljesen függetlenek" sashiminél, hogyan érted?
Nem értettem rajta semmi pontosat. Vedd úgy, hogy nincs rájuk semmi megszorítás, tehát "össze-vissza" vannak. A másik véglet (triviális a kiválasztási axióma szempontjából), ha a halmazok mind egyenlők. Persze sashimi megmondta a frankót, az unió elég furcsa halmaz lesz.
Jól gondolom, hogy szerinted definiáljuk a valós számokat, és ezáltal használhatjuk a transzfinit rekurzió tételét? Én - halmazelmélettel foglalkozva - főként úgy tekintek a valós számokra, mint omega^omega részhalmazaira. N^N u.is homeomorf az irracionálisok terével.
Egyébként ilyen problémához is vannak Maplehez készült munkalapok a neten, amiket ingyenesen le lehet tölteni a fejlesztő oldaláról, elég izgalmas ilyeneket a Maplevel csinálni.
Valóban világosnak látszik, hogy a transzfinit rekurzió elegendő a valós szám definíciójára.
A transzfinit rekurzió a tizedesjegyek definíciójához kell. A valós szám definíciója sokkal egyszerűbb (pl. Dedekind-szelet, vagy Cauchy-sorozat modulo nullsorozatok). Szerintem még most is kevered a definíció és a kiszámítás fogalmát. Lehet, hogy programozó vagy?
ami által a valós számokat erősen nemkonstruktív fogalomnak tekintik, ha nem lehet végesen megkonstruálni őket
Ez így rendben van, csak jelzem, hogy mást jelent a halmazelméletben megkonstruálni valamit, mint mondjuk a Peano-számelméletben megkonstruálni. A halmazelméletben az N-->{0,1} függvények halmaza (jelölése N{0,1}) egy nagyon konkrét dolog, kb. mint a Peano-számelméletben a 2006 vagy 232.
Ha kijönne az, hogy fiatalabban lehet kijönni a fekete lyukból, mint belementünk, akkor szeretnék társszerző lenni a készülő műben. Persze csak álnéven, a filmes jogdíjak miatt!
