"Persze a gondolkodás bizonyos fokig nyelvi , de nem csak is nyelvi , hiszen nem hagyhatjuk ki az intuíciót belőle."
Nyelvi, képi, esetleg zenei. A nyelv esetében a nyelv kötöttségeitől való elrugaszkodás, és lehetőleg a nominalizmus elkerülése fontos szempont. Az elemi geometria példákat nehéz "nyelvvel lekezelni", mindenképpen célszerű egy képi szemléletmód és intuíció. (A zenei intuíció ugyan már nem matematika, bár az ókorban még annak tartották)
Ha az intuíciót is papírra vethetnénk, az mindenesetre nagy fejlődés (vagy csapás?) volna a matematikusok számára. Milyen lenne egy olyan (pl. biológusok által kifejlesztett - alapvetően az emberhez igazodó és nem az algoritmikus logikára épülő) matematikai nyelv, ahol a konstruktív bizonyítások jó közelítéssel "azonnal látszanának", és ötletmentes bizonyításokká válnának. Szerintem ez nemigen lehetséges.
A matematika jelenleg elfogadott jelölésrendszere sem teljesen axiomatikus, igen erősen igazodik az emberhez, és sokszor intuitív. Nem véletlen, hogy bizonyos problémák kezelésében egy új jelölés bevezetése óriási előrelépés lehet.
Egyébként érdekes, hogy bizonyos feladatok (középiskolai szinten gondolkodva) nem éppen matematikai igényű szavakkal kifejezve, ügyes ötletekkel, sokkal könnyebben és gyorsabban megoldhatók, mint ha azt egzaktul matematizálni akarnánk (pl. kombinatorikai, gráfelméleti, elemi geometriai példák); ugyanakkor néha az a kulcs, hogy a "folyó szövegből" egy egyszerű formális konstrukciót hozzunk létre, amit sokkal könnyebben tudunk kezelni.
"Szerintem pedig pont az emberi elme nem használ ilyen egyértelmű kategóriákat. Gondolj csak arra, hogy a szépség mennyire különböző lehet, de ez a fránya nyelv csak arra képes, hogy szép vagy nem szép."
Teljesen igaz.
Végeredményben pont ezzel van a gond, vannak érzéseink, de a nyelv, mint legfontosabb kifejezőeszközünk az igaz-hamis állításokra van berendezkedve.
Szerintem az emberi elme nehezen tud megszabadulni az igaz-hamis (esetleg mindkettő és egyik sem) kategóriáktól, bármilyen új logikát bevezetünk, abban ott van ugyanez az igaz-hamis szemléletmód.
Szerintem pedig pont az emberi elme nem használ ilyen egyértelmű kategóriákat. Gondolj csak arra, hogy a szépség mennyire különböző lehet, de ez a fránya nyelv csak arra képes, hogy szép vagy nem szép.
Persze a gondolkodás bizonyos fokig nyelvi , de nem csak is nyelvi , hiszen nem hagyhatjuk ki az intuíciót belőle. Az MI is ebben az irányba halad (Amit KoporShow írt, az is erre emlékeztet).
Nekem az a megérzésem, hogy a matematika többértékű logikái csak akkor lennének a kétértékűre nem visszavezethetők, ha intuitív fogalmakkal is tudnánk valahogy operálni.
Nagyon bonyolult. Ha jól emlékszem, néhány axiómának a függetlensége nem nem nagyon nehéz (pl. az abszolút konzisztencia is igazolható). A RA, az AC függetlensége viszont nagy teljesítmény volt a saját korában. Az RA-t Neumann csinálta meg (?-legalábbis az ő belső modell-bizonyítását lehet olvasni) kb. az 1920-as évek legvégén. Gödel csinálta meg a GCH konzisztenciáját a ZF-fel, abból AC konzisztenciája következett. Ő minimális belső modellt definiált (ún. konstruálható halmazok, a formula jelölése: V=L), amely az összes lehetséges halmazok számát csökkentette, és így a kontinuum-hipotézis ebben a modellben igaz, ebből AC is, és pl. nem létezhet mérhető számosság (D. Scott, 1961.). És egyéb nagyon fontos formulák is igazak ezekben a modellekben, amelyek ma is használatosak. A konstruálhatóság a nyolcvanas évek közepe óta ismét reneszánszát éli.
1963-ban Paul Cohen ~GCH, és ~AC konzisztenciáját igazolta, ezzel a függetlenséget megmutatta. Ez az egész matematikatörténet egyik legfontosabb eredménye. Az oktatás-topikodban én is leírtam az ~AC konzisztenciáját ZF-fel, ami egyébként nehezebb a ~CH-nál. A teljes függetlenséghez egyszerre több axiómát kell kicserélni, azt nem tudom, hogy mikor csinálták meg. sashimi szerint iterált, bounded, stb forszolással szoktak ilyet bizonyítani (pl. a feltételhalmazra kappa-zártságot definiálnak, így több, akár végtelen sok formulát lehet egyszerre forszolni, vagy az antilánc megengedett számosságát változtatják...).
Szerintem lehetne irni olyan szamitogepes programot, amely sehányértékü logikaban matematizal.
Pontosabban: Egy szimbolummanipulacios es egy objektumkezelo rendszert, es ahol a szimbolumok az objektek folotti szemantikai kapcsolatokat reprezentalnak. A szimbolumok es az objektek kozotti kapcsolat egy algoritmus altal adott, amely egyes szimbolumcsoportokat tesztelne az objektumok segitsegevel - bizonyos objektumhalmazok tudnanak formulahalmazokat "falszifikalni". (A "falszifikalas persze nem jo szo, mert nem a keterteku logikaban vagyunk.) Mindenesetre az objektumok es formulak kozott lenne egy modell <-> absztrakcio kapcsolat.
Mindezt meg lehetne szerintem ugy is oldani, hogy az absztrakcio ne emlekeztessen semmifele ismert kogikara, masreszt a ZF-nel erosebb lenne abbol a szembontbol, hogy a ZF-et bizonyos esszeru modon modellezne. (A modellezest fogalmat persze megfeleloen kell ehhez megvalasztani).
Valóban, ez egy függvény a kétértékű szemantikában, azaz a fv. létezésének igazsága nem kötődik 1-től különböző igazságértékhez. Ha a fuzzynak a kétértékű logika valóban speciális esete, akkor mondhatjuk, hogy a definíciókat is a fuzzy logikában, bár speciális esetként adjuk meg. Ez biztos jól ki van dolgozva, de ennyire nem értek a fuzzyhoz.
De lehet máshogy is, csak komplikált. Ezt akartam érzékeltetni a metanyelves érveléssel, hiszen a fuzzy logika formuláiról számos megállapítást tehetünk (tkp. ilyen az igazságérték-hozzárendelő fv. létének kimondása is), amelyeket elég nehéz a kétértékűnél több igazságértékkel jellemezni, de nem lehetetlen, akkor viszont ott a metanyelv metanyelve... Erről beszéltem a 2. pontban.
"A fuzzy logikában pl. egy formula a [0,1] intervallumban kontinuum sok érték közül egyet vehet fel."
Ez viszont olyan, mintha egy I->[0,1] operáció lenne a kétértékű logikában, amely minden I állításra értelmezve van.
Szerintem az emberi elme nehezen tud megszabadulni az igaz-hamis (esetleg mindkettő és egyik sem) kategóriáktól, bármilyen új logikát bevezetünk, abban ott van ugyanez az igaz-hamis szemléletmód.
Végülis, ha megköveteljük, hogy tetszőleges formailag helyes állításnak tulajdonítsunk igazságértéket, akkor Belnap logikája teljesen logikusnak tűnik abban az értelemben, hogy ellentmondásos axiómarendszerekben a "mindkettő", eldönthetetlen axiómarendszerekben az "egyik sem" igazságértékre valóban szükségünk van.
Van pl. négyértékű logika. Egyes lekérdező nyelvekben, ilyesmiben használatos. Egy-egy adat igazságértéke nem mindig dönthető el, ezért bevezethető a "mindkettő" és az "egyik sem" érték a "hamis" és az "igaz" mellé. Ez lenne Belnap logikája. A wikipedia is ír róla...
1. Egy nyelv szemantikai interpretációjában, ha kettőnél többértékű, akkor kérdés, hogy van-e megfeleltetés az elsőrendű kétértékű logikával abban az esetben, ha tetszőleges két igazság-értéket kiválasztunk. Ekkor számos formula igazságérték nélkül marad, kérdés, hogy ezeket a másik két igazságérték között el tudjuk-e úgy osztani, hogy pl. a kielégíthetőség, a következmény, stb. hagyományos fogalmát visszakapjuk a többértékű logikai ilyen definícióiból. Az is kérdés, hogy ez az elosztás összhangban van-e az eredeti (többértékű) interpretációból fakadó elvárásokkal. U.ez az eset, ha pl. az 1/2 igazságértéknek ftlen státust adunk.
A fuzzy logikában pl. egy formula a [0,1] intervallumban kontinuum sok érték közül egyet vehet fel. A zártság miatt lehet 0 és 1, ekkor visszakapunk vmit a kétértékű logikából, de egy 3/4 értékű formulának milyen értéket adnál? 1-et? Lehet, hogy ez jó, az 1/2 értékűek a ftlenek. Meg kell nézni, hogy így visszakapjuk-e klasszikus logikát. (pl. mik a fuzzy következtetési szabályok, stb.) Pl. amikor több, de véges sok 1/2-nél nagyobb (>> igaz) értékű formula konjunkciójának értékét nézzük, az lehet-e 1/2-nél kisebb, tehát hamis? Ha igen, az pech.
2. A metanyelv problémája, hogy ti. az a kijelentés, hogy 'az F mondat igazságértéke 2/578', milyen igazságértékkel rendelkezik. A metanyelv, tehát a formulákról szóló kijelentések logikája hány értékű szemantikai interpretációval rendelkezik? Itt akkor állunk szemben problémával, ha a metanyelvi hierarchia valamelyik tagjáról nem állíthatjuk, hogy "természetesen" többértékű szemantikai interpretációja van. Voltak matematika-filozófusok, akik a 'kizárt harmadik' elvében is harmadik értéket láttak. Az ilyen definíciók, érvelések gondolkodásunk természetes részei, a kétértékű logika máris háromértékűvé alakul, és ez lesz az "igazi" logika. (v.ö. intuicionista logika) Ekkor a probléma eltűnik.
Másik híres többértékű logika Lukasiewicz rendszere, ebben három érték van. A logikai programozásban is dolgoznak ilyennel. És vannak valószínűségi logikák, több is (pl. Keynes, a közgazdász!).
Lukasiewicz-csel kapcsolatban bizonyos, hogy részletesen foglalkoztak a Tarski-hierarchiával, típuselméleti szemantikával. De én még nem olvastam sajnos ilyen cikket.:( De megpróbálok utánanézni.
Az is lehet, hogy a metanyelvi hierarchiát máshogy, egyetlen szinten (intenzionális logikával) próbálják áthidalni, mert ez egy külön terület a fil. logikában.
Nemrég olvastam valahol, hogy a szokásos kétértékű logika mellett fel lehet építeni többértékű logikát is, pl. a kvantumelméletben használatos kvantumlogika.
Ezt olvasva nekem az a sanda gyanúm (mindamellett, hogy nem értek a témához), hogy hiába építünk fel 2-nél több értékű logikát, az teljesen azonos lesz a kétértékű logikával.
Legyen mondjuk három igazságérték: a, b, c. Ha I egy A axiómarendszerbeli állítás, akkor ennek igazságértéke, ha nem eldönthetetlen, a, b és c közül az egyik. Az viszont, hogy "I igazságértéke a" egy kétértékű állítás lesz. A háromértékű logikában a-nak megfeleltetve az igaz, b-nek a hamis igazságértéket, a háromértékű logikában is felépíthető a kétértékű logika, ebből az következne számomra, hogy a kettő azonos. A kétértékű logikába beágyazható a többértékű, pl. ha az a kétértékű logika (egy) valószínűségelmélete lesz.
Emellett lehet valami oka a többértékű logika feltételezésének?
Én is így voltam ezzel, de most már kétségeim vannak a modellelmélet belterjességét illetően.
Mondok egy nagyon egyszerű kérdést, ami kicsit nemsztenderd, de azért még se az.
1. Mely végesen generálható csoportok ágyazhatóak be véges csoportok ultraszorzataiba ?
A kérdésben ott van a halmazelméleti flavour, de a válaszban egyáltalán nem.
2. Ha megszámlálható sok szimmetrikus csoportot ultraszorzol, akkor abban ott van egy természetes normálosztó t.i. azon elemek amelyek lényegében nem mozgatják az elemeket. Ezekkel faktorizáljunk le. Mely végesen generálható csoportok ágyazhatók be a faktorba ?
NEM ISMERT, HOGY LÉTEZIK-E OLYAN CSOPORT AMI NEM.
iszonyú sok múlik rajta, hogy mi a helyzet.
a www.arxiv.org-on van egy cikk (most nem tudom megkeresni, Champetier írta társszerzővel, amiből a tuti Sela-Rips féle csoportelmélet és a modell elmélet kapcsolata világos lesz)
Az utolsó bekezdés azt a benyomást keltheti hogy a pcf (possible cofinalities) a szing. szám. hatv. elnevezése lenne. Ez nem igaz, hanem a pcf-módszer ezen a területen vezet fontos, ZFC-n belüli, vagy alig kívüli eredményekre. Egyébként számosságok szorzatán értelmezett ultrafilter szerinti ultraszorzat kofinalitása a possible cofinality, ha jól emléxem. (Több u.f lehet a szorzaton.)
Tudom, mert már régebben megtudtam, hogy ki vagy. Sőt, a cikkek absztraktját is olvastam, mint ahogy a legtöbb cikkedét is (a honlapodon és máshol). Mostanában tervezem egyébként a kandidátusi disszertációd olvasását és megértését. Remélem, addigra tartok majd azon a szinten, hogy megértem.
Mondjuk Gergo73 nem hasonlította össze Shelah-t és Sarnakot, és én sem.
Csak a halmazelméletről általában.
Valószínűleg meglepődnél, ha tudnád, amivel én találkoztam, már felületes áttekintésre is: hogy a halmazelméleti eredményeknek hány következményük van a csoportelméletben, mértékelméletben, vagy funkcionálanalízisben, és hány lehet még. Ezek nem is mindig kötődnek függetlenségi eredményhez.
De pl. a Woodin, v. a mérhető számosság általam ismert következményei az analízisben olyan jelentősek már most is, hogy az a vélemény alakult ki bennem, hogy könnyen lehet: néhány évtized múlva nagy számosság axiómára épülő funkanal (v. pl. csoportelméleti, v. diffgeo) eredményeket alkalmaz a fizika egy része. Eredmények már most is nagy számban vannak, csak nincs alkalmazásuk. És mivel az így létrehozott struktúrák tulajdonságokban igen gazdagok, az empirikus modellépítésben is könnyen szerepet játszhatnak.
Abba kellene belegondolni, amit már egyszer mondtam: az R "már majdnem" az egész halmazelmélet, hiszen a pl. CH független, és a rekurzívnak nevezhető (véges sok, egymás utáni, vagy akár pl. megsz-ó végtelen sok) eljárással létrehozott R-részhalmazok, mint pl. a projektív hierarchia szintjei, teljesen természetesen merülnek fel!, miközben messze túlmutatnak a ZFC-n, ahogyan a sokad(akár transzfinit)rendű logika, a 0#, vagy valamilyen módon nem definiálható halmazok is. Nem is beszélve a Martin-axióma, vagy a Szuszlin-h. következményeiről. Mindezek a témák korántsem mesterkéltek.
...
Én pl. nagyon kíváncsi vagyok, hogy a valószínűségelméletben milyen nem-triviális következményei lehetnek pl. végtelen sok Woodin-számosság feltevésének.
Ami a filozófiát illeti, meggyőződésem, ami a matematikát és fizikát, erős sejtésem, hogy Shelah, Woodin, Dodd, Jensen, Solovay neve maradandó.
Végül látni kellene, hogy a nagy-számosság axiómák felmerülése sokszor igen természetes és egyszerű fogalmak továbbgondolásából ered. Az erősen elérhetetlennél pl. egyszerűen csúcsot ültetünk az osztályra (melyet így persze folytatni kell). Vagy a szuperkompakt alatt m-ő sok m-ő van (a def nem ez), vagy pl. a Ramsey (ami kisebb). Nem véletlen, hogy az erősen elérhetetlen, és a mérhető számosság fogalma is ismert volt már 1930-ban.
Hasonlókat tudnék mondani a szinguláris számosság-hatványozásra is... (pcf) Komjáth Péter jegyzete hozzáférhető egyébként, és pl. Menachem Kojmané a neten. A Természet Világában K.P. és Laczkovich Miklós méltatta Shelah-t, (Bolyai-díj) rövid imertető olvasható ott a pcf-ről.
Rajtakaptal. Nem hogy elmagyarazni nem tudnam (föleg laikusoknak nem), de magamnak is csak nagyon felüleletes elkepzeleseim van ezekröl a temakrol.
Nem azt irtam, hogy ezek tetszölegesen erdektelenek, csak azt, hogy szerintem a halmazelmelet es amodellelmelet tulsagosan el van rugaszkodva a matematika fösodratol.
Szamomra az a szep, hogy sok mas terület között (komplex függvenytan,algebrai geometria, aszemelmelet, algebrai topologia, amelyeknek meg a praktikus matematikahoz is szoros kapcsolodasi pontjaik vannak) nagyon szoros es mely összefüggesek huzodnak. Valahogy nekem az egesz halmazelmelet es modellelmelet tulsagosan belterjesnek tünik. Ez persze (függetlenül attol, hogy ebben a latasmodban mennyi az igazsag) semmiben nem csökkenti Shelah erdemeit.
1. classification theory
2. proper forcing
3. pcf-elmélet
En ezeket peremterületeknek tartom. Szamomra egyebkent a halmazelmelet es a kategoriaelmelet jokora resze fölösleges ismeretek lerakatanak tünik.
Ezt nem kizarolag szemelyes izlere alapzom, hanem arra, hogy a matematikan belüli keresztkapcsolatok mas területek között sokkal tipikusabbak. Az alkalmazott matematika es fizika is sokkal melyebben es erdekesebben kötödik sok mas klasszikusabb területhez.
Ezert ertenek Gergövel is egyet. Nekem Sarnak eletmüve jobban imponal mint a Shela-e. Ez persze nem a szellemi tevekenyseget erintö lekicsinylesböl, hanem az erdeklödesemmel valo sulyozasbol adodik.
3. A megfelelő családban az L-függvények fele bizonyithatóan nem tűnik el, stb.
Hangsúlyozandók Sarnaknak a Ramanujan-Selberg sejtéssel kapcsolatos eredményei is. Mind a racionális számok, mind számtestek felett övé a legjobb eredmény.
Sarnak rendkivül széles látókörű és mélyen intuitiv ember. Munkássága olyan területeket ötvöz és fog át mint: parciális differenciálegyenletek, funkcionálanalizis, ergodelmélet, Riemann-geometria, analitikus és algebrai számelmélet, Lie-csoportok és homogén terek, automorf formák, kombinatorika, valószinűségszámitás, matematikai fizika. Legeredetibbnek és legmélyebbnek az alábbi eredményeit tartom:
1. Phillips-Sarnak (1985). Nemkompakt (de véges területű) aritmetikus hiperbolikus felület diszkrét spektruma deformáció hatására megfogyatkozhat (pontosabban a folytonos spektrumba vándorolhat át). Bizonyos standard sejtéseket (a sajátértékek multiplicitására és bizonyos L-függvények eltűnésére vonatkozólag) feltételezve az elméletből az is következik, hogy a csúcsbeli spektrum (más szóval az ún. Maass-formák) csak aritmetikus felületeknél létezhet vagy lehet számottevő, szöges ellentétben Selberg várakozásával (aki a nyomformula segitségével a diszkrét spektrum dominanciáját tudta igazolni az aritmetikus eseteben).
2. Lubotzky-Phillips-Sarnak (1988). Végtelen sok Ramanujan-gráf létezik. Ezek a gráfok nagyon konkrétak és több szempontból megverik a legjobb valószinűségi konstrukciókat (pl. nagy kromatikus szám és nagy minimális körhossz egyszerre, vagy nagyon jó expander tulajdonság).
3. Iwaniec-Sarnak (2000). Hipotetikus Landau-Siegel gyök hatása moduláris L-függvények centrumbeli eltűnésére. A megfelelő családban az L-függvények fele bizonyithatóan eltűnik, mig a sejtett arány 100%, de már 51% elegendő a Landau-Siegel gyök kizárásához (ami minden eddiginél nagyobb előrelépés lenne a Riemann-sejtés irányába).
4. Katz-Sarnak (1999) és Iwaniec-Luo-Sarnak (2001). L-függvények (pontosabban: L-értékek) természetes családjaiban a gyökök eloszlása 4 fajta véletlen mátrixcsalád egyikének sajátértékeloszlását követi: ortogonális, páros ortogonális, páratlan ortogonális és szimplektikus. Ennek a szimmetriának a forrása a racionális számok felett egyelőre rejtély, de a véges testek feletti függvénytestek esetében egy monodrómiacsoporttal azonositható.
5. Sarnak (2001). Az általános Riemann-sejtés szoros kapcsolatban áll a fizikusok egyik fontos problémájával (quantum unique ergodicity). Igazából csak a Riemann-sejtés egy következményére (szubkonvex becslés a kritikus egyenesen) van szükség, ami speciális esetben mai eszközökkel is elérhető. Meglepő módon aritmetikus felületeknél a konklúzió ellentétes a fizikusok várakozásával és kisérleti eredményeivel: a Maass-formák nem koncentrálódnak geodezikusok köré, sőt a tömegük határértékben egyenletesen oszlik el.
6. Sarnak (előkészületben). Hilbert 11. problémájának lezárása. Ez a probléma nincs pontosan megfogalmazva: "Damit wird insbesondere zu der interessanten Aufgabe, eine quadratische Gleichung beliebig vieler Variabeln mit algebraischen Zahlencoeffizienten in solchen ganzen oder gebrochenen Zahlen zu lösen, die in dem durch die Coefficienten bestimmten algebraischen Rationalitatsbereiche gelegen sind." Más szóval legyen K egy algebrai számtest és q egy tetszőleges n-változós K-beli együtthatós másodfokú polinom és keressük meg a q nullhelyeit K-ban vagy a K egészeiben. A K-beli nullhelyek lokális módszerekkel megtalálhatók: ebben az értelemben Hasse már 1923-ban megoldotta a problémát (Hasse-Minkowski tétel). De ha a K egészeiben keressük a megoldásokat, akkor sokkal bonyolultabb a helyzet. Az egyszerűség végett szoritkozzunk arra a kérdésre, hogy a K egészei közül melyek állnak elő n db négyzetszám összegeként. Ekkor minden eset elintézhető klasszikus módszerekkel, kivéve ha n=3 és K teljesen valós. Ezt az esetet oldotta meg Sarnak: ha N egy "elegendően nagy" K-beli egész, amely a K egészeiből származó bármelyik maradékosztálygyűrűben előáll 3 négyzetszám összegeként, akkor N ténylegesen előáll 3 négyzetszám összegeként. A bizonyitás kulcslépése ismét egy szubkonvex becslés (bizonyos K feletti holomorf formákhoz tartozó L-függvényekre).
Nem szeretném azt a benyomást kelteni, hogy nevetséges párbeszédünket tovább folytatjuk, de érdekelne, hogy mit tartasz Sarnak fő érdemeinek. Hiszen ebből tanul az ember.
"Dr. Szabo Gabor, a Szegedi Tudomanyegyetem rektora erdeklodesunkre elmondta: meg nem hoztak nyilvanossagra a felmerest vegzo egyetem weboldalan, de nekik mar vannak informacioik arrol, hogy a szakanyagokban legtobbet idezett matematikus is szegedi."
Nepszabadsag, januar 16.
A Csorgo Sanyinak a Magyar Tudomany 2000/12-es szama (tehat az akademiai ajanlasa) szerint 1775 idezete van.
Én nem az idézettségről beszéltem és nem is arról, hogy ki kinél nagyobb matematikus. Csak hangot adtam annak a véleményemnek, hogy Sarnakot mindenképpen a legnagyobbak között kell számontartani. Egyébként többek között Lax Péter volt az, aki nagyon szerette volna, ha Sarnak megkapja a Fields-érmet.
Nem állíthatom, hogy nincs igazság a megjegyzésedben, tényleg nem ez a legfontosabb.
De az eredmény elismerése nemes dolog.
Továbbá igazi teljesítményről van szó, amely előrehajtja az emberi civilizációt. Amíg az emberi kultúra folytonosságában fennáll, és egy tétel a nevedet viseli, az a nevedet viseli majd évezredek múlva is.
Végül, ha az ember pl. tudja, hogy Erdős vagy Pólya hogyan élt, mi volt a véleménye, stb., esetleg tippet kaphat ahhoz, hogy hogyan szervezze a saját életét, ha kutató akar lenni.
És Shelah? Nekem azt mondták, hogy Shelah a legnagyobb. Az abszolút sztár. Ha jól tudom és számolom, legalább három önálló kutatási területet alapozott meg három könyvben. 1. classification theory
2. proper forcing
3. pcf-elmélet. És akkor a tömérdek resztliről ne is beszéljünk. 58 éves korára 800-nál több cikk.
Ahogy Jo Tunder mondaná: nem értem, hogy hogy lehet valaki ilyen iszonyú cool. Michael Jordan a kosárlabda Shelah-ja:).