Szerintem azért, mert lényegében u.az a mérték több szigma-algebrán is lehet releváns. Példa: Lebesgue-mérték szigma-alg-ja a B(X) Borel-m-ő halmazok szigma algebrájának teljessé tett bővítése. B(X)-en a "szűkebb" mértéket Borel-mértéknek nevezik.
Én ezt nem tételként, hanem definícióként olvastam; vagyis m bővített, nemnegatív, valós értékű függvény mérték H-n, ha a H-beli szigma-algebrákon értelmezve van, szigma-additív, és az üres halmazhoz 0-t rendel.
Ez a definíció alapból kizárja a nemvalós számokat...
Dehogynem, ha van értelme akkor lehet értelmezni nemcsak valósakat felvevő halmazfüggvényt. De ennek ritkán van értelme.
Alef_10 esetén pl. ne feledd, hogy a kontinuum-hipotézis független. Ha kikötjük, van látszólag távoli feltevéssel dolgozunk, és abból kapunk a kontinuumra megkötést, akkor Alef_10 könnyen viselkedhet jól.
Egyébként van egy nagy számosság-axióma, hasonló tulajdonságokat vizsgál: a valós mérhető számosság.
A darabszám az ún. számláló mérték, ezt úgy szokták érteni, hogy végtelen halmaz mértéke végtelen, tehát számosságot nem rendelnek a halmazhoz, de általánosításként szerintem lehet. Rendszámot nem lehet, hiszen tetszőleges halmaz sok azonos számosságú típusú rendezése lehetséges. A számláló mérték szigma-algebrája akár az egész P(X), amely nyilván mindig szigma-algebra. Más mértékeknél nem ilyen kedvező a helyzet, van maximális szigma-algebra. Pl. a Lebesgue-mértéknél (amely a legfontosabb).
Egy legkisebb elemmel rendelkező rendezett halmazban "ott vannak" a természetes számok a szokásos rendezéssel, és ezekre (a halmazban) érvényes az arkhimédészi axióma.
Lehet-e a halmaz számossága kontinuumnál nagyobb?
Ez szorosan kapcsolódik az előző kérdésemhez, mert teljesen laikus sejtésem, hogy a fenti feltételek szükségesek ahhoz, hogy egy halmaz elemei mértékszámként előállhassanak.
Egy mértékre belátható, hogy a rá mérhető halmazok szigma-algebrát alkotnak. Ez zárt a megszámlálható unióra és a komplementerre, vagy ami evvel ekvivalens: megszámlálható metsztre és különbségre, tertalmazza az üres halmazt, és az alaphalmazt.
Ahová lényegében ki akartam lyukadni, hogy a mértékek legtöbbször valós értékűek szoktak lenni; de egy tetszőleges kontinuumnál nagyobb számosságú, végtelen halmazhoz is csak valós mértékeket rendelünk? Nem célszerű egy alef(10) számosságú halmaz mértékét egy szintén alef(10) számosságú halmazból válogatni?
Például ha egy megszámlálható halmaz mértékének a darabszámot nevezzük (ez mindenképpen célszerű a valszám miatt, bár nem tudom mi a pontos def), akkor a megszámlálható (bővített) természetes számok közül "választunk" mértéket, a kontinuum halmazokhoz pedig a szintén kontinuum (bővített) valós számok közül.
Azt szeretném kérdezni, hogy milyen alapfeltevések szükségesek ahhoz, hogy egy (tetszőleges) halmazrendszerhez mértékfüggvényt rendeljünk? (Nyílván egy halmaz mértékéről önmagában nincs értelme beszélni, de milyen (a lehető legkevesebb axiómával rendelkező) térben lehet már biztosan a tér egy részhalmazának mértéket tulajdonítani?)
Az intuiciót sokkal összetettebb jelenségnek tartom. Pl. Riemann csak minimálisan tudta ellenőrizni a hipotézisét, mégis úgy fogalmazott, hogy az "nagyon valószinűnek tűnik", lásd az eredeti cikket.
a hetvenes évek elején Németi István is csinált életlen logikát Ehhez tudsz valami tippet mondani, hogy hol keressem?
(A publikációs listájában van valami olyan 1973-ból, hogy: "Az általános rendszerelmélet formalizálásának és alkalmazásának logikai alapjai" Ebben lenne? )
a teljes valószínűség tétele alapján, ha logikailag értelmezzük a dolgot, a következményekből valószínűsítünk a feltételre. Ti. a tételben a fordított feltételes valószínűségekből határozzuk meg az eredeti feltételes valószínűséget. Úgy gondolom, hogy ez az oka annak az intuíciónak, amely pl. a Riemann-hipotézis igazságát a következményei beigazolódása alapján illeti nagy valószínűséggel. Másrészt a Riemann-hipotézisnek végtelen sok következménye van, míg a tételben, ha jól emlékszem, teljes eseményrendszert alkotnak a fordított feltételes valószínűségek. Ez az intuíció gyenge pontja.
Csupán két megjegyzés:
1. a hetvenes évek elején Németi István is csinált életlen logikát. A nem 0 vagy 1 értékű igazságot az axiómarendszertől független formulákként értelmezte, és ismételt kísérletek eredményével interpretálta: a független formula ig.értéke egyre(?) nagyobb, de nem 1, ha újra és újra kijön eredményként, (vagy mondjuk inkább, hogy következményei egyre nagyobb számban konzisztensek?).
2. Viszonylag nagy nemzetközi irodalma van annak a kérdésnek, hogy a fuzzy tkp. a valószínűség egy formalizációja-e. Én olvastam egyszer erről: Pauler Gábor pécsi matematikus-közgazdász(?) PhD-hallgató cikke a Szigma nevezetű matematikai-közgazdasági folyóirat 1996. évi egyik számában jelent meg (azt hiszem, rég volt, 98-ban olvastam). Ő amellett érvelt, hogy nem valszám a fuzzy. Én akkor arra jutottam, hogy az ő érvei alapján nyugodtan lehet (sőt, meg is formalizáltam valószínűségi mezővel, szerintem könnyű.).
Arrol meg nem is szolva, hogy valojaban a genek kombinalodnak, nem a bazisparok, a mutaciokat leszamitva. Ezt inkabb egy biologia topikban kene inkabb kitargyalni, nem a matematikaban.
Ha azonban feltesszük, hogy mondjuk minden 100000-b?l csak egy helyen lehet megváltoztatni a bázispárt, máris csak 10^120-ont kapunk, magyaran a kezdeti adatokban valo bizonytalansag olyan nagy eltereseket okozhat, hogy az alabbi becslesek nem ernek tul sokat.
4-nek a tizes alapu logaritmusa 0,6, vagyis az elozo szam az kb. 10 a 12 milliomodikon, ez irdatlan szam.
De figyelembe kell meg venni egy csomo dolgot, amihez nekem nincsenek kello biologiai ismereteim, pl.
kulonbozo sorozat is kodolhatja ugyanazt az aminosavat (redundencia van), tehat egy bazisparban valo elteres meg eredmenyezheti "ugyanazt" az embert.
Aztan hogy a valtozatok kozul mennyi az eletkeptelen, azt megsaccolni sem tudom.
Hat egy durva felso becslest tudok csak adni:
3 milliard bazispar van, ebbol tobb, mint 99% minden emberben megegyezik. Marad tehat kevesebb, mint 30 millio. De ez sem teljesen veletlenszeru, a DNS 30%-a ismetlodo szakaszokbol all. Felteve, hogy ezek egyenletesen oszlanak el a 99 es az 1% kozott, marad kb. 20 millio bazispar. Minden bazisparnak 4 variacioja van, ez 4^20000000.
Persze tudom, hogy a kérdés csak elméleti jelentőségű mivel akkora számról lehet szó amely csak hatványalakban írható le és több 100ezer v millió év kellene, hogy elérjük.
Már régóta megfogalmazódott bennem egy kérdés ami sokkal inkább biológiai mint matematikai, de nem tudom máshol feltenni.
Nevezetesen hányféle lehetséges kombinációja van az emberi DNS-nek amiből értelmes,egészséges ember születhet? Úgy is megfogalmazhatjuk, hogy hány embernek kell ahhoz születnie a Földön, hogy találjunk közöttük két teljesen egyformát? (Természetesen az egypetéjű ikreket kizárva, mert az ő génállományuk már ugyanolyan)