Választasz egy R2 rendszert, amelyben Aladár áll, Béla mozog. Ebben az R2 rendszerben egyidejűlegbeállítod mindkettő óráját azonos értékre, mikor még távol vannak egymástól.
Naivan érdeklődnék, hogy különböző sebességgel mozgó távoli megfigyelők óráját hogyafenébe lehet szinkronizálni...
Nem jutottunk ugyanarra. Mert mi nem kevertük össze a dilatációt, az ikrek kétszeri találkozójával, amit ikerparadoxonnnak neveznek. De valójában nem is paradoxon, mert nem mond ellent a relativitás elvének, hisz nem szimmetrikus a két fél mozgása.
Az idődiletációnál két egyenesől van szó, de a ikerparadoxonnál egy hromszögről, mert az idődiletációnál legfeljebb egyszer találkoznak, de az ikerparadoxonnál kétszer: indulás és érkezés .
Már nem azért, de Tis is ugyanarra a paradoxonra jutottatok, mint én. Márpedig azt mondom, akkor az állítás nem lehet igaz...
Amúgy meg a specrel szerint természetesen akkor volt idődilatáció, amíg egymáshoz képest mozogtak. Utána már együtt járnak ugyan, de az idődilatáció szerint eltérő időt kéne mutatniuk.
Az ikerparadoxon meg az idődilatáció következménye, nincs mit keverni rajtuk...
Találkozáskor - amikor már egymáshoz képest nyugalomban vannak - mit fognak mutatni az óráik?
Ez értelemszerűen attól függ, mire voltak beállítva korábban. Ezt nem adtad meg, enélkül pedig nem lehet megmondani.
Mondok példákat:
1. Választasz egy R1 rendszert, amelyben mindkettő sebessége azonos. Ebben az R1 rendszerben egyidejűleg beállítod mindkettő óráját azonos értékre, mikor még távol vannak egymástól.
Találkozáskor egyforma időt mutatnak.
2. Választasz egy R2 rendszert, amelyben Aladár áll, Béla mozog. Ebben az R2 rendszerben egyidejűleg beállítod mindkettő óráját azonos értékre, mikor még távol vannak egymástól.
Találkozáskor Aladár órája többet mutat.
3. Választasz egy R3 rendszert, amelyben Aladár mozog, Béla áll. Ebben az R3 rendszerben egyidejűleg beállítod mindkettő óráját azonos értékre, mikor még távol vannak egymástól.
Ha a fénysebesség abszolút, idődilatációnak a nem inerciarendszerekben is föl kell lépnie. Itt nem az a releváns, hogy inerciarendszer hanem, hogy egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerek. Ami számomra következik ebből, az az idődilatáció szimmetriaparadoxona. Nem kaptam választ rá, ezért egy kicsit másképp még egyszer fölteszem a kérdést: Találkozáskor - amikor már egymáshoz képest nyugalomban vannak - mit fognak mutatni az óráik?
Legyen két inerciarendszer (mondjuk A és B), amelyek egymáshoz képest kezdetben v1 sebességgel mozognak.
Mindkét vonatkoztatási rendszerben meg lehet határozni az egyidejű eseményeket. Habár a két megfigyelő nem ugyanazokat az eseményeket fogja egyidejűnek tekinteni. (Legyen EA és EB.)
Most az egyik vizsgált rendszert gyorsítsuk véges idő alatt v2 sebességre.
(Nem mondom, hogy véges T idő alatt, mert ez az időtartam a két megfigyelő szerint eltérő lesz.)
Az egymáshoz képest immár v2 sebességgel mozgó inerciarendszereből is meg lehet állapítani az egyidejű eseményeket.
Na de mi történik gyorsítás közben?
(Tegyük fel, hogy a sebesség nem ugrik.)
Igaz az, hogy az (1) és (2) állapotban egyidejű Ei(vj) eseményeket - gyorsulás közben - folytonos leképezés viszi át egymásba?
Te nem érted. Megint elkezdünk vitatkozni az egyidejűségen.
A Föld saját IR-ben, időtengely egybeesik a világvonalával.
A hajó saját IR-ben is.
A két négyessebesség íránya csak akkor párhuzamos, ha a két időtengely is az. Akkor a két saját IR ugyanaz, akár egymásra tólható is, de lehetnek millió fényév távolságra is.
Ebben az esetben és csakis ebben, a Föld vagy a hajó bármelyik eseményére szerkesztett ortónormált hipersík halmazába benne lesz a hajó vagy a Föld világvonalán egy esemény. Ez a két esemény egyidejű.
Ha a rá következő eseményben szerkesztek új hipersíkot és abba a halmazba is létezik egy esemény, ami a Föld vagy hajó IR-ben is benne van.
Na, csak ebben az esetben lehet megállapítani közvetlenül , ha az egyik óra késett. De persze, nem késett.
De hadoválsz összevissza a GPS műholdakról is.
Legyen az O esemény egy nagyon ritka bolygó középpöntja. A lila világvonal a bolygó felszínén ketyegő óráé (ennek a sugara 1fényév és a felszínén a sajátgyorsulás 1g), piros 0.67 fényév magasságon álló műhold órájának a világvonala (a sajátgyorsulás 0.6g). Tehát az AA'=BB'- (ez egy állandó érték marad bármekkora ω-nál )- hiszen a világvonalak excentrikus sugarú körök. Az ω egy sajátidőtől függő paraméter, a sugarai az összes körnek. A sugarak a világvonalakon haladó órák négyessebességének irányára merőlégesek, vagyis egyidejűségi egyenesek (kifeszítik a negyed minkowski téridőt). T=ω=0 -ban kezdtük mérni az időt az órákon, ω=0.5-nél, a B és B' események egyidejűek és az eltelt sajátidők aránya:
A τA'B' / τAB =(r+Δr)/r = (1+0.69)/1=1.69.
Amúgy
r2=r2cosh2(ω)-r2sinh2(ω)
Persze az ábrán az ω másodpercbe értelmezve egy rettenetesen nagy szám, és az r az is fényév.
De csak a lépték kérdése, hogy kiszámoljuk, hogy a 36km magasságban a geoszt. műhold mekkora sajátidő pluszt szed össze egy Földi órához képest, például egy földi év alatt.
"akkor és csakis akkor tudjuk a Földi (mondjuk térben álló és pontszerű) óra világvonalán és egy hozzá képest a térben gyorsan mozgó óra egyidejűségét megállapítani, ha azok egy inerciarendszerben vannak"
Én nem tudom feoldani az idődilatációból következő paradoxont.
A világűrben két űrhajó halad egy egyenes mentén egymás felé azonos állandó sebességgel. Találkozáskor melyik órája fog késni?
Ez Így ebben a formában rosszul feltett kérdés. Nyilván nem lesz rá jó válasz. Kicsit talán szemléletesebb, ha Einstein vonatos példáját elemezgeted egy kicsit. Van egy hosszú egyenes sínpár, mellette A és távolabb szintén a sín mellett egy B állomás. Amikor az egyenletes sebességgel áthaladó vonat az A állomáson áthalad az elején elhelyezett óra állását leolvassa és feljegyzi az A állomás baktere és feljegyzi, hogy a saját órája mennyit mutatott, majd amikor a vonat áthalad a B állomáson az ottani bakter ugyan így jár el. A két bakter órája szinkronizálva volt. Az adatok kiértékelésekor a bakrerek órái szerinti időkülönbség nagyobb, mint amit a vonaton levő óra mutatott. Ez az idődilatáció jelensége. Ha megfigyeled, akkor ugyan azt az órát két különböző helyen olvasták le és a vonathozképest mozgó inerciarendszerben szinkronizált két különböző órához viszonyították. A vonaton utazó megfigyelők szerint az óráikkal semmi baj sincs, csak a két állomás közötti távolság kisebb, mint azt a bakterek állítják. (Ha elég hosszú a vonat, akkor a vonaton szinkronizált órák szerint megjelölhetik a vonaton, hogy valamely időpontban hol volt az A állomás és hol volt a B.) A bakterek persze tiltakoznak, mert szerintük nem egyidejűleg jelöltek a vonaton utazó megfigyelők. Ez nem más, mint az egyidejűségek relativitása. Magyarán, ami az egyik inerciarendszerben egyidejű, az egyáltalán nem jelenti azt, hogy a másik inerciarendszerben is egyidejűleg történik.
Az Einstein szerinti szinkronizáció használva, egy anyagi pont világvonalán az egyik eseményben húzott érintő a sajátsebesség vektor iránya, az arra ortonórmál hipersík a vele egyidejű események halmaza.
A szimmetria miatt, csak akkor és csakis akkor tudjuk a Földi (mondjuk térben álló és pontszerű) óra világvonalán és egy hozzá képest a térben gyorsan mozgó óra egyidejűségét megállapítani, ha azok egy inerciarendszerben vannak.
Így közvetlenül nem létezik olyan módszer, amiben kölcsönösen meg tudják állapítani az egyidejűségüket- (feltételezve, hogy egy eseményből indultak- a kölcsönös egyidejűséggel meg lehetne határozni, hogy kinek mennyi ideje telt el a saját óráján).
Az idődilatáció más dolog, mint az ikerparadoxon, ne keverjük a kettőt!
A két egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó megfigyelő közötti idődilatáció szimmetrikus. Saját idejükhöz (a rendszerükben álló óra járásához) képest mind a ketten lassabb járásúnak mérik a másik óráját.
Az ikerparadoxon viszont aszimmetrikus, két találkozásuk között mindig annál a félnél telt több sajátidő, akinek mozgása kevésbé tért el az inerciális mozgástól. A leghosszabb annak, aki egyáltalán nem is gyorsult.
De ezt az időeltérést mégse maguk a gyorsulások okozzák, hanem folyamatosan gyűlik a trajektóriákon való mozgásuk során. A dolog matematikája ugyanolyan, mint a háromszög-egyenlőtlenség matematikája. Annyi különbséggel, hogy ez egy antiháromszög-egyenlőtlenség, itt az átfogót alkotó világvonal mindig hosszabb, mint a befogókat alkotó világvonalak hosszainak összege. A különbség egyetlen negatív előjel, mert míg az Euklideszi sík metrikáját a Pitagorasz tétel: r2=x2+y2 adja, addig az 1+1 dimenziós téridő Minkowski metrikáját: az i2 =(ct)2 - x2 összefüggés.
A háromszög egyenlőtlenségre se mondhatjuk, hogy azt maguk a háromszög sarkai (az ottani irányváltások) okoznák, és nem mondhatjuk azt se, hogy maguk az egyenes oldalak "okoznák". Hanem az egész háromszög egyben "okozza". Pontosabban az Euklideszi tér metrikája.
Kézenfekvő lehetőség, hogy egy GPS műhold adataiból kiszámoljuk, az ő rendszerében - ahol a benne levő atomóra időalapját tekintjük a saját idejének (persze minden korrekció nélkül) - milyennek látszik a Föld óráinak járása. Amit abból tud, hogy az ő jó óráját hogyan korrigálják a földiek rosszra... :-)
A kommunikáló űreszközök vételkor rá kell álljanak a Földi adás frekvenciájára. Az pedig a relativisztikus Doppler képlet szerint tolódik el, amiben benne van az is, hogy az eszköz rendszerében hogy járnak a Föld órái.
Hogy konkrét célzott kísérletet végeztek-e erre, nem tudom. Persze ha nem stimmelne, azt észrevették volna.
Nekem is lenne egy banális kérdésem ezzel az ikerparadoxonnal kapcsolatban:
Azt sok dolog igazolja, hogy a mi földi óráinkhoz képest a gyorsan mozgó órák lassabban járnak. Nem, nem amikor megállítják és egymás mellét téve összehasonlítják őket, hanem még "röptükben". Pl. müon élettartama, gps műholdak (bár azokon inkább gyorsabban jár, de be kell számítani a specrelt is). Szóval a dolognak ez a része biztosan igaz.
De van-e olyan kísérlet vagy megfigyelés, ami közvetlenül azt igazolja, hogy a nagy sebességű rendszerből nézve a mi óráink szintén lassabban járnak?
Bizonyára láttad a Gravitáció című filmet, ahol a nagy sebességű műhold alkatrészek trancsírozzák egymást. Ezek is inercia rendszerek és egyenrangúak, habár a nagyobb és gyorsabb, nagyobb kárt okoz a kisebb és lassabb „inercia rendszernek”. A biztosító társaságokat győzködd egy alapfeltevésből eredő hatásról. :)
