"Az érmék keletkezésének időpontja összhangban van Anaxagorász (500—428) és Démokritosz működésének idejével (460—380), így ebben az esetben a művészeti gyakorlat és az elméleti reflexió párhuzamos fejlődését tapasztalhatjuk.
A kutatók általában megegyeznek abba, hogy Menaechmosz (Erasztosztenész szerint 350 körül, Platón akadémiáján) tanulmányozta először a kúpszeleteket (részletesebben lásd: van der Waerden [1966], Erw. Wiss., 265—267. és 331—334. oldal, vagy mélyreható elemzését Knorr [1986], 3. és 4. fejezetében).
Ha ellipsziseket látunk Menaechosz előtt mintegy hetven évvel, úgy feltehetjük hogy a matematikusok már korábban is foglalkozhattak velük. Valójában már Démokritoszt is foglalkoztatta — atomelméletével összefüggésben — a kúpszeletek kérdése (van der Waerden, 228. oldal). Egyéb forrásunk azonban Euklidészt megelőző, azaz a Kr. e. 300 előtti időkből nincsen. Euklidész Optiká-jában a következő, 36. tételt olvashatjuk. "A szekér kerekeit olykor körnek, olykor (ferdén) rajzolva látjuk" (Euklidész—Heiberg, Optica [1885], 80—81. oldal). Ennek bizonyítására egy előbbi (segéd)tételt használ, s hozzáteszi, hogy a ferde nézetben az egyik átmérő maximális, a másik minimális hosszúságúnak látszik, míg a többi hossza e kettő között van. Egyetlen szó sem esik kúp- (vagy henger-)szeletekről! Másrészről nyilvánvaló a célzás az érméken látható művészi ábrázolásra: midőn a szekér hirtelen irányt változtat a forduló-oszlop körül, a kerekek ferde látványa tárul elénk."
"Vitruvius, a római építész De Architectura című művének hetedik könyve bevezetésében Anaxagorász és Démokritosz könyveit említi, melyekben színházi színpadok valamiféle perspektivikus tervezéséről szólnak. (Részletesebben lásd: van der Waerden [1966], Erw. Wiss., 224—226. oldal). A művészeti megjelenítés változása, vagyis elölnézete helyett a tárgy valamiféle perspektivikus ábrázolása először Szirakuza érmein figyelhető meg. "A Kr. e. 425 körüli időkig a szirakuzai és minden egyéb érméken a kvadriga látható, ritka kivételként [lóval] nyugodtan lépkedve a győzelmi oszloptól. Ezt követően a lovakat — mintegy a versenyzés folyamatában — mindig ügetve ábrázolták" (Kraay [1974], 221. oldal). Ez utóbbi érméken a kvadriga a verseny legdrámaibb pillanatában jelenik meg: a lovak teljes sebességgel vágtatnak a forduló-oszlop körül, a szekér kerekei pedig ferde nézetben, ellipszisként vannak ábrázolva. A megjelenítés változását Kraay 807 (a kerék kör alakú) és Kraay 808 (a kerék ellipszis alakú) jelű érméin követhetjük nyomon..."
"Ez a négydrachmás, a szobrászat történetének kiemelkedő jelentőségű emléke a Kr. e. 432 előtti időkből, az első eredeti, megmaradt, névvel ellátott portré az időszámításunk előtti ötödik századból" (Seltman, 144. oldal). Minthogy az érmét hetven évvel Püthagorasz halála után verték, a portré aligha akart a mai értelemben valóságos képmás lenni, ami a két különböző érméből is kitűnik. S hogy nem egy magiszter portréja, arra egyéb abderai érmékből következtethetünk — lásd például Kraay 530—542. oldal —, melyek esetében a név és a szimbólum egymással kapcsolatban áll, de nevezetes érménk kivételével portrét nem ábrázol."
"A trákiai Abdera és ión anyavárosa, Teos érmeinek előlapja ugyanazt a griffmadarat — mint a polgárság jelképét — ábrázolja. Abdera vert pénzeinek jellemző vonása, hogy megjelenítik a pénzverő vagy a magiszter nevét. A 470-es éveket követően ezek a nevek teljességükben jelennek meg a hátlapok a mélyen metszett négyzet körül, amelyet viszont különféle istenségek, élettelen tárgyak, állatok vagy egyebek töltenek ki. Egyikükön "Püthagorasz neve és egy szakállas fej látható, mely aligha akart volna mást, mint az előző évszázadban élt híres filozófust ábrázolni" (Kraay [1974], 155. és 535. oldal, 430 körül; hasonlóan Burkert [1962], 185. oldal, 70. sz. jegyzet és May [1966], aki dicséri az érme nagyszerű művészi minőségét).
A művészettörténészek szkeptikusan szemlélik történelmi személyiségek portréját a Kr. e. ötödik századból származó érméken. Mindazonáltal ismét Seltmant idézem, aki hangsúlyozza a jól ismert abderai filozófiai iskolával (Protagorász, Démokritosz) fennálló kapcsolatot: "Nem hagyhatjuk figyelmen kívül az ünnepelt filozófiai iskolával való kapcsolatot, melynek az abderai Démokritosz, az atomista volt legfényesebb alakja. Születésének időpontját rendszerint Kr. e. 460 körülre teszik, neve megjelenik egy érmén …." (Seltman, 143. oldal; az érmét Seltman jegyzéke nem tartalmazza, de létezik négy érme Démokritosz nevével a Kr. e. 415 körüli évekből, lásd: May, 234—237. oldal).
"Démokritosz is Püthagorasz nagy csodálója volt [Diogenes Laertius IX, 38 szerint] … és, minthogy a filozófia divat volt abderában, egyikük [egy magiszter], aki a Püthagorasz nevet viselte, híres névrokonának idealizált portréját választotta hivatali évének jelképéül. Semmilyen más módon nem magyarázhatjuk, miért ábrázol ez a nevezetes érme egy finoman kidolgozott szakállas fejet, melyet a ΠΥΘΑΓΟΡΗΣ név vesz körül" (Seltman, 144. oldal)
"Mindazonáltal évezrednyi a különbség az érmék keletkezésének és Boethius működésének időszaka között. Lehetséges, hogy az ókori ábrákban megjelenő kört két, egymásra merőleges átmérővel rajzolták meg? Ez megfelelne a fentebb bemutatott ékírásos tábláknak, Euklidész IV, 6—9-nek és a görög érméken látható sok egyéb 'kerék'-nek.
A matematika történetének szemszögéből nézve a Kr. e. 530—570 közötti évek Püthagorasz és közvetlen követőinek időszaka, s ötszög iránti érdeklődésüket már említettük. (Hippaszosz dodekaédere ugyancsak e témához tartozik, lásd: van der Waerden [1979], Pythagoreer 71—72. oldal, Iamblichus Vita Pythagoras 88. és 246—247. oldal.) Iamblichus, a Kr. e. 3. évszázadban élt filozófus halvány célzást tesz a késői pitagoreusok és Kalkisz — vagy legalábbis testvérvárosai — kapcsolatára, amikor így ír: "A legjelentősebb pitagoreusok Phanton, Echekratész, Polümnasztész és Dioklész Phliuszból és Xenophilész a trák félszigetről, Chalcidice-ről" (Vita Pythagoras 251. oldal; ugyanezt megtaláljuk: Diogenes Laertius VIII, 46. oldal). Iamblichus a késői pitagoreusokról beszél, biztosan a 480 utániakról. Mindazonáltal Chalcidice számos települése közül Kalkisz volt az anyaváros. Alább néhány, Abderából származó érmét láthatunk (Kr. e. 430 körüli időkből), melyek újabb jelét adják annak, hogy a pitagoreusok ezen a vidéken is jelen voltak.
A peloponnézoszi várost, Phliuszt Iamblichus mint néhány késői pitagoreus működésének helyszínét említi. Kr. e. 420-ból származó érméi hátlapján, akárcsak a Kalkiszi érmekén, négyküllős kerék látható (Kraay 302—304. oldal). A Kraay által jegyzékbe vett érmék közül néhány a hátlapján ugyancsak kereket ábrázol, de mindegyikük egyedinek látszik (egy Athénből, 540 körül, kettő makedóniai törzsektől, egy a boeotiai Tanagarából).
A pitagoreusokkal való kapcsolatot ugyan kiemeltem, mindazonáltal világos, hogy a korai Görögországban nemcsak pitagoreusok voltak, hanem egyéb matematikusok is. Erről bővebben és alaposabban Burkert [1962] ír a pitagoreusi matematikusokról szóló fejezetében."
A hátlap veretét mint egyenlő oldalú (Kraay 265) vagy derékszögű (Seltman, IV. tábla, 16 és 17) háromszöget aligha értelmezhetjük másképp, mint matematikai motívumként.
Kraay 265 jelű érméje geometriai ábrájához (egyenlő oldalú háromszög a beléírt körrel, melyet két, egymásra merőleges átmérő oszt fel) hasonló jelenik meg ismét egy középkori kéziratban, jelesül az un. pszeudo-Boethiusi Geometria II-ben (lásd Folkerts [1970], 224. oldal, 116. ábra)
"Kalkisz Euboea szigetének egyik legjelentősebb városa. Kraay [1974, 89—90. oldal] és Chantraine [1958] szerint Kalkisz matematikai szempontból érdekes érmét az 530—470 közötti időszakban verték, vagyis sokkal korábban, mint az eddig tanulmányozott érméket. Az előlapon sas vagy, a 480 körüli évek után a karmai közt kígyót tartó sas látható. A hátlapon "négy-, öt- vagy háromküllős kerék és a Υ∆Λ betűk jelennek meg kissé benyomott háromszögben vagy négyzetben" (Seltman, 54. oldal, s ehhez hasonlóan Kraay [1974], 90. oldal).
A Kalkiszból származó első kerekek (515 körül) a hátlapon korábban megjelenő kvadriga (négylovas harci- vagy versenyszekér) egyszerűsített képei lehettek. Kraay 264 jelű érméje egyértelműen tényleges szekérkereket ábrázol, s nem annak matematikai absztrakcióját. A helyzet egészen más a 485 után vert érmék esetében. Mint a 21. ábrán látható, gyakran találunk háromszögbe vagy négyzetbe írt kört, melyet szabályos három-, négy- vagy ötszögre osztottak fel, pontosan úgy, ahogyan Euklidész negyedik könyvében."
Az Euklidész II. 4. a binomiális tétel — (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 — geometriai változata. Hasonlóan felosztott téglalapokat és paralelogrammákat bőségesen találunk az Elemekben. Az ún. gnomon szokásos eszköze a matematikai (és a geometriai) bizonyításoknak. A kis négyzet hiányzó átlója talán éppen a gnomon hangsúlyozását szolgálja.
Tudjuk, hogy a khioszi Hippokratész volt az első, aki — Kr. e. 430 körül (Athénban?) — a matematika Elemeiről írt. Számomra világosnak látszik, hogy az Aeginából származó érmék hátlapjának megváltoztatása a matematika megújított tudománya hatásának köszönhető.
"Kr. e. 480-ig különféle mintázatú nyomatok jelennek meg, amelyek szimmetria-tengelyeikkel felosztott négyzetekből eredeztethetők. A 480—431 körüli időktől fogva aszimmetrikusan — mindig ugyanolyan módon — formázott mintákat találunk (Kraaí 123 és 127).
A Kr. u. 404-et követő idők új érméi (Kraay 137 és 138) matematikai, derékszögű rajzolatot mutatnak. Ezek pontosan megfelelnek Euklidész Tételei II. 4. ábráival, csak a kisebb négyzet átlója hiányzik..."
"Körülbelül Kr. u. 480-ig Aegina városa (és szigete) az Égei-tenger kereskedelmi központja volt. Aegina lakói voltak e régióban az elsők, akik érméket vertek. 480 után az athéniak versenytársukká váltak, s végül 430-ban szigetükről el is űzték őket. A peloponnézoszi háború végét követően, 404-ben visszatértek és ismét bocsátottak ki érméket, de korábbi jelentőségét a nép képtelen volt visszanyerni. Aegina érméi hátlapján mindig megjelenik a tengeri teknős vagy a teknősbéka, s mint egyébként, érdeklődésünket ezúttal is a hátlap mintájára fordítjuk..."
"A British Museum Collection katalógusa hat más, Itália különféle helyeiről származó érmét is tartalmaz, kettőt Sziciliából, kis pentagramokkal.
Akad ugyan néhány más lelőhely, de egészében véve az érmék zömét Magna Graeciában találták. Ez ugyanúgy tulajdonítható a pitagoreus hatás kései nyomainak, mint épp ellenkezőleg annak, hogy a pitagoreusok az etruszkoktól szerezték ismereteiket a pentagramról és a tizenkét lapú poliéderről. Szépen mintázott, etruszk eredetű szabályos tizenkét lapú poliédereket láthatunk Perugia archeológiai múzeumában számos egyéb, Nyugat Európából, főleg a Nyugati Alpokból származó tizenkét lapú poliéderrel együtt a Kr. utáni időkből. (Részletes történeti leírását lásd Herz-Fischler [1987], különösen III. fejezet, 52—62 oldal.)"
"Kis pentagramokat mint másodlagos szimbólumokat vagy jelzéseket sok későbbi érmén is találhatunk. Ennek tipikus példája Kraay 705 jelű érméje Veliából (Elia) (Magna Graecia), a 320 körüli évekből..."
"A pitagoreusok valamikor 460 és 440 között politikai hatalmukat vesztették, ami megegyezik az érme verésének ugyancsak bizonytalan, 440 körüli időpontjával. (A pitagoreusok politikai történetét lásd ismét Burkert és van der Waerden írásaiban.)"
"Előlapján a Metapontionra jellemző árpakalász a META felirattal, hátlapján árpaszemek négy ágú csillag alakzatban. Hasonló rajzolatot mutat a BMC (British Museum Collection) Itália, Metapontion 45 jelű érme hátlapja, mely rajzolat fölé egy máshol talált, korábbi érmén mintegy jelzésként kis félholdat nyomtak. Ez utóbbi érmét Kr. e. 440 körül verhették, nem sokkal korábban, mint a méloszi érméket (420 körül). Néhány méloszi érmén kitüntetett szerepet játszik a félhold. Kraay M19 jelű, méloszi érméje hátlapján — hasonlóan a metapontioni érmékhez — négy, csillagalakban elrendezett szem látható. Mint fentebb említettük, elképzelhető, hogy az érmemetsző Metapontionból ment Méloszra. (Annak, hogy a szemek árpaszemek, e feltevés szempontjából érdektelen, az árpának vallási jelentősége van. V. ö. Burkert [1977], 102. oldal.)"
"Seltman egyenesen Püthagorasznak tulajdonítja az érmeverés bevezetését Magna Graeciába, különösen a metszetmélynyomás (intaglio) technikáját, mikor is az előlap domborzata (relif) mint mélynyomat ismétlődik meg a hátlapon (Seltman, 68. oldal). Ez egyáltalán nem valószínűtlen, mivel Püthagorasz apja, Menarchos, mint azt Diogenes Laertius állítja (De vita et moribus philosophorum VIII 1, kb. Kr. e. 250) gemmametsző volt, de egyéb érvek ezt, enyhén szólva, kevéssé igazolják (v.ö. R. Alföldi, I. kötet, 93. oldal). Szamosz szigetét Püthagorasz Kr. e. 530 körül (az időpont felettébb bizonytalan) elhagyta és Magna Graeciába költözött, először Kroton városába, majd Metapontionba, ahol követői számára iskolát alapított. (Püthagorasz életéről és iskolájáról lásd: Burkert [1962] és van der Waerden [1979].) Iskolájának hatása néhány későbbi érmén jelenhet meg."
"Természetesen elgondolkodhatunk azon, miért éppen a Mélosz szigetiek érméi mutatnak ilyen, erősen matematikai jellegű rajzolatot. Egy lehetséges magyarázat: Kraay (1964, 16. és 19. oldal) szerint a méloszi lelet érméit rövid idő alatt sajtolták 416 előtt abból a célból, hogy pénzt teremtsenek az athéniaktól megtámadott Mélosz védelméhez. Halvány hasonlóságot láthatunk a méloszi érmék és néhány Metapontionból származó érme között. Ennek talán az az oka, hogy a mélosziak — szükséghelyzetben — ezüstjük mielőbbi érmévé verése céljából Metapontiontól béreltek érmemetszőt, aki matematikai érdeklődését követve készítette el a hátlap rajzolatát, amely legalábbis összhangban volt korábban vert pénzeivel.
Euklidész az Elemek negyedik könyvében szól a kör egyenlő részekre való felosztásának matematikai elméletéről, vagyis a szabályos sokszögek szerkesztéséről. Egy magyarázója szerint a IV. Könyv tételei eredete a pitagoreusokra nyúlik vissza. (Részletesen lásd: Neuenschwander [1972].) Ez ismét Metapontion felé fordítja figyelmünket, ahol — feltehetően — Püthagorasz meghalt."
"Széles szalagokkal négy részre osztott kör alakú bemélyedés, egyszerű kereszt (Kraay M22). Ez az érme hasonló az alább tárgyalt hat részes, szimmetrikus, M39 jelű érméhez. Az egyszerű mintából az érmemetsző matematikai törekvése különösen kiviláglik..."
"Vitruvius, a római építész De Architectura című művének hetedik könyve bevezetésében Anaxagorász és Démokritosz könyveit említi, melyekben színházi színpadok valamiféle perspektivikus tervezéséről szólnak. (Részletesebben lásd: van der Waerden [1966], Erw. Wiss., 224—226. oldal). A művészeti megjelenítés változása, vagyis elölnézete helyett a tárgy valamiféle perspektivikus ábrázolása először Szirakuza érmein figyelhető meg. "A Kr. e. 425 körüli időkig a szirakuzai és minden egyéb érméken a kvadriga látható, ritka kivételként [lóval] nyugodtan lépkedve a győzelmi oszloptól. Ezt követően a lovakat — mintegy a versenyzés folyamatában — mindig ügetve ábrázolták" (Kraay [1974], 221. oldal). Ez utóbbi érméken a kvadriga a verseny legdrámaibb pillanatában jelenik meg: a lovak teljes sebességgel vágtatnak a forduló-oszlop körül, a szekér kerekei pedig ferde nézetben, ellipszisként vannak ábrázolva. A megjelenítés változását Kraay 807 (a kerék kör alakú) és Kraay 808 (a kerék ellipszis alakú) jelű érméin követhetjük nyomon..."
"A trákiai Abdera és ión anyavárosa, Teos érmeinek előlapja ugyanazt a griffmadarat — mint a polgárság jelképét — ábrázolja. Abdera vert pénzeinek jellemző vonása, hogy megjelenítik a pénzverő vagy a magiszter nevét. A 470-es éveket követően ezek a nevek teljességükben jelennek meg a hátlapok a mélyen metszett négyzet körül, amelyet viszont különféle istenségek, élettelen tárgyak, állatok vagy egyebek töltenek ki. Egyikükön "Püthagorasz neve és egy szakállas fej látható, mely aligha akart volna mást, mint az előző évszázadban élt híres filozófust ábrázolni" (Kraay [1974], 155. és 535. oldal, 430 körül; hasonlóan Burkert [1962], 185. oldal, 70. sz. jegyzet és May [1966], aki dicséri az érme nagyszerű művészi minőségét).
A hátlap veretét mint egyenlő oldalú (Kraay 265) vagy derékszögű (Seltman, IV. tábla, 16 és 17) háromszöget aligha értelmezhetjük másképp, mint matematikai motívumként.
"Kalkisz Euboea szigetének egyik legjelentősebb városa. Kraay [1974, 89—90. oldal] és Chantraine [1958] szerint Kalkisz matematikai szempontból érdekes érmét az 530—470 közötti időszakban verték, vagyis sokkal korábban, mint az eddig tanulmányozott érméket. Az előlapon sas vagy, a 480 körüli évek után a karmai közt kígyót tartó sas látható. A hátlapon "négy-, öt- vagy háromküllős kerék és a Υ∆Λ betűk jelennek meg kissé benyomott háromszögben vagy négyzetben" (Seltman, 54. oldal, s ehhez hasonlóan Kraay [1974], 90. oldal).
Az Euklidész II. 4. a binomiális tétel — (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 — geometriai változata. Hasonlóan felosztott téglalapokat és paralelogrammákat bőségesen találunk az Elemekben. Az ún. gnomon szokásos eszköze a matematikai (és a geometriai) bizonyításoknak. A kis négyzet hiányzó átlója talán éppen a gnomon hangsúlyozását szolgálja.
Gnomon
Euklidésztől
***
"Kr. e. 480-ig különféle mintázatú nyomatok jelennek meg, amelyek szimmetria-tengelyeikkel felosztott négyzetekből eredeztethetők. A 480—431 körüli időktől fogva aszimmetrikusan — mindig ugyanolyan módon — formázott mintákat találunk (Kraaí 123 és 127).
Aeginából, Kr. e. 580—540 körül
"Körülbelül Kr. u. 480-ig Aegina városa (és szigete) az Égei-tenger kereskedelmi központja volt. Aegina lakói voltak e régióban az elsők, akik érméket vertek. 480 után az athéniak versenytársukká váltak, s végül 430-ban szigetükről el is űzték őket. A peloponnézoszi háború végét követően, 404-ben visszatértek és ismét bocsátottak ki érméket, de korábbi jelentőségét a nép képtelen volt visszanyerni. Aegina érméi hátlapján mindig megjelenik a tengeri teknős vagy a teknősbéka, s mint egyébként, érdeklődésünket ezúttal is a hátlap mintájára fordítjuk..."
"Kis pentagramokat mint másodlagos szimbólumokat vagy jelzéseket sok későbbi érmén is találhatunk. Ennek tipikus példája Kraay 705 jelű érméje Veliából (Elia) (Magna Graecia), a 320 körüli évekből..."
****
"Előlapján a Metapontionra jellemző árpakalász a META felirattal, hátlapján árpaszemek négy ágú csillag alakzatban. Hasonló rajzolatot mutat a BMC (British Museum Collection) Itália, Metapontion 45 jelű érme hátlapja, mely rajzolat fölé egy máshol talált, korábbi érmén mintegy jelzésként kis félholdat nyomtak. Ez utóbbi érmét Kr. e. 440 körül verhették, nem sokkal korábban, mint a méloszi érméket (420 körül). Néhány méloszi érmén kitüntetett szerepet játszik a félhold. Kraay M19 jelű, méloszi érméje hátlapján — hasonlóan a metapontioni érmékhez — négy, csillagalakban elrendezett szem látható. Mint fentebb említettük, elképzelhető, hogy az érmemetsző Metapontionból ment Méloszra. (Annak, hogy a szemek árpaszemek, e feltevés szempontjából érdektelen, az árpának vallási jelentősége van. V. ö. Burkert [1977], 102. oldal.)"
Nyolc ágú csillag (Kraay M46)
Hét szirmú virág (Kraay M17)
A kört három átmérője hat egybevágó részre osztja (Kraay M39, M40):
"Széles szalagokkal négy részre osztott kör alakú bemélyedés, egyszerű kereszt (Kraay M22). Ez az érme hasonló az alább tárgyalt hat részes, szimmetrikus, M39 jelű érméhez. Az egyszerű mintából az érmemetsző matematikai törekvése különösen kiviláglik..."
Díszes négyágú csillag (Kraay M20)
"Négy árpaszem csillagalakban (Kraay M19) (9. ábra). Ez az elrendezés egy hasonló, Metapontionból származó, öt szemet ábrázoló érmére emlékeztet..."
Négyküllős kerék (Kraay M13, M14, M15, M16). A görög érméken szokásos motívum, lásd Chalcis és Phlius alatt: