Valamit nem ertek. Van der Waerden tétele csak tetszoleges hosszu veges sorozatot garantal, vegtelent nem. Igy mas meggondolas kell szvsz. Azt hiszem tudok egyet, de meg at kell gondolnom
Én meg Cohen akadémiai unokája vagyok, ui. ő volt a témavezetőm (Sarnak) témevezetője a Stanfordon. A Sarnak szerint Cohen valószínűleg a legokosabb ember, akivel vala is találkozott, Shelah-ra pedig azt mondta, hogy ha valaki ennyire okos, akkor miért nem foglalkozik központi problémákkal (mint pl. Cohen annak idején).
Irtad Van der Waerden tétele szerint a G minden eleme monoton egy K beli végtelen számtani sorozaton.
Viszont konnyu olyan f:KK bijekciot csinalni, ami nem monoton vegtelen K beli szamtani sorozaton: f legyen felvaltva monoton novo illetve monoton fogyo egyre hosszabb K beli blokkokon: azaz egy blokkon vagy az identitas, vagy a blokk megforditott sorrendben. Ekkor az altalad tett megallapitas alapjan ez az f nem lehet G beli elem resze.
Igen.Nem mintha ertettem volna belole akarmit is, de ha mar egyszer volt ra lehetosegem, akkor meghallgattam.
Erdekes egy figura, nekem nagyon szimpatikus volt amugy.
Egy kis hiba becsúszott ebbe a bizonyításba. A 2j ne az S elemeinek legnagyobb közös osztója legyen, hanem az S egy tetszőleges eleme. Ha d jelöli S differenciáját, akkor p-t és q-t dk+1 alakú prímeknek fogjuk választani.
Azert ma mar egyre tobben tudnak forszolni, ELTE-n specin/felsavon tanitjak. En Cohen eredeti cikket nem javasolnam. A legegyszerubb forras ha Csirmaz Laci honlapjarol a Kutatoban letoltod az o magyar nyelvu forszolas jegyzetet. Angolul Kunen: Set Theory a klsszikus alaptankonyv, ( a csucs meg Shelah.)
Szia karma police, szerintem csak néhány magyar matematikus tudja a forszolást, sashimi az egyik közülük. Én nem sokat tudok róla. A forszolás Cohen találmánya, amivel sikerült belátnia a CH függetlenségét a ZFC-töl, ezért az eredményéért Fields-érmet kapott. Olvass utána Cohen munkásságának, esetleg nézz bele az eredeti cikkekbe vagy összefoglalókba a munkájáról. Az interneten biztos találsz sok anyagot. Mindenesetre ez egy mély és nehéz technika, nem lehet 1-2 nap alatt elsajátítani.
Igen, sashimi példája müködik,a megadott G nem w-tranzitív. Ehhez elég megadni w egy végtelen és ko-végtelen P halmazát és azon egy f:P->w injektív függvényt úgy, hogy az f képének komplementere is végtelen legyen, továbbá f ne legyen kiterjeszthetö G-beli elemmé.
Legyen K a 4k+2 alakú számok halmaza. Ha 4k+2=2jpm, ahol p prím és j minden prímosztója p-nél kisebb, akkor legyen f(4k+2)=2mjp. Más szóval a K-beli számokon f-et úgy értelmezzük, hogy felcseréljük a prímtényezös felbontásban a legkisebb és legnagyobb prímhez tartozó kitevöt. Bizonyításra csak az szorul, hogy f nem terjeszthetö ki G-beli elemmé.
Van der Waerden tétele szerint a G minden eleme monoton egy K-beli végtelen számtani sorozaton. Megmutatjuk, hogy ez nem teljesül f-re. Vegyünk egy tetszöleges S számtani sorozatot K-ban. Jelölje 2j az S elemeinek legnagyobb közös osztóját. Ekkor Dirichlet tétele alapján S-ben van végtelen sok 2jp alakú szám, ahol p>j prím, továbbá végtelen sok 2jq2 alakú szám is, ahol q>j prím. Definíciónk szerint f(2jp)=2jp és f(2jq2)=4jq, vagyis ha p-t és q-t úgy választjuk meg, hogy 2q<p<q2 legyen, akkor igazoltuk, hogy f nem monoton S-en. Ha q-t kellöen nagynak választjuk, akkor p mindig megválasztható ily módon - ehhez Dirichlet tételének pontosabb, kvantitatív változatát kell alkalmaznunk.
Biztos vagyok benne, hogy ez nem a legegyszerübb bizonyítás, de számelmélészként ez jutott eszembe.
Forszolasos pelda.
Eleg lenne 2^{omega_1} Cohen-valost az alapmodellhez adni, szvsz akkor is lenne pelda.
De biztos kell lennie ZFC peldanak is w_1-en.
ZFC pelda otlet megszamlalhato alaphalmazon omega-homogen, nem omega-tranzitiv csoportra Legyen oemega az alaphalmaz es legyen G azon permutaciok csoportja, amik lefedhetok veges sok monoton fuggveny uniojaval. Ez omega-homogen (trivi) es szerintem nem omega-tranzitiv.
Omega_1-en CH-val lehet omega-homogen, nem omega-tranzitivat csinalni.
A tovabbiakban w-t irok omega helyett.
Legyen t:ww ugy definialva, hogy a parosokat es a paratlanokat felcsereli.
Olyan G-t csinalunk, amiben egy csoportelem sem tartalmazza
reszhalmazkent a t tiltottat.
G minden eleme csak w elemet mozgat.
Soroljuk fel az osszes {x,y} part, ahol x es y w_1 megszamlalhato
reszei:
{{x_i,y_i}:i eleme w_1}.
Indukcioval konstrualjuk G generatorait, i -edik lepesben g_i-t, amire
g_i"x_i=y_i.. Indukcios felteves: t nem resze {g_j:j eleme i} altal
generalt G_i csoport egyetlen elemenek sem. (Lehet, hogy kell, hogy
vegtelenul kulonbozik is)
Limesz lepesben nem kell tenni semmit, indukcios felteves trivin igaz marad.
Rakovetkezo lepes: G_i kesz. Olyan g=g_i kell, hogy ne legyen igaz
(*) t=f1 h1 f2 h f3 ...hn-1 fn,
ahol fk jeloli G_i tetszoleges elemet, hk pedig a most elkeszitendo g
illetve g^-1.
Soroljuk fel a (*) alaku kovetelmenyeket omega tipusban. g-t indukcioval csinaljuk. A paros lepesben gondoskodunk arrol, hogy
g_i"x_i=y_i legyen, a paratlan lepesekben pedig az i-edik (*)-gal banunk el.
Indukcios feltevesunk annyi, hogy minden lepesben csak veges sok helyen van g defivialva. Paros lepes trivi.
Paratlan lepes. Egyszeruseg kedveert felteszem, hogy hk=g mindig.
Vegyunk k_0 eleme x_i, amire az l1=f1(k_0) helyen g meg nincs definialva.
Legyen k1 olyan elemee az alaphalmaznak, amire g, g^-1 meg nincs
definialva, tovabba k1 eleme y_i pontosan akkor ha l1 eleme
x_i. Legyen g(l1)=k1. Legyen l2=f2(k1). Ugy jarunk el mint az
elobb. Kapjuk k0, k1, ...kn-2 elemeket. kn-1 valasztasakor meg arra is
vigyazunk, hogy fn-1(kn-1) ne legyen t(k0). De ez is csak egy
lehetseges erteket zar ki. Igy k0 tanusitja, hogy (*) nem igaz. Az
indukcios felteves is igaz marad, mert g-t csak veges sok helyen
mondtuk meg.
1. eset : A-i:ieleme omega veges orbitok. Legy en X=A-i:i paros unioja, Y=A_i:i paratlan unioja.
Ekkor X nem megy Y-ba.
2. eset ( nem kizaroak) van vegtelen A orbit, de A nem az egesz alaphalmaz. Legyen X resze A megszamlalhato, Y nem resze A megszamlalhato. Ekkor X kepei A reszei, igy Y nem lehet kep. Ezen meggondolasban eleg vegtelen komplementeru halmazokra szoritkoznunk.
Homogenitas altalam ismert defje:
We say that
a permutation group $G$ on ${\lambda}$ is {\em ${\kappa}$-homogeneous}
iff for all $X,Y\in [{\lambda}]^{\kappa};$ with $|{\lambda}\setminus X|=|{\lambda}\setminus Y|={\lambda}$ there is
a $g\in G$ with $g''X=Y$.
Így jött ki valahogy, hogy ha az alaphalmaz megszámlálható, és omega-homogén, akkor a csoport tranzitív. (Vegyük ugyanis egy tetszőleges x-re azon elemek halmazát, ahova ő nem vihető el...)
Illetve nem tudom. Azt hiszem, hogy nem, az viszont tutinak látszik, hogy található jó becslés (mondjuk valami olyasmi, hogy ha egy csoport n-homogén, akkor legalább n/3 tranzitív, most teljesen a hasamra csaptam).