Medland szigetén csak medvék élnek, jegesmedvék, pandák, mosómedvék, összesen 100-an. Minden lakó vagy igazmondó (mindig igazat mond) vagy hazudós (mindig hazudik).
A sziget összes lakójának feltették az alábbi három kérdést:
Jegesmedve vagy?
Panda vagy?
Mosómedve vagy?
Az első kérdésre 60, a másodikra 40, a harmadikra 30 igen válasz érkezett.
Nem igazán értem. Miért jó valamelyik megoldás, vagy miért nem.
A feladat követelményei egyértelműen meghatározzák az összes pozitív egészre f(n) értékét, így f(2015)-öt is. Ha valaki a jó számot adja meg, akkor a megoldás jó. :-)
Az, hogy a követelmények egyértelműen meghatározzák az értékeket (vagy hogy létezik-e egyáltalán megoldás) persze elsőre nem feltétlenül nyilvánvaló, ezért alkalmas versenyfeladatnak.
Az első párat könnyű kiszámolni (f(1)=2, f(2)=3,...). Leírtam n-t és f(n)-t két oszlopba egymás mellé, és néztem, hogy van-e valami minta. Megsejtettem, hogyha n 3-hatvány, akkor f(n)=2n, és f(2n)=3n. Ezt teljes indukcióval könnyű igazolni. Na most mivel ebben az esetben f(2n)-f(n)=3n-2n=2n-n=n, és f(n+1)>f(n), ebből következik, hogy az f függvény n és 2n között mindig csak 1-gyel növekedhet.
Legyen most n<=k<2n (n továbbra is 3-hatvány). Ekkor a fentiek miatt f(k)=2n+(k-n)=n+k.
Ezt behelyettesítve az f(f(k))=3k függvényegyenletbe kapjuk:f(f(k))=f(n+k)=3k. (Ez azt jelenti, hogy az f 2n és 3n között mindig 3-mal növekszik).
2015=2*729+557. Ha most n=729=36, és k=729+557=1286, akkor n<=k<2n, és 2015=n+k, tehát a fentiek szerint f(2015)=3*1286=3858. Készen vagyunk.
Közben rájöttem a megoldásra. Abból kell kiindulni, hogy az Ürge felváltva tartózkodik páros, vagy páratlan helyen, és csak két páros hely van, a 2. és 4. Két sorozat adja a megoldást attól függően, hogy induláskor páros, vagy páratlan helyen volt az Ürge. Először azt, amikor párosan. Ekkor Micimackó sorban a 234 helyekre, vagy a 432 helyekre megy. Ezután megismétli ugyanezen sorozat valamelyikét arra az esetre, ha az Ürge kezdetben páratlan helyen volt. Tehát 6 látogatásból lesz egy biztos találat.
Ahány d betű. Az utolsó előtti d fölösleges, az ugyanazt a mozgást látja, mint az utolsó. Egyébként mindegyik megfigyelő idejére egy g mozgás esik. A felső az időtengely.
Valóban egy egész percig figyelni kell, ezért az utolsó megfigyelés pontosan 5 percnél kezdődik. Így valóban nem ugorhat a végén kettőt, csak egyet, így a megoldás 10 méter.
Nem ugorhat kettőt, mert MINDIG figyeli valaki és mindenki PONTOSAN 1 percig figyel. Olvasd el a feladatot még egyszer.
A 360. másodpercig figyeli valaki. És mindenki pontosan 1 percig. Ez azt jelenti, hogy van olyan megfigyelő, aki pontosan a 300. másodperctől a 360. másodpercig figyel.