azon gondolkodom, hogy legenerálok néhány eredményt, és arra illesztek polinomot
Ez nagyon jó ötletnek tűnik. Azért vedd figyelembe, hogy itt két paraméter van (kiindulási várható érték és szórás), vagyis kétváltozóban kell a polinomot illeszteni, jó sok tagod lesz és csúnya együtthatók. Such is life.
Természetesen az ex-et a haranggörbe képletében lehet magasabb fokú polinommal (mondjuk a Taylor-sor első 10 tagjával) közelíteni. Ebben az esetben jobb eredményt kapunk és a közelítő integrálok explicit zárt alakban továbbra is kifejezhetők, de rendkívül komplikáltak, nem praktikusak. A profi szoftverekbe alapos numerikus integráló algoritmusok vannak építve (ami egy külön tudomány), mint polinomokkal való közelítések, ezért javaslom hogy azokra hagyatkozzál. Összefoglalom:
Ha f(x) a kiindulási sűrűségfüggvény (esetünkben egy haranggörbe), akkor A:=intx>0 ln(x)f(x) adja a logaritmikus várható értéket és S:={-A2+intx>0 ln2(x)f(x)}1/2 a szórásnégyzetet.
Sajnos nem vagyok egy matek zseni, bocs ha hülyeséget írok.
A diplomámat a zeller szárításáról írom. A száradás során a fizikiai jellemzőket vizsgálom, a legfontosabb számomra a tömeg változása az időfüggvényében.
Egy szárítási folyamat kb 2óra , és ezalatt 4sec-enként regisztrálva van a mért tömeg.
Ha ezt kordináta rendszerben ábrázolom úgyhogy az x tengely az idő (s) , az y tengely a tömeg(g), akkor megkapom a száradási görbét.
Ha pedig ezt a görbét tudnám deriválni megkapnám a száradási sebbeség-görbét.
Vagyis a tömeg időszerinti deriváltja kéne.
Csakhogy nekem ez nem megy.Tudtommal az excel nem tud ilyet, ezért töltöttem olyan programokat amik elvileg tudnak ilyet, azonban nekem ez mégse akar sikeülni.
Matlab-et és Mathcad-et használok, azok is tudnak integrálni. Szerintem amúgy lehetne valami jobb polinomot illeszteni, azon gondolkodom, hogy legenerálok néhány eredményt, és arra illesztek polinomot (matlab tud).
Igazából az én számpéldáim nagyon rosszak, mert a szórások ott nagyok. Gondolom Nálad a szórás négyzete van az ezres nagyságrendben, nem a szórás maga. Mindjárt kiszámolok ilyen példákat is. Még egyszer: a képleteimben a az átlag, s a szórás (a szórásnégyzet négyzetgyöke).
A szórásnégyzetet ugyanígy kell csinálni, csak ln(x)f(x) helyett ln2(x)f(x)-et kell integrálni a pozitív számegyenesen, majd le kell vonni a logaritmizált várható érték négyzetét. Ha az ex másodfokú közelítését alkalmazzuk, mint az előbb, akkor ezt kapjuk. Ennek segítségével néhány példa a közelítő szórásnégyzetre (e alapú logaritmussal):
a=3000, s=5000 -> 15.175
a=2000, s=6000 -> 10.5373
a=7000, s=4000 -> 0.000172336
Ebből tehát négyzetgyököt kell vonni és le kell osztani ln(10)-zel, ha a 10-es alapú logaritmizált változó szórására vagy kíváncsi.
Egy szám 10 alapú logaritmusa ln(10)-ed része az e alapú logaritmusnak. Itt ln(10) a 10 e alapú logaritmusa, tehát 2.302585092994045684... Magyarán mindent ossz le ezzel a számmal.
Ha X egy a átlagú, s szórású normális eloszlású változó, akkor log(X) várható értékére az alábbi közelítés adódik az ex=1+x+x2/2+O(x3) közelítést használva az integrálban a [0,2a] intervallumon: közelítés.
Az integrálással van problémám, abból szeretnék egy használható képletet csiholni, ami szerintem megoldható feladat.
Hát a "használható" az nem egy matematikai fogalom. Matematikailag az integrál az semmivel sem rosszabb művelet, mint a logaritmus. Annyi a különbség, hogy a logaritmus benne van minden számológépben, ez az integrál pedig nincs. De a logaritmust is fáradságosan számolja ki a számológép sok közelítő lépésen keresztül.
Na most az integrált pusztán a számológépek által ismert függvények (alapműveletek, logaritmus, szögfüggvények stb.) segítségével biztos nem lehet kifejezni. Erre nincs bizonyításom, de nyugodtan hidd el nekem. Ha közelítésre van szükséged, akkor az megoldható úgy, hogy mondjuk az adott f(x) Gauss-görbét az ex hatványsora segítségével az átlag körül egy nagy intervallumban magas fokú p(x) polinommal közelíted és aztán ln(x)p(x) könnyen integrálható parciális integrálással.
Ok, azt hiszem eljutottunk a kérdésemig. Az integrálással van problémám, abból szeretnék egy használható képletet csiholni, ami szerintem megoldható feladat. Integrálásban nem (sem) vagyok jó, mint azt írtam az első postomban. Behelyettesítettem a véletlen változó helyére ugye az e-ad függvéyt, de nem tudom megoldani, mert buta vagyok.
Ha az X pozitív értékű valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x), akkor az ln(X) várható értéke az ln(x)f(x) integrálja a pozitív számegyenesen. A Te esetedben f(x) egy Gauss-görbe megszorítása a pozitív számegyenesre, tehát egy konkrét integrál adja a keresett logaritmikus átlagot. Egyszerűbb képletet erre ne várj. Konkrét átlag és szórás esetén egy numerikus integrálással (szoftverrel) az eredmény tetszőleges pontossággal megkapható. A szórás kicsit bonyolultabb, de nem sokkal.
Kedves Gergő! Azt hiszem a legjobb lesz konkrétan leírnom a feladatot, talán ezzel kellett volna kezdenem, így utólag. Képfeldolgozással foglalkozom. Olyan fekete-fehér képeim vannak, melyeknek zaja nagyjából gaussos eloszlású (igen, csak közelítőleg). A pixeleim intenzitásai a halmaz elemei. Ezek nagyságrendileg kb. 1000-12000 közti értéket vehetnek fel. A zajuk nem olyan nagy, hogy negatív érték adódjon, ennek esélye közel 0, így zárjuk ki! Nekem végre kell hajtanom rajtuk egy logaritmikus transzformációt (most nem mennék bele, hogy miért), és számolnom kellene, hogyan változik a szórás (zaj) és az átlagfényesség. Ezt szeretném analitikus úton kiszámolni.
Érdekes ez a példa, mert én már azt sem értem, hogy miért kell deriválni, itt Taylor sort keresni, és az visszaintegrálni.
Senki sem mondta, hogy deriválni kell. A 1405-ben integráltuk az 1/(2-x)=sumn xn/2n+1 hatványsort. Természetesen az ln(2-x) Taylor-sorát úgy is meghatározhatod, hogy az összes deriváltjába behelyettesíted a 2-t és összerakod Taylor-sorrá, sokféleképpen be lehet bizonyítani ugyanazt.
Amúgy azt se értem, hogy hogyan veszed negatív számok logaritmusát. Ugyanis egy gauss-os eloszlású változó negatív értékeket is felvesz (bizonyos valószínűséggel). Tehát ha generálsz egy statisztikai mintát, akkor abba negatív számok is becsúsznak néha. Szóval akárhogy is próbálom, nem értem a kérdést.
Értem. Egy véges halmaznak az eloszlása csak diszkrét lehet, tehát sosem gauss-os. Ha egy gauss-os eloszlási valószínűségi változóból egy nagy számú véges mintát veszel, akkor annak (diszkrét) eloszlása persze közelíti a gauss-os eloszlást a nagy számok törvényének megfelelően. De ez csak közelítés és csak tipikus viselkedés. Egy gauss-os eloszlású változóból is kijön nagyritkán mondjuk a 0,0,...,0 minta (egymilliószor). Jó lenne először tisztába tenni ezeket a fogalmakat, különben nem tudsz értelmesen kérdezni.
Igen, ezért írtam, hogy gauss-os eloszlású. Nekem ilyen nagy elemszámom van, erre kellene kellene várható értéket és szórást számolnom, de kellene hozzá egy függvény. A logaritmikus transzformáció asszimetrikussá teszi a harang-görbét, de itt el is akadtam.
Nekem egy olyan képlet kellene, ami ilyesmi nagyságrendre megadja, hogyha a bemenet átlaga x, szórása s, akkor a log(halmaz) x'-je és s'-je mennyi...?
Ha megértetted volna a példámat, akkor tudnád, hogy ilyen képlet egyszerűen nincs. Hasonlóan nincs, ahogy nem lehet megmondani két szám összegéből a két szám különbségét.
Te igazából arra vagy kíváncsi, hogy ha egy X valószínűségi változónak ismerjük az eloszlását (nem csak az átlagát és a szórását!), akkor hogyan határozzuk meg a log(X) változó eloszlását (többek között az átlagát és a szórását). Ez egy egészen más kérdés! Első nekifutásra azt kéne tudni, mi a változóidnak a valószínűségi eloszlása, magyarán miként generálod a számhalmazaidat. Ugyanis más eloszlás más végeredményt produkál.
Az általam adott példa is csak pozitív számokból áll. Ha felszorzod őket 5000-zel, akkor az átlaguk is 5000 lesz, a szórásnégyzetük pedig 50002/2. Te valamilyen konkrét valószínűségi eloszlás szerint generálod a számaidat, ezért tipikus viselkedést figyelsz meg (ami a konkrét eloszlástól függ), a nagy számok törvényének egy konkrét megnyilvánulását. Például ha feldobod a dobókockát egymilliószor, akkor az átlaguk közel lesz a 7/2-hez, a logaritmusaik átlaga pedig az ln(720)/6-hoz. Ez a tipikus viselkedés, de nagyritkán ettől nagyon eltérő viselkedést is kapsz, pl. egymillió 6-os is kijöhet egymás után a dobókockán, ez is egy lehetséges minta.
A Te kérdésed és az én válaszom nem tipikus viselkedésről szólt, hanem minden lehetséges viselkedésről.
Igazad van, ezért konkrétabb leszek. Az én halmazaim csak pozitív számokból állnak, nagyságrendileg kb. 1 000 - 12 000 átlaggal. Generáltam két olyan halmazt, aminek az átlaga, és szórása is 10 000 volt (elemszám 1 000 000). Logaritmikusan transzformálva számoltam az átlagot és a fényességet, átlagra 7.72-őt, szórásra 3.46-ot kaptam mindkét esetben. Nekem egy olyan képlet kellene, ami ilyesmi nagyságrendre megadja, hogyha a bemenet átlaga x, szórása s, akkor a log(halmaz) x'-je és s'-je mennyi...?