Bocs, ha kicsit off vagyok, de ha már belekezdtem, hadd fejezzem be. Szóval annak a bizonyítása, hogy fényszerű vektor nem lehet eleme ortogonális bázisnak, a következő.
Indirekt módon tegyük fel, hogy f egy fényszerű vektor, és {f, g1, g2, g3 } egy ortogonális bázis. Vegyünk most egy tetszőleges f-től lineárisan független f' fényszerű vektort.
Az f' vektort a bázisvektorok lineáris kombinációjával felírva:
f' = pf + qg1 + rg2 + sg3 valamely p,q,r és s valós számokkal.
Ekkor egyrészt vf = 0, hiszen a vf = pf2 + qg1f+ rg2f+ sg3f jobboldalának első tagja azért nulla, mert f fényszerú, a többi pedig azért, mert a feltételünk szerint a bázisvektoraink páronkánt ortogonálisak.
Másrészt ff' =/= 0 a (272)-ben említett tétel miatt, miszerint két lineárisan független fényszerű vektor nem lehet ortogonális egymásra.
Q.E.D.
-------------------------
A (272)-ben említett tétel bizonyítása pedig az alábbi.
Legyen adva két vektorunk, egy szokásos inerciarendszer által definiált koordinátákkal megadva (x1,x2,x3,t) és (y1,y2,y3,τ). Az egyszerűseg kedvéért csak (x,t) és (y, τ) -t fogok írni, de x és y helyébe mindig (x1,x2,x3) -at ill. (y1,y2,y3)-at, xy helyett x1y1+x2y2+x3y3-at, x2 helyett x12+x32+x32-et, y2 helyett pedig y12+y32+y32-et kell gondolni.
Tegyük fel, hogy (x,t) nemzérus fényszerű vektor, vagyis t=/=0 és x2 - t2 = 0.
Tegyük fel, hogy (y,τ) nemzérus fényszerű vektor, vagyis τ=/=0 és y2 - τ2 = 0.
Tegyük fel azt is, hogy (x,t) és (y, τ) Minkowski értelemben merőlegesek egymásra, vagyis (xy-tτ) = 0.
Azt kell belátnunk, hogy van olyan λ valós szám amellyel y = λx és τ = λt.
Bizonyítás:
3. szerint (xy)2 = (tτ)2
= t2τ2 (mivel itt t és τ valós számok)
= x2y2 (1. és 2. alkalmazásával)
A Schwartz-egyenlőtlenség szerint viszont (xy)2 <= x2y2 , és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x és y lineárisan függők, vagyis, ha van olyan λ valós szám amellyel y = λx. Legyen λ tehát ez a szám. Ekkor 3-ból :
tτ = xy = λx2 = λt2 (1. miatt).
t-vel egyszerűsítve: τ = λt. Tehát (x,t) és (y, τ) valóban lineárisan függő.
ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor
Tiszta hülye vagyok. Hát hogy a csodába szerepelhetne, ha a a bázis ortonormált. Hiszen 0 hosszúságú vektort nem lehet normálni! Amin én gondolkodtam, az valójában az volt, hogy ortogonális (de nem feltétlenül normált) bázisban szerepelhet-e fényszerű vektor. A válasz viszont valószínúleg erre is nem, de sajnos még nem találtam rá bizonyítást.
A nullvektorok, vagyis a fényszerű vektorok viszont kizárólag a velük párhuzamos vektorokra merőlegesek, vagyis egy fényszerű vektorhoz nincs tőle lineárisan független másik vektor, amely merőleges rá.
Pardon, ez nem igaz. Csak annyi igaz, hogy ha mindkét vektor fényszerű, és lineárisan függetlenek, akkor nem lehetnek merőlegesek egymásra (ez valóban egyszerűen belátható a Schwartz-egyenlőtlenség felhasználásával).
De egy fényszerű vektorra egy nem fényszerű akkor is lehet merőleges, ha lineárisan függetlenek.
Pl. ha {e0, e1, e2, e3 } a szokásos ortonormált bázis, akkor az e0 + e1 fényszerű vektorra merőleges a tőle lineárisan független e2 térszerű vektor, hiszen
(e0 + e1)e2 = e0e2 + e1e2= 0 + 0 = 0. És ugyanígy az e3 vektor is.
Több, ezektől független merőleges vektor viszont már valószínűleg tényleg nem található. Azt hiszem, hogy az az igaz, hogy egy fényszerű vektort tartalmazó ortogonális vektorrendszer maximum 3 vektorból állhat, tehát az azért tényleg igaz, hogy ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor.
V: Amit hallottál, az igaz. De a vonatkoztatási rendszerekkel definiált bázisnak ortonormáltnak kell lennie, vagyis annak a bizonyos másik iránynak merőlegesnek kell lennie az elsőre. A nullvektorok, vagyis a fényszerű vektorok viszont kizárólag a velük párhuzamos vektorokra merőlegesek, vagyis egy fényszerű vektorhoz nincs tőle lineárisan független másik vektor, amely merőleges rá. Így ortonormált bázisban nem szerepelhet fényszerű vektor.
K: Nem mondtál véletlen valamit rosszul? Azt mondtad, hogy a fényszerű vektorok a velük párhuzamos vektorokra merőlegesek. Akkor most párhuzamosak, vagy merőlegesek?
V: Mind a kettő egyszerre. A párhuzamosság azt jelenti, hogy egyik vektor a másiknak a konstansszorosa, a merőlegesség pedig azt, hogy a skaláris szorzatuk nulla. Ha a metrika indefinit, akkor ez a két dolog nem zárja ki egymást. Valóban furcsa egy kisit ez a Minkowski-geometria.
K: Ha adott két esemény (E1,E2), amelyek koordinátái K-ban (t1,x1) és (t2,x2), a K'-ben pedig (t1',x1') és (t2',x2'), akkor mi az a mennyiség, ami mindkettőben ugyanannyi? V: Mondjuk az L^2=(x2-x1)^2-(t2-t1)^2c^2 = (x2'-x1')^2-(t2'-t1')^2c^2.
K: És ugye azért L^ˇ, mert mindig pozitív, (kivéve ha t2=t1 és x2=x1)? V: Inkább úgy mondanám, hogy lehet pozitív is, ebben az esetben azt mondhatjuk hogy a köztük lévő távolság 'térszerű', másképpen mondva van olyan rendszer is, ahol E1 és E2 egyidejűek. Ez azt is jelenti, hogy egyik sem lehet oka a másiknak, mert még a fénysugár sem kötheti őket össze.
K: És ha negatív? V: Akkor a távolságuk 'idő jellegű', tehát van olyan rendszer, ahol E1 és E2 ugyanazon a helyen különböző időben bekövetkező események. Ebben az esetben lehet köztük oksági kapcsolat.
K: No és ha nulla? V: Az az a különleges eset, amikor egy fénysugár eljuthat egyikből a másikba.
K.: Hmm. Én ebből nem látom, hogy ez miért tenné lehetetlenné azt, hogy fénysugárhoz rögzítsük a koordinátarendszerünket. Mi több, hallottam róla, hogy a Minkowski-térben lehet csupa nulla hosszűságú vektorból álló bázist (ú. n. null-bázist) megadni. Márpedig egy koordinátarendszer megadása egy vektortéren azonos egy bázis megadásával. Szóval, akkor hogy is van most ez?
K.: Lehet fénysebességű inerciarendszert felvenni? Pontosabban lehet-e a fényhez inerciarendszert rögzíteni?
V.: Nem.
K.: No de miért nem? Mert a Lorentzben nulla lesz a nevező?
V.: Hát igen. De ez inkább következmény, egy mélyebben fekvő ok áll a háttérben.
Éspedig: Kezdjük egy ismertebb esettel: Most én kérdezek:
K'.: Hogyan veszünk fel a síkon egy koordinátarendszert?
V'.: Kijelölök egy pontot (O) origó, és egy irányt. Ez adja az x tengelyt, erre merőleges az y.
K'.: Hogy jelölöd ki az irányt?
V'.:Megadok egy a kívánt irányba eső X pontot. Bármelyik lehet, ami az origóból ebbe az irányba esik.
K'.: Szóval akármelyik pont jó lehet?
V'.: Igen, kivéve magát az O pontot, azaz az XO táv ne legyen nulla. De mi köze ennek ahhoz, amit kérdeztem?
V.: A téridőben is hasonlóan veszünk fel koordinátarendszert. Kiválasztunk egy (O) eseményt, ez lesz az origó. Keresünk egy másik (X) eseményt, ez adja majd az egyik tengelyt. Az egyetlen feltétel, hogy az XO táv ne legyen nulla. Azonban egy fénysugár által érintett minden eseményre XO=0. Ezért nem lehet a fénysugárhoz koordinátarendszert rögzíteni.
K: A sajátvektorok keresésénél tehát egy t', x' vektort keresünk, melyre (t',x')=L(v)*(t', x')=la*(t',x'). Én ilyet nem találtam. Először megkerestem L(v) sajátértékeit, erre két értéket kaptam, la1=(c+s)/2 és la2=(c-s)/2, ahol c=ch α és s= sh α. Ezekhez viszont nem sikerült sajátvektort találnom, csak ha c=s, ami csak α=végtelen, v=1 esetére. Hol hibázhattam? Nem értem: ezek transzformáltja (ch α - sh α)(t,t) illetve (ch α + sh α)(t,-t). Kérlek segíts néhány részlettel.
K: Ha már a Lorentz-transzformáció mátrixáról beszélünk, mondjuk meg azt is, hogy van-e neki sajátvektora! V: Mi is az?
K: Olyan vektor (esetünkben (t,x) pár), aminek a transzformáltja az eredetivel azonos irányú, vagyis csak a hossza változik a transzformáció alatt, az iránya nem. V: Hát ilyen kettő is van, a (t,t) meg a (t,-t), ezek transzformáltja (ch α - sh α)(t,t) illetve (ch α + sh α)(t,-t).
K: Van ennek valami szemléletes jelentése? V: Pl: Az origóból induló fénysugár a K-ban és a K'-ben is ugyanazt az utat futja be.
K: Remek! Tehát kiderült, hogy a fénysebesség állandósága a Lorentz-transzformáció következmény! V: Fordítva! A fénysebesség tapasztalt állandósága miatt kellett elvetni a Galei-transzformációt és bevezetni a Lorentz-félét!
K: Akkor a fénysebesség állandósága nincs cáfolhatatlanul bebizonyítva? V: Természetesen nincs... gyakorlásképpen olvasd el újra a 21-et!
K: Ez tehát azt mutatja, hogy a Lorentz trafó, tehát a specrel, nem csak állandó sebességű tömegpontok esetére érvényes a hely és időadatok átszámítására, hanem tetszőleges sebességgel mozgó (gyorsuló) pontok esetében is alkalmazható, a sebességátszámító képlettel együtt. (a pillanatnyi seebességre persze, és persze mindkét rendszer inerciarendszer, tehát a '-s sebessége egyenletes a '-tlenben, = V.
Ami most a továbbiakban bennem felmerül, hogy vajon a v=dx/dt sebsségből képezhetünk-e bármilyen vektort? Pl. v=(dt/dt, dx/dt)=(1,v) vektor-e?
V: Nem, mert (1,v') =/= L(V) (1,v).
K: Ez esetben a gyorsulás d/dt(1,v)=(0,a) sem lehet vektor, márpedig a tömegpont mozgásegyenletét vektoros formában kellene keresni.
V: Valóban, ezért keresni kell olyan mennyiségeket, amik megtartják vektoros tulajdonságaikat a Lorentz után is. Ezek pedig U=(dt/dT, dx/dT), amire igaz:
U'=L(V) U (T a tömegpont sajátideje, minden inerciarendszerben uganaz))
Ebből már képezhetjük a gyorsulást: dU/dT, amire szintén jól működik a LT, ezért alkalmas a mozgástörvény felírására, mert ez minden inerciarendszerben azonos alakú lesz.
K: Azt mondod, hogy d/dt (t',x') = d/dt L(v)(t,x) = L(v) d/dx (t,x). Bizonyára így is van, de engem a dx'/dt' jobban érdekelne! K: Azt mondanám, hogy dx'/dt = -sh α + dx/dt * ch α dt'/dt = ch α - dx/dt * sh α dx'/dt' = (-sh α + dx/dt * ch α)/(ch α - dx/dt * sh α) = = (-v+dx/dt)/(a-v*dx/dt)
K: Ez igen tanulságos, különösen a konkrét számpéldák, melyek a fénysebesség azonosságára utalnak, ill. bizonyos helybenmaradó és együttmozgó pontok úttörvényeit adják. De vajon alkalmas-e ez a sebességösszeadás képletének felírására is?
V: Persze, hiszen ez épp az x=at+b egy olyan speciális esete, amiben a b=0, de a-nak nam adunk konkrét számértéket:
x'=(a ch α - sh α)/(ch α - a sh α)*t'
x'/t'=(a ch α - sh α)/(ch α - a sh α)=(a-th α)/(1-a th α)
K: A Lorentz transzfomáció csak konstans (t,x) (vagy (t,x,y,z)) értékekre használható, vagy egy t->x(t) függvényre is? V: Természetesen a (t',x')=L(v)(t,x(t)) gond nélkül kiszámítható.
K: De én szeretném az x'-t a t' függvényében kifejezni! V: Ez nagyon jogos igény, de nem feltétlenül könnyű megcsinálni... tkp az x'(t') = (ch α x - sh α id)*(ch α id - sh α x)-1 (t') függvényt kell meghatározni. (itt "x" az eredeti függvény, "id" az identikus függvény, a "-1" a függvény invertálás, a "*" a függvénykompozíció jele)
K: Példaképpen legalább a lineáris esetet meg tudnád mutatni? V: Legyen x=at+b, ekkor x'=(a ch α - sh α)/(ch α - a sh α)*t' + b/(ch α - a sh α). Pl ha v=4/5, ch α=5/3, sh α=4/3 esetén
a b a' b' 1 0 1 0 0 0 -4/5 0 0 1 -4/5 3/5 4/5 0 0 0
Vizsgájuk tehát egy tömegpont mozgását két, azonos origójú rendszerben: vesszős és vesszőtlen, a vesszős sebessége a vesszőtlenben W, az x irányban.
A pont helye változik tehát az idő függvényében: r=(x(t), y(t), z(t)), ha úgy tetszik: R=(t, x(t), y(t), z(t)) ill. r'=(x'(t), y'(t), z'(t)), ha úgy tetszik: R'=(t', x'(t), y'(t), z'(t)) Felírható: R'=L(W)*R, ahol L a Lorentz transzformáció mátrixa. De nem írható fel: r'=L(W)*r, már csak azért sem, mert a komponensek száma nem megfelelő. (Persze ez utóbbit fel lehetne írni mondjuk r'=l(W)*r, valamiféle l Galilei mátrix-szal.) Mind r és r', mind R és R' persze vektorok Nevem Teve értelemben, tehát összeadhatók, számmal szorozhatók stb. pl. ha több ilyen pont mozog, egymáshoz képesti helyzetük megadható pl. különbségképzéssel (szorzás -1-gyel, összeadás) a választott koordinátarendszerben.(Persze nem a hozzájuk rögzítettben.)
Namost a pont sebessége: v=(dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt), ha úgy tetszik: V=(dt/dt, dx(t)/dt, dy(t)/dt, dz(t)/dt) ill: v'=(dx'(t')/dt', dy'(t')/dt', dz'(t')/dt'), ha úgy tetszik: V'=(dt'/dt', dx(t')/dt', dy(t')/dt', dz(t')/dt')
aholis a V-k első tagja 1. (Ha nem lenne specrel, akkor t'=t lenne és v'=l(W)*v stimmelne, ami mutatja, hogy a v és v' vektorok, nem csak Nevem Teve értelemben, hanem abban az értelemben is, hogy ugyanúgy transzformálódnak, mint r.)
De van specrel.
Ekkor azonban nem írható fel, hogy v'=L(W)*v, a komponensek száma miatt, ez nem is érdekes, de, és ez a lényeg: V' sem írható fel, mint L(W)*V. Éppen ezért V és V' nem vektorok abban az értelemben is, hogy ugyanúgy transzformálódnak, mint az R-ek.
Hanem.
Számítsuk ki a tömegpont sajátidejét. dT=gyök(dt2-dx2-dy2-dz2) ez ugyanakkora, mint dT'=gyök(dt'2-dx'2-dy'2-dz'2), ezért itt a ' nem kell már. Integráljuk ezt a mozgás folyamán, az origóból indulva, aholis T=0 legyen. T minden pontban ismert mindkét rendszerben, a tömegponttal történő egyes eseményekhez azonos T tartozik mindkét rendszerben. Ezért T természetesebb paraméter a mozgás megadásához, mint t ill. t':
R=(t(T), x(T), y(T), z(T)) ill. R'=(t'(T), x'(T), y'(T), z'(T))
Definiáljuk a sebességet ennek deriváltjaként:
U=(dt/dT, dx(T)/dT, dy(T)/dT, dz(T)/dT) ill. U'=(dt'/dT, dx'(T)/dT, dy'(T)/dT, dz'(T)/dT)
Itt tehát a vektorok első tagja nem 1, hanem 1-nél nagyobb, ami dT definíciójából látszik: dT kisebb mindkét dt-nél.
Azonban (és ez mondandóm lényege) U'=L(W)*U, tehát ez a sebesség megfelel annak, hogy ugyanúgy transzformálódik, mint R -> R'-be.
Ez utóbbi pongyolán, de helyesen fogalmazva abból látható, hogy R'=L(W)*R -> dR'=L(W)*dR -> dR'/dT=L(W)*dR/dT -> U'=L(W)*U, mivel dT mindkét rendszerben ugyanakkora.
Más kérdés, hogy ennek mi a köze az általunk vektorként tisztelt v-hez ill. v'-höz.
Még egy körülmény, ami a fentieket azonos értelemben kiegészíti:
Minden trafótól elvárjuk, hogy invariáns mennyiségeket invariánsan hagyjanak. Pl. ilyen egy vektor hossza. Az L(W) trafóval az R és R' hossza azonos, és ugyanígy azonos az U és U' hossza (Minkowski), ez utóbbi éppen =1 mindkettő. Nem azonos azonban a V és V' hossza, ezért sem lehet V vektor.
Az impulzusvektorhoz ez úgy kapcsolódik, hogy az impulzus is úgy lesz vektor, ha nem m*dx/dt, hanem m*dx/dT képlettel definiáljuk. Ekkor az időszerű komponenens m*dt/dT alakilag, azaz:
I=m*dR/dT legyen az impulzusvektor (egyelőre). Ennek hossza tehát megmaradó mennyiség, magától, éppen m. m tehát a I vektor hossza. Az első tag jelentése: Vegyünk most egy, a vesszőtlen rendszerben W állandó sebességgel haladó m tömegű pontot. Ekkor ez a tömegpont a vesszős rendszerben áll: x', y', z'=0, dt'=dT. Ekkor az I így néz ki: (m, 0, 0, 0).
A vesszőtlen rendszerben az első tag: m*dt/dT=m/gyök(1-W2), ami kifejtve: m+m/2*W2+ ..., azaz ez az energia, így m-et nevezhetjük nyugalmi energiának, de az is látható volt, hogy m az I vektor invariáns hossza.
I tehát nem az impulzusvektor, ahogy előbb mondtam, hanem az energia-impulzus vektor.
Más kérdés, hogy külön az m*dx/dT, m*dy/dT, m*dz/dT-k megmaradnak-e, ill. milyen formában. Ez már fizika, impulzusmegmaradás. Az jön ki, hogy ennek hossza (Euklidesz) megmarad. Ebből tehát kijön az energiamegmaradás is.
Úgy látszik, hogy a Te általad leírtakkal ellentétben az általam leírtak nem érthetőek, és nem követhetőek (ez persze az énszámomra nem új, néha magam sem értem magam), a hiba nem a Te készülékedben van. Arról ugyanis már több alkalommal meggyőződhettünk, hogy készüléked jó.
Én azt hiszem, értem amit írsz, jó is, csak én másra akarok kilyukadni, amit nem tudok rendesen kinyökögni.
Érthető és követhető leírást csak hosszas fejtegetésekkel tudnék adni. Jöjjön, vagy hagyjuk? (Mondjuk: szerintem se túl fontos a mondanivalóm. Habár én végül az impulzus"vektor"hoz szeretnék így eljutni, meg a tömeg<->energiához)
Amit leírsz érthető és követhető, eltekintve egy apró elütésől: az utolsó formulában dx helyesen dt, ha jól értem. Igen, elnézést az elírásért.
A többit nem egészen értem, egy (t,x,y,z) eseménynek nincs sebessége csak egy t->(x(t),y(t),z(t)) függvénnyel leírható 'mozgó pontnak', (ezt írhatjuk (t,x(t),y(t),z(t))-nek is, itt a 't' nem szám hanem változó). Ez a sebesség is egy függvény t->(vx(t),vy(t),vz(t)) = (dx/dt,dy/dt,dz/dt), amit írhatunk (t,vx(t),vy(t),vz(t))-ként is.
[Most látom hogy mivel zavartalak meg: az időnek az idő szerinti deriváltja természetesn kiszámítható (dt/dt=1), de praktikus értelme nincs, talán kár is volt előhoznom]
(Megjegyzés: egy eléggé pongyola jelölést alkamaztam, a 'dx/dt' korrektül x'(t) nek írandó (sőt, igazábol az 'x' fölé kellene egy pontot tenni!), csakhogy az x' itt egész mást jelent... úgyhogy maradjunk ennél a pongyola jelölésnél, csak vigyázzunk, hogy ne egyszerűsítsünk d-vel: dx/dt = x/t alapon)
Köszönöm válaszod. Amit leírsz érthető és követhető, eltekintve egy apró elütésől: az utolsó formulában dx helyesen dt, ha jól értem.
Ha pl. a két koordináta, t és x egy az origóból induló mozgó tömegpont koordinátái az alaprendszerben, akkor ennek sebessége w=x/t. A (t,x) deriváltja (1,w).
A vesszős rendszerben (a két rendszer origója ugyanaz az esemény, a tömegpont indulása) ezen pont koordinátái t', x', ennek sebessége tehát w'=x'/t'. A (t',x') t szerint ideriváltja: L(v) (1,w), ami nem (1,w').
Ezért az (1,w) nem vektor.
Hanem:
V: A (vx,vy,vz) sebesség nem vektor. Ez a válsaz. A "hely"koordináták: (t,x,y,z), ezek az L(v) szerint transzformálódnak a koordinátarendszer váltásakor:
L(v) (t,x,y,z), = (t',x',y',z'). A helykoordináta t szerinti deriválta: (1,w,0,0) nem vektor, mert transzformáltja nem L(v) (1,w,0,0)
Hanem a T sajátidő szerinti derivált a vektor: (dt/dT, dx/dT, dy/dT, dz/dT), mert erre
(könnyű belátni: dT invariáns, mindkét rendszrben ugyanaz.)
Szavakban: a hagyományos (3-as) sebesség nem vektor, de a 4-es sebesség igen, nem csak azért, mert összeadhatók, szorozhatók stb., hanem mert követik a koordaniátatranszformációs szabályt is.
Én ahol lineáris algebrát tanultam, ott a vektorok arról ismerkedtek meg, hogy lehetett őket összeadni, kivonni, skalárral szorozni, van köztük nullvektor (és még pár hasonló egyszerű feltétel, bővebben itt: Vektortér - Wikipédia). Ha az a kérdés, hogy a transzformált deriváltja hogyan viszonyul az eredeti deriváltjához, azt is kiszámíthatjuk:
K0: Kedves Nevem Teve:lehet-e ezt a fórumot úgy játszani, hogy egyvalaki feltesz egy kérdést, és egy másvalaki megválaszolja, vagy csak úgy lehet, hogy a kérdés mellé egyből beírjuk a választ is?
Lenne ugyanis egy RAQ-om, egyelőre a válasz nélkül írom be, hátha valakit elgondolkodtat:
K: legyen egy K: t-x-y-z koordinátarendszerem, és egy másik K': t'-x'-y'z', mely az előzőhöz képest x irányba mozog V sebességgel. A K és K' koordinátái által definiált "hely"vektorok lineáris teret alkotnak, a két kord.rsz. között a Lorentz trafó az átváltás, mely felírható, minta a koord.trafó mártixa, ahogy korábbi kedves válaszodban is láthattuk bemutatva.
Én valahol azt hallottam, hogy egy vi indexes mennyiség nem attól válik vektorrá, hogy i=1, 2, ..., hanem attól, hogy komponensei követik a koordinátatrafót. A sebesség komponensei azonban nem követik.
Fenti példánknál maradva x->x' trafót nem követi a vx->vx' trafó, még kevésbé követi a vy->vy' trafó, hiszen pl. a vy sebességet transzformálni kell, az y-t pedig nem. A sebesség tehát nem vektor e szerint?
K: De én láttam egy olyan számítást, ahol két sebességet csak úgy símán összeadtak! Az úgy biztos rossz volt, nem?! V: Nem. Ha egy adott rendszeren belül névze két tárgy egymás felé mozog v1 és v2 sebességgel, akkor az őket elválasztó L távolságot L/(v1+v2) idő alatt győzik le (vagyis akkor találkoznak); ha viszont a gyorsabb üldözi a lassabbat, akkor L/(v1-v2) idő alatt.
K: Ez természetesen azt is jelenti, hogy az egyik tárgyból nézve a másik sebessége v1+v2 illetve v1-v2. V: Természetesen nem jelenti azt. Pontosan ilyenkor van szükség a sebességek összeadásának lenti képletére: (v1+v2)/(1+v1*v2) illetve (v1-v2)/(1-v1*v2) a helyes.
Ez arra is rámutat, hogy a sebességösszeadásban semmi csoda nincs, csak nem a koordinátahányadosokat (x/t) kell összeadni, hanem azok arth-ikat. Ugyanúgy, mint a megszokott síkbeli koordinátarendszer-elforgatásoknál nem a meredekségeket (y/x), hanem azok arctg-eiket, a szögeket.
Így tehát semmi csoda nincs a c határsebesség mivoltában.
Személyes megjegyzés: Amikor ezt megtudtam, nekem ez okozta az AHA élményt a specrel tanulásában. Ezért is vetettem fel kérdésemet.
K: Tegyük fel hogy három rendszerünk van (K, K' és K''), amelyek origója egybeesik, K-hoz képest K' sebessége v, K'-höz képest K'' sebessége w. Hogyan történik a koordináták átszámítása K-ból K''-be? V: Legegyszerűbben a Lorentz-transzformáció kétszeri alkalmazásával: (t'',x'')=L(w)(t',x')=L(w)L(v)(t,x).
Arra is mód van, hogy az L(w)-t és az L(v)-t mátrixnak tekintve először a L(w)L(v) szorzatot számítsuk ki. Ha mondjuk v= th α és w=th β akkor L(th β)*L(th α)= ( ch β -sh β ) ( ch α -sh α ) = ( ch β * ch α + sh β * sh α -ch β * sh α - sh β * ch α) = ( -sh β ch β ) ( -sh α ch α ) = ( -sh β * ch α - ch β * sh α sh β * sh α + ch β * ch α) =
( ch(β+α) -sh(β+α) ( -sh(β+α) ch(β+α)
Ezt az eredményt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ilyenkor nem a sebességek adódnak össze, hanem a sebességek area tangens hiperbolikusza. Egyszerűbben szólva v+w = th (α + β) = th (ar th v + ar th w) = (v+w)/(1+v*w).
A hiperbolikus képletekben az a jó, hogy rögtön látszik, hogy a rapiditás a Lorentz-transzformációk csoportjának kanonikus paraméterezése, azaz ez lesz az a változó, ami "összeadódik".
off K: Igaz, hogy a forgás centrifugális erőt hoz létre? Vagy inkább centripetálisat? Esetleg mindkettőt? V: Maradjunk annyiban, hogy a forgómozgás feltétele az, hogy a testre ható erők eredőjének sugárirányú komponense Fr= -m*rv2/r2 legyen.
K: De ezt az erőt nem a forgás hozza létre? V: Nem. Az adott helyzettől függ, hogy ezt az erőt gravitáció, kötél, rúd vagy bármi más hozza létre.
K: Ez az egyenletes körmozgásra is igaz? V: Igen, azzal a kiegészítéssel, hogy ott a testre ható erők eredőjének sugárra merőleges irányú komponense nulla kell legyen.
K: Mit jelent az, hogy a Lorentz-transzformáció felfogható hiperbolikus forgatásnak? V: Nézzük az egyszerűsített képletet: t'=(t-x*v)/sqrt(1-v2) x'=(x-t*v)/sqrt(1-v2)
Tegyük fel, hogy v=th α = sh α/ch α valamilyen α számra. Ekkor 1/sqrt(1-v2) = ch α tehát a transzformáció mátrixa az alábbi alakra egyszerűsödik: ( ch α -sh α ) ( -sh α ch α )
