A 84-es uzenetemben a zarojeles megjegyzes suletlenseg volt, azt visszavonom. Koszonom sashiminek, hogy felhivta ra a figyelmemet. Hogy tisztazzuk a dolgot; a transzfinit indukcio elve egy egyszeru teny, ami szinte azonnal adodik abbol, hogy a rendszamokat az "eleme" relacio jolrendezi. Ehhez tehat nincs szukseg a kivalasztasi axiomara. Ahhoz azonban igen, hogy a H-ra ugy gondolhassunk a feladatban, mint egy k szamossagra (ahogy sashimi teszi a 86-os uzeneteben). Az, hogy minden H kolcsonosen egyertelmuen kepezheto egy szamossagra, ekvivalens azzal, hogy minden H jolrendezheto, ez pedig ekvivalens a kivalasztasi axiomaval. A 85-os uzenetbeli ekvivalencia ennel valoszinuleg melyebb.
Be tudod latni kivalasztasi axioma nelkul? Peldaul a kovetkezo 3 valtozos fuggvenyre: f(x,y,z) erteke x, ha |{x,y,x}|=1 vagy 3, ha pedig 2, es mondjuk x=y, akkor a fuggveny erteke z. Nekem elso kozelitesben kell |HxH|=|H|.
Tranzfinit indukcioval bizonyitjuk, tegyuk fel, hogy k-nal kisebb szamossagokra igaz. Belatjuk, hogy kxk is k szamossagu. Rendezzuk kxk elemeit a kovetkezokeppen: (a,b) kisebb mint (c,d) ha
max(a,b) kisebb mint max (c,d) vagy ha a max azonos, akkor lexikografiksu rendezesben kisebb. Ezen rendezes jolrendezes lesz, a rendezes minden kezdoszeletenek a szamossaga kisebb mint k (itt hassznaljuk az indukcios feltevest), igy a rendezes rendtipusa pont k.
Fel lehet hasznalni, mert ez a halmazelmelet egyik legelso es legalapvetobb tetele. Nagyon gyors bizonyitast nem tudok; Hajnal-Hamburger konyve transzfinit indukcioval bizonyit (ez utobbi ekvivalens a kivalasztasi axiomaval).
Egyébként tudsz szép és gyors bizonytást arra, hogy HxH és H között van bijekció? Mert elég trivi és nyilván szó nélkül fel lehet használni, de azért jó lenne.
Amúgy egész szép feladat, ahhoz képest, hogy milyen könnyűnek látszik (és tényleg nem nehéz).
Vegtelenre nem kovetkezik a feladat azonnal abbol, hogy HxH es H kozott van bijekcio? (Ez a szamossagok alaptetele, amit valoban a kivalasztasi axioma felhasznalasaval szoktak igazolni.)
Itt egy megoldas veges H-ra. Az altalanossag megszoritasa nelkul feltehetjuk, hogy H a Z/m maradekosztaly-gyuru a szokasos + es * osszeadas- es szorzasmuvelettel, m>1. Jelolje e(x,y) azt a ketvaltozos muveletet, aminek erteke 1, ha x=y es 0 egyebkent. Nevezzunk jonak egy muveletet ha kifejezheto ketvaltozos muveletekbol. Indukcioval bizonyitunk. Legyen f egy tetszoleges n-valtozos muvelet (n>3), es tegyuk fel, hogy minden (n-1)-valtozos muvelet jo. Tetszoleges H-beli i eseten jelolje fi(x1,...,xn) az e(x1,i)*f(i,x2,...,xn) muveletet. Ez ket jo muvelet szorzatakent maga is jo. De akkor jo az f0+...+fm-1 osszeg is, hiszen az m-valtozos osszeadas elvegezheto ketvaltozos osszeadasok egymasutanjakent. Az osszegmuvelet eppen f-fel egyenlo, tehat f is jo.
Itt egy megoldas veges H-ra. Az altalanossag megszoritasa nelkul feltehetjuk, hogy H a Z/m maradekosztaly-gyuru a szokasos + es * osszeadas- es szorzasmuvelettel, m<1. Jelolje e(x,y) azt a ketvaltozos muveletet, aminek erteke 1, ha x=y es 0 egyebkent. Nevezzunk jonak egy muveletet ha kifejezheto ketvaltozos muveletekbol. Indukcioval bizonyitunk. Legyen f egy tetszoleges n-valtozos muvelet (n<3), es tegyuk fel, hogy minden (n-1)-valtozos muvelet jo. Tetszoleges H-beli i eseten jelolje fi(x1,...,xn) az e(x1,i)*f(i,x2,...,xn) muveletet. Ez ket jo muvelet szorzatakent maga is jo. De akkor jo az f0+...+m-1 osszeg is, hiszen az m-valtozos osszeadas elvegezheto ketvaltozos osszeadasok egymasutanjakent. Az osszegmuvelet eppen f-fel egyenlo, tehat f is jo.
Bizonyítsd be, hogy tetszőleges n-változós művelet kifejezhető kétváltozósak segítségével.
(művelet: HxHx...xH - > H függvény, a kifejezésen ilyesmi értendő: f1(x,f2(y,(f3(z,u),f4(z,u))), szóval egymásbahelyettesítés, mint pl. az x+yz kifejezésben)
Ez a veszély nem fenyeget, de van egy pár téma ami érdekel, és nálunk egyáltalán szó nincs róla, meg amúgy is körül lehetne nézni. De hogy miért nem jutott eszembe eddig csak simán besétálni egy pár előadásra azt nem tudom.
- Otthon Derive 5-öt használok, www.derive.com
- Matlab, ezt a suliban használjuk
- Létezik még olyan, hogy Maple, és hogy Mathematica, őket nem ismerem, de úgy tudom hogy utóbbi a legteljesebb
Szerintem hallgathatod a matematikus szak eloadasait, ha egy tema jobban erdekel, es ugy erzed, azt a matematikus szakon melyebben targyaljak. Ismerek valakit, aki tanarszakoskent sokat jart be hozzank (specialeloadasokra is), es kutatomatematikussa valt azota.
Oszinten szolva: nem tudom. Amikor en vegeztem, meg nem volt alkalmazott matematikus szak, es sajnos a progterv tematikat sem ismerem. A matematikus szakon nekunk az elso 6 felev kotott tantervvel ment (algebra, analizis, komplex fuggvenytan, funk.anal., val.szam., halmazelmelet, mat.logika, szamelmelet, topologia, geometria, veges matematika, num.analizis, lin.programozas, elsorendu es parc. diff.egyenletek) - mindegyik eloadas+gyakorlat felosztasban. A gyakorlatok szinte kivetel nelkul feladatmegoldassal teltek es a reszvetel kotelezo volt. Az eloadasokra nem kellett bejarni. A maradek 4 felev nemi szakosodast tett lehetove olyan un. (fel)savokbol mint valos fv.tan vagy univerzalis algebra (ezek csak peldak). A gyakorlati jegyet ZH-val szereztuk (es a reszvetelt is beszamitottak), mig az eloadasok felevi anyagabol mindenki szobeli vizsgat tett. Nem tudom, mas szakokon, ill. jelenleg hogy mennek a dolgok.
Gergo, eddig is sejtettem hogy matematikus vagy, de ezt itt látom először explicite. :) Én progterv III-ra járok, és az lenne a kérdésem, hogy ismered-e a progmat matematika ágának tematikáját, mert szeretném tudni, hogy mikben tanultok többet, és durvábbat mint mi, és hogy az alkalmazott mat miben más a két szakhoz képest, erről tudsz valamit mondani ?
En csak arra utaltam, hogy ha eloszor az f-nek az x2 muvelettel valo felcserelhetoseget igazoljuk, akkor Hersteint kovetve kicsit szenvednunk kell, hogy megkapjuk az xyx-szel valo felcserelhetoseget, es azt is csak azon adalekfeltetel mellett, hogy a 2 nem nulla a ferdetestben. Ellenben hasonloan, ahogy kijon az x2-tel valo felcserelhetoseg, kijon kozvetlenul az xyx-szel valo felcserelhetoseg is (aminek persze az elobbi specialis esete), es akkor minden kijon minden adalekfeltetel nelkul. Nem azt mondtam, hogy nem kell megkuzdeni erte, hanem hogy a logikai lancolat egyszerubb. Persze minden ilyen velemeny szubjektiv. Ram a felismeres elemi erovel hatott es orultem neki.