sashimi, remélem nem sértettelek meg, nem úgy értettem, hogy neked kéne bepötyögni az adatokat.
-------
Van egy érdekes cikkrészlet, amely összekapcsolja a halmazelméletet és a számelméletet, elég mélynek látszik, és nem látom át pontosan.
The absoluteness of first order logic.
An important feature of first order logic is that it is absolute in a strong sense. Absoluteness has a technical meaning in set theory [itt a forszoláskor abszolút tulajdonságokra/formulákra gondol, amelyek minden bővített modellben megmaradnak], which FOL fulfills in several ways. For example, the property
'ZFC-ből levezethető fi' (1)
is an r.e. property of a FO sentence fi. Therefore, if (1) is true, its formalized version holds inside any model of FO Peano arithmetic, and the formalized version is provable in Peano arithmetic. On the other hand, if the formalized version of (1) is provable in PA, then 'ZFC-ből levezethető fi'. Thus the absoluteness of FOL permits us to reduce question about ZFC set theory to questin about FO number theory.
Vaananen: Second order logic and the foundations of mathematics. Bull. of Symbolic Logic, Dec, 2001.
Nem értem, mire gondolsz. Sem a számelmélet, sem az L-függvény fogalma nincs pontosan meghatározva (mondjuk a Langlands-filozófiába az is beletartozik, hogy minden valamirevaló L-függvénynek automorf formából kell származnia). Ez egy empirikus-intuitiv kijelentés volt. Az L-függvények hatékonysága a számelméletben majdnem annyira érthetetlen, mint a matematika hatékonysága a természettudományokban (Wigner).
1. Február 9., Rényi Intézet, Nagyterem, du. 2h: Adrian Mathias előadása. A cím alapján a matematika megalapozásának két megközelítéséről fog beszélni; az egyik (eddigi írásai alapján, melyeket próbáltam megnézni) a Bourbaki-féle lesz valszeg. Nevéhez fűződik a Mathias forcing is, melyről nem tudom, hogy micsoda. Eddig nem ismertem őt. Tud valaki többet?
2. A FOM-on Németi István is bekapcsolódott a fizika matematikai megalapozásáról folyó beszélgetésbe.
3. Van két olyan nagy számosság, az óriási és a szuperkompakt, hogy az első konzisztenciájából következik a másodiké, ha óriási van a modellben, akkor abból a szuperkompakt létezése nem következik, és ha mindkettő van a modellben, akkor az óriási a kisebb. Az erősebb konzisztencia tehát nem feltétlenül jár nagyobbsággal!
Valami plussz felteves kell a te altalad keresett "altalanositott mertekre" kulonben minden X halmaz reszhalmazain definialhatjuk az m merteket igy:
m(Y)=Y. Ez szigma additiv, etc. Hogy ezt kizarjuk, szeretned, hogy az altalanositot mertek rendezettbe kepezzen?
A rendezéstopológia Lindelöfsége nem is olyan egyszerű. Mi van egy nullaintervallumokkal való lefedéssel? Másrészt a pozitív mértékű intervallumokra szorítva a lefedéseket, szerintem a tér "Lindelöf".
Kicsit olyan ez, mintha megkérdeznénk, hogy hány végtelenül kicsi nemstandard valós szám ad ki egy intervallumot R-ben? (tudja valaki?)
Azért én értem, hogy mit szeretnél. Maradjunk a példánál, lehet-e ezen pl. Borel-mérték?
A természetes topológia adott, de a valós számok kevesen vannak ahhoz, hogy a félig nyílt intervallumok félgyűrűjéhez tisztességesen hozzá lehessen rendelni őket; 2, omegánál nagyobb sorszámú helyiérték között "intervallum van", de elfogytak a pozitív valós számok - kivéve a 0. Szóval van 0 ("elő")mértékű intervallum. Posztulálhatjuk, hogy két, adott sorszámú helyiérték között minden x-re egyenlő hosszúak az intervallumok (eltolás létezik, és lefedik egymást).
Egyelőre látok valamit, ami megakadályozná a félgyűrű kiterjesztését Borel-szigma-algebrává, reguláris Borel-mértékkel. Azt kell eldönteni, hogy megszámlálható sok nullahalmaz uniója lehet-e pozitív? Vegyük pl. az omega-dik, és az omega+1-ik helyiértékek között található nullahalmazt, amely intervallum. Megsz-ó sok ilyen uniójának nullahalmaznak kell maradnia. Így van ez?
Még nem tudom. Sajnos régen foglalkoztam ezzel. Van valakinek ötlete? Mindenesetre, mivel a tér nem Lindelöf, megsz-ó sok intervallummal nem fedhető le, ez mellette szól.
-----
Ha további jelekkel tudnánk bővíteni R_+-t, akkor az így kapott Borel-mérték sokkal finomabban ki tudná fejezni a rendezéstopológia szerkezetét.
Ez az ún. Langlands-filozófia. Hogy időt takaritsak meg, átirányitalak a 28-as számú üzenetemre a Riemann-sejtés témában. Ezzel az üzenettel debütáltam az indexen! Figyelmedbe ajánlom még a 36-os üzenetemet is ugyanitt.
Az archimédeszi tulajdonság a következőképpen hangzik: minden pozitív valós számhoz létezik nála nagyobb természetes szám. Ebből következik, hogy a rendezés kofinalitása legfeljebb omega, és mivel nincs utolsó elem, pontosan omega.
Tehát az eredeti, (1057)-es hozzászólásom ide vonatkozó része helyes;
egész éjjel dolgoztam, stb., ezért írtam reggel hülyeséget, sorry. A példa viszont végig jó volt:)
Nem, ez hibás: az axiómából nem következik, hogy a kofinalitás legfeljebb omega. Akkor következne, ha egyúttal minden nem-képre is lenne természetes szám képe, amely nála nagyobb. A többi szerintem jó: a megadott rendezésre érvényes az axióma.
----
A Szuszlin-hipotézis az az eset, amikor tetszőleges N-beágyazás által kijelölt diszjunkt intervallumok száma nem lehet nagyobb megszámlálhatóan végtelennél, és hogy ez izomorf-e R-rel. Ez független a ZFC-től, viszont fennállásának és negációjának konzisztenciája is fennáll, ha a Con(ZFC) igaz.
Az arkhimédeszi axióma egyik (algebrai műveletet nem használó) alakja: van rendezéstartó beágyazás, hogy minden adott természetes szám képénél van nagyobb elem a rendezésben (amely nem természetes szám képe).
Ez szvsz. azt jelenti, hogy a rendezés kofinalitása legfeljebb N, vagyis omega.
Szóval: van-e legfeljebb omega kofinalitású, kontinuumnál nagyobb számosságú rendezés? A válasz szerintem: van.
Vegyük a {0,1}^kappa sorozatokat (tehát kappa rendszám, rendezéseket veszünk), ahol card(kappa)> c. Ez egy card(kappa) számosságú sűrű rendezést ad meg, amely kofinalitása legalább omega, hiszen az első omega helyiértéket véve R-nek van egy rendezéstartó beágyazása a rendezésre (amely nem sűrű a rendezésben, de kofinális vele).
Én pedig a Riemann-sejtésről nem mint formuláról beszéltem. Formalizálhatod, de az már nem ugyanaz. Magukra az L-függvényekre is jobb nem formálisan gondolni, hanem valahogy igy: minden aritmetikus objektum megragadható egy L-függvénnyel. Tulajdonképpen senki nem tudja, mik is az L-függvények.
Nehéz Veled vitatkozni, ugyanis a matematikához való antropomorf (-automorf:), sőt, emberséges hozzáállásodat szimpatikusnak találom, érzelmileg egyetértek a nézeteiddel. Teoretikusan viszont nem.
Ez a formula random, amely kulturálisan kitüntetett. Ezt mély tudományfilozófiai meggyőződéssel mondom. Indoklás: régi vitánk a Goodstein-topikban, az idegen lények kvantummechanikai formalizmusával, és általában matematikájuk felépítésével kapcsolatban.
Viszonylag a legkevesebb esetlegességet (kitüntetett voltát illetően) a halmazelméletben és logikában látom (ezért szeretek ezzel foglalkozni, többek közt). (A logika és matematika épülete, egészében persze nem kultúrafüggő!)
Nem tudom, hogy ez miért vicces. A Jóisten egészen biztosan tudja, hogy mi az a Riemann-sejtés. (Végtelen lény)
--------
A számelmélész hajlandó eladni a lelkét az ördögnek. Kérdi az ördög, hogy mit kér cserébe? A választ a Riemann-sejtésre - mondja a matematikus. Jó, kérek négy napot, mondja az ördög. Négy nap múlva a megbeszélt helyen találkoznak. Na, megvan? - kérdezi mohón a számelmélész. Nincs - feleli az ördög - de találtam egy gyönyörű következményt.
(Valaki a végén segédtétellel mondta el ezt a viccet, de így hallottam először.)
> De ő is nagyszámú következmény beigazolódása alapján alakította ki az intuícióját.
Nem értek egyet. Riemann annyit tudott, amennyit leirtam, plusz még kiszámolta az első néhány gyököt. Nem tudom, ennyi információ alapján hányan mondtuk volna azt, hogy "valószinűnek tűnik". Ehhez egy Riemann kellett.
> Ha lenne gyök a szimmetriatengelyen kívül, az talán még szebb és mélyebb elmélethez vezetne, mint az, amit az L-függvényektől ma várnak.
Ez egyelőre üres spekuláció. Egy azonban biztos: jelenleg nem arra van szükségünk, hogy kivételes gyököt találjunk, hanem arra, hogy a Riemann-sejtés igaz legyen. Javaslom, hogy a Riemann-sejtést ne a ZFC vagy a PA egy random formulájának tekintsd, hanem a Világegyetem egy ritka mély igazságának kifejeződésének.
Ha már itt tartunk, hadd mondjak el egy viccet, amit Iwaniectől (a szakma egyik nagyjától) hallottam. Hires számelmélész halálakor a mennybe kerül, és első dolgaként megkérdezi a Jóistent, hogy igaz-e a Riemann-sejtés. A válasz: mi az a Riemann-sejtés?
De ő is nagyszámú következmény beigazolódása alapján alakította ki az intuícióját. Egyébként szerintem megmutatható, hogy valamekkora valószínűséggel várható olyan formula, amely nem igaz, de számos (szubjektíve temérdek) következménye igaz. Ahogy a különböző tételek mögött álló többi tétel, és a konzervatív bővítések egyre bonyolultabbak, egyre inkább várható ilyen.
Ha lenne gyök a szimmetriatengelyen kívül, az talán még szebb és mélyebb elmélethez vezetne, mint az, amit az L-függvényektől ma várnak. Gondolj bele, mennyire érdekes lenne annak az oka, hogy van kivétel!
Na, tehát a következőképpen néz ki a dolog: a külső mű mérték (akár P(X)-en értelmezve) alapján értelmezzük a m-ő halmazokat úgy, hogy A m-ő, ha minden(!) B X-részhalmazra
mű(B) = mű(A metszet B) + mű(B-A). (1)
Ekkor az ilyen tulajdonságú A részhalmazok szigma-algebrát alkotnak, melyen a mű külső mérték mérték. Tehát (1) erős kikötés. (egyébként a Lebesgue-mértékké való kiterjesztés egyik módja is ez.)
Riemann lényegében a következőket értette meg a zeta-függvényről.
1. A gyökök teljes pontossággal leirják a primek eloszlását. Egy gyök hatása annál nagyobb, minél nagyobb a valós része.
2. A gyökök a negativ páros számokban, illetve a 0<=Re(s)<=1 ún. kritikus sávban helyezkednek el. Az előbbiek a primek eloszlásása szempontjából érdektelenek (vö. előző pont), az utóbbiak sokan vannak és szimmetrikusak a Re(s)=1/2 ún. kritikus egyenesre nézve.
3. A fentiekből következik, hogy akkor "a legszebb az élet" a primek eloszlása szempontjából, ha a kritikus sávbeli gyökök mind a szimmetriatengelyen, azaz a kritikus egyenesen helyezkednek el. Ráadásul a kritikus sáv "messziről nézve pont úgy néz ki", mint a kritikus egyenes, hiszen a sáv vizszintes kiterjedése véges, függőleges kiterjedése azonban végtelen.
Amikor Einsteint megkérdezték, mit szólna ahhoz, ha a relativitáselmélet hamisnak bizonyulna, azt válaszolta, hogy azt gondolná, Isten elszalasztott egy nagyszerű elméleti lehetőséget. Valószinűleg hasonlót válaszolna Riemann is arra a kérdésre, hogy mit szólna ahhoz, ha lenne egy gyök a szimmetriatengelyen kivül. Persze itt nem Isten személyéről van szó, hanem a harmóniába és az esztétikumba vetett mélységes bizalomról. Ezt nem tudod megfogni formális alapon.
De még inkább azért (szvsz), mert általános esetben a mértéket nem definiáljuk konstruktívan, csak pl. a szigma-algebrát adjuk meg, és a mérték bizonyos tulajdonságait (pl. regularitás, eltolhatóság). A Borel-mérték viszont elég konkrét, (és a Lebesgue is tkp.) és az ezekre m-ő halmazok bizonyíthatóan szigma-algebrát alkotnak.