Azt, hogy SL(2,C) az SU(2)-nek is kettős fedése itt olvastam:
you need to recall that SL(2,C) is the real part of the complexification of SU(2)×SU(2). That is, SL(2,C) is a double cover of SU(2). This is because, when you complexify, and then take the real parts, you get two copies of SU(2).
A hiperbolikus térrel kapcsolatos dolgokat sajnos nem értem
Az SL(2,R)-es konstrukció könnyen általánosítható SL(3,C)-re, és ez jön ki. Most nincs időm elmagyarázni, de megtalálod pl. ebben a könyvben:
Elstrodt-Grunewald-Mennicke: Groups acting on hyperbolic space (Springer, 1998)
Konkrétan ahogy az SL(2,R) hat a felső félsíkon Möbius-transzformációkkal, úgy az SL(2,C) is hat a felső féltéren hasonló transzformációkkal. Lásd különösen az (1.8)-(1.10) képleteket a 3. oldalon.
Ugyanakkor azt is láttam már leírva, hogy SL(2,C) az SU(2)-nek is kettős fedése.
Ez így biztos nem jó, mert az SL(2,C) 6-dimenziós, az SU(2) 3-dimenziós.
Az SL(2,R) Iwasawa felbontásával találkoztam már, az ugyanígy néz ki csak ott K=SU(2) helyett K=SO(2), és N-ben z helyett valós szám van. Ott ugye területtartó transzformációkról van szó, amit a felbontás forgatásra (K), egymásra merőleges irányban azonos mértékű nyújtássr illetve összenyomásra (A), valamint egy nyírásra bont (N) fel. Azt kicsit könnyebben át tudtam látni.
A hiperbolikus térrel kapcsolatos dolgokat sajnos nem értem, de az jól hangzik, hogy "3-dimenziós gömbnyalábra a 3-dimenziós hiperbolikus tér felett", mert itt legalább érzem, hogy hol helyezkedik el az én SU(2) gömböm SL(2,C)-ben.
Azt tudni vélem, hogy SO(4) kettős fedése SU(2) × SU(2), ez tehát egy olyan nyaláb, aminek a bázistere is gömb. SL(2,C) ezzel szemben SO(3,1)-nek a kettős fedése, és ez olyan nyaláb, amit írtál. Az SO(3,1) ugyebár a megszorított Lorentz-csoport, ami egy hiperbolikus tér bizonyos izometriából áll, és a mondott nyaláb bázistere is hiperbolikus tér, gondolom ennek a két dolognak van köze egymáshoz.
Ugyanakkor azt is láttam már leírva, hogy SL(2,C) az SU(2)-nek is kettős fedése. Mivel SU(2) az SO(3) kettős fedése, ezek szerint SL(2,C) az SO(3) négyes fedése. Érdekes, hogy egy Minkowski-tér izometriacsoportjának az identitást tartalmazó komponensének a kettős fedése egy euklideszi tér izometriacsoportjának az identitást tartalmazó komponensének a négyes fedése.
Igen, most néztem jobban utána. A folytonosításról megfeledkeztem, vagyis a véges kis csoport, mint alap generáló csoport Lie-csoportá fejlesztésről. Meg ilyenek...
Az SU(2) Lie-algebrája nem a kvaterniók algebrája, hanem az su(2). A kvaterniók algebrája 4-dimenziós, míg az su(2) 3-dimenziós. Továbbá a kvaterniók algebrája nem Lie-algebra.
Nem egészen értem a kérdést, mindenesetre használhatod az SL(2,C) Iwasawa felbontását vagy Cartan-felbontását. Ha G a teljes csoport, K=SU(2), A={(a 0|0 1/a): a>0}, N={(1 z|0 1): z in C}, akkor G előáll mint NAK és KAK.
A G/K azonosítható a 3-dimenziós hiperbolikus térrel (amin a G hiperbolikus egybevágóságokkal hat), tehát a G-re gondolhatsz úgy, mint egy 3-dimenziós gömbnyalábra a 3-dimenziós hiperbolikus tér felett. Ez persze szorosan összefügg az említett Iwasawa-felbontással, hiszen a G/K azonosítható az NA szorzattal, ami pedig egy féltér az R3-ban, tehát a 3-dimenziós hiperbolikus tér egy modellje. A Cartan-felbontás is megmagyarázható ezen a nyelven (tekintsük a 3-dimenziós hiperbolikus téren a polárfelbontást).
A csoport vagyis annak elemei definiálnak egy algebrát. Ha olyan vektorteret tekintünk, melynek generátorelemei az előbbi csoport elemei, akkor ennek a vektortérnek efelől meg van adva az algebrai szerkezete is, tehát az algebrája. Egy vektortér euklidesz vagy valamilyen pszeudoeuklideszi jellege egy másik dolog, amely a norma definiálásán alapszik. Szóval ez más tészta, ne keverjük ide. Persze ez is ad egy algebrát neki, de ez másfelől, vagyis a geometria felől. A kettőt nem biztos, hogy van értelme vegyíteni.
su(2) pedig az antihermitikus 2-szer 2-es 0 nyomú komplex mátrixok valós vektortere (vagyis az a vektortér, amelyet a Pauli-mátrixok i-szeresei feszítenek ki valós együtthatókkal)
#
SU(2) egy néhány elemből álló véges elemű csoport (ami természetesen az E egységelemet is tartalmazza). Amit te rá akarsz húzni erre a jelölésre, az már más. (ráadásul a Pauli-mátrixok meg i szereseik egyike sem felel meg az E egységelemnek...)
Össze vagy zavarodva.
Azt javaslom gondold át a csoportot, és annak egy (mondjuk irreducibilis) ábrázolását. Legyen ez mátrixokkal megvalósítva. Aztán a mátrixok vektortér ábrázolását. Az első lépésnél csak néhány mátrix lesz a halmazban. A második lépésnél a vektortér jellege mutatja, hogy nem csupán néhány mátrixról van szó. (Lásd: vektortér halmazának elemszáma...)
Legyen H = ℝI ⊕ su(2), ahol I a 2-szer 2-es egységmátrix, su(2) pedig az antihermitikus 2-szer 2-es 0 nyomú komplex mátrixok valós vektortere (vagyis az a vektortér, amelyet a Pauli-mátrixok i-szeresei feszítenek ki valós együtthatókkal). H a kvaterniók algebrája. Mint vektortér a determinánssal mint normanégyzettel H egy 4-dimenziós euklideszi tér.
SU(2) a H 1 determinánsú elemeiből áll. Ez H-nak mint euklideszi térnek az egységgömbje. Ez már nem vektortér, csak (viszont) csoport a mátrix-szorzással.
SL(2,C) az összes 1-determinánsú 2-szer 2-es komplex mátrixból áll. Ezek között ott vannak SU(2) elemei is, vagyis SL(2,C) ⊃ SU(2). Habár H ⊕ iH az összes 2-szer 2-es komplex mátrixból áll, az már nem igaz, hogy SU(2) + iSU(2) = SL(2,C), hiszen iSU(2) elemeinek nem 1, hanem -1 a determinánsuk, és különben is, két 1 determinánsú mátrix összegének nem 1 a determinánsa. Akkor hol van SL(2,C)-nek a többi eleme?
A fizika szempontjából a lényeg az, hogy a fizikában, mikor csak Lorentz-transzformációt mondanak, valójában a megszorított Lorentz-csoport elemeire gondolnak, amik tükrözést nem tartalmaznak, és azon belül is azokra, amik nem tisztán csak térbeli forgatások, sőt olyat sem tartalmaznak, tehát csak Lorentz-boosztok. Ez nem mindig van így, de legtöbbször.
Hát igen, a szó szerinti fordítása ez, de ezt így sehol nem találom leírva. Helytelül "valódi Lorentz-csoportnak" láttam már írva. Helyesen "valódi ortokrón Lorentz-csoport" lenne, de ez a "proper orthocronous Lorentz group" fordítása, ami egyébként ugyanaz, mint a restricted Lorentz group, de én az egyjelzős "restricted Lorentz group" magyar változatát keresném, mert a "valódi ortokrón Lorentz-csoport" túl nehézkes, ráadásul máshogy szokták definiálni, mint a restricted-et (bár az eredmény ugyanaz).
Ezzel szemben a wikipédiás linken téridő-koordinátákat (egész koordináta-rendszert) vesz, (nézzük most a mátrixos részt), és akkor a forgatása mátrixa a teljes koordináta-rendszert forgatja a koordináta-rendszer origója körül. Szóval az nem lesz ok úgy a specrelhez.
Tudom, hogy a specrel térideje vektortérnek is vehető. De abban nyilván nem dobjuk át máshova az objektumokak egy tetszőlegesen választott origó mint centrum körül...
A specrel térideje vektortér. Erről én itt már nem szeretnék többet társalogni. Ha te igen, azt légy szíves egy erre alkalmasabb topikban tegyed, mert ez itt már teljesen offtopik.
Tehát a koordináták nem tekintendők vektoroknak. Előrehaladottan már nem kellene rájuk alkalmazni boostot vagy Lorentz-transzformációt. A specrel bevezető tárgyalást persze mégis ezzel indítjuk.
A koordináták a téridő események címkéi csupán, illetve a skalár, vektor, tenzor mennyiségeké, amelyekkel azokat leírjuk.
Tehát a nem kollineáris boostokat kiegészítő térbeli forgatások centruma a mennyiségek vektor-, tenzor-terének origója.
Továbbá ha az egy megfelelő irányú (és így kiegészítő forgatás nélküli) Lorentz-boost helyett kettő nem kollineáris Lorentz-boostot akarnánk tekinteni, venni, az fizikai ok nélkül nem oké, mert annak fizikai tartalma van, nem pusztán matematikai összetevés vagy eredő felbontása, hiszen ekkor a kiegészítő forgatás fizikai tartalommal bír. Pl. a Thomas-precesszió nem kollineáris infinitezimális boostok kiegészítő térbeli forgatásai alapján kiszámítható. (kollineáris infinitezimális Lorentz-boostok sorozatára, azaz egyenes vonalú sebességváltozásokra éppen nulla az eredmény.)
Ezzel a példáddal az én dilemmám igaza felé hajlasz. Az autó a saját középpontja körül fordult el. Én is hasonlót akarok magyarázni a Lorentz-transzformációk világában a nem kollineáris boostok összetételére.
A példád amúgy hamis, mert igazából csak az autó középpontja mozgott főkörökön, ami ugye itt a labdán egyenesnek számít, az ettől távolabbi pontjai görbe mentén haladtak... Ezek itt pont lényegesek lennének....
Én értem, amit írsz, de valahogy mégis elbeszélünk egymás mellett, mintha te nem értenéd, hogy én mit akarok mondani.
Szerintem ott is van egy elcsúszás a dologban, hogy te és a linkelt wiki az egész koordináta rendszeren, vagyis a koordinátákon akarja tekinteni ezeket a nem kollineáris, vagy kollineáris boost összetételeket. Szerintem pedig nem azon, hanem a koordinátákhoz rendelt vektor, tenzor mezőkön kell lokálisan operálni vele, és akkor ok. Ezeknek a mennyiségeknek a prototípusai a koordinátadifferenciálok. Vagyis lokálisan kell venni a forgatás centrumát, a helyi vektor, tenzor mennyiségek origójába. Ekkor valóban csak a helyi orientációt érinti az a forgatás, kiküszöbölődik a globális kerületi eltolás. Az, hogy a specrelben az egész nagy kiterjedt koordinátázás is olyan, mint egy vektortér, az megtévesztő lehet. A specrel bevezetésekor persze ezen a módon mutatják be a Lorentz-transzformációt, de nem ezt kell itt tekinteni, hanem a koordinátadifferenciálokra alkalmazott boostot, Lorentz-transzformációt, vagyis a mezőmennyiségekre. A Thomas-precesszió is ilyen, azaz a részecske spin orientációjának változása, ha az klasszikusan tekintve görbe pályán megy.
Az origót toljuk körbe, miközben a tengelyeket végig önmagukkal párhuzamosan tartjuk. Ugyanaz történik, mint amikor egy labdán tolsz körbe egy játékautót úgy, hogy először az északi sarkról leautózol vele egyenesen az egyenlítőre, aztán az egyenlítőn nem a kerekén gurulva, hanem az irányítását megtartva, vagyis úgy tolod egy negyed kört, hogy az autó orra továbbra is végig a déli sark felé mutat, aztán visszatolatsz vele egyenesen az északi sarkra. Az eredmény az lesz, hogy a kiindulási helyzethez képest 90 fokkal elfordulva ér vissza az autó. Bármelyik pontját nevezed ki origónak, ha az a pont tér vissza az északi sarki kiinduló pontjára, akkor a többi pontja nem oda tér vissza, mint ahonnan elindult (kivéve az origón átmenő függőleges egyenest). A különbség e között és a Thomas precesszió között csak annyi, hogy annak az eredménye nem csak attól függ, hogy milyen útvonalin tologatod az autódat, hanem még attól is, hogy milyen gyorsan.
>Az origón átmenő valamilyen irányú tengely körül történik az elfordulás.
#Miért? A forgatás matematikáját jól írod, de nem ok, hogy a forgatás centrumát a tetszőleges helyre választott koordinátaorigóra kell tenni.
Az effektusnál a nem kollineárisan mozgó objektum orientációja változik meg, vagyis fordul el. Az objektum nem tolódhat el a térben a boostokat kiegészítő forgatás által, hanem csak lokálisan elforog. Tehát a tetszőlegesen választott koordinátaorigó nem jó centrumnak.
És itt van egy olyan paradox dolog, hogy az objektum kiterjedt, és annak egyes részei is objektumoknak tekinthetők külön-külön, vagyis azok orientációja is külön-külön megváltozni (elforogni) akar.
Az origón átmenő valamilyen irányú tengely körül történik az elfordulás. A körbetolás eredményeképpen e tengely pontjai önmagukba térnek vissza, a többi pont nem, épp ez az elfordulás lényege. Ha egy ezen a tengelyen kívüli pontból nézed a dolgot, akkor onnan nézve nem sima elforgatás az eredmény, hanem egy elforgatás és egy elolás együttese, ezért nincs semmiféle nyírás (egy pont körüli forgatás mindig előállítható egy másik pont körüli ugyanolyan forgatás plusz egy eltolás kompozíciójaként).
>A "kanyarodás" szó elfedi a lényeget, hiszen kanyarodni úgy szoktunk, hogy közen el is fordulunk.
#Igen. Valóban, nem a legjobban fogalmaztam, de úgy gondoltam, ahogy írtad, hogy más forgást nem viszünk bele, hanem ami a (nagy) sebességgel befutott görbe pálya miatt adódik elforgás.
Viszont a wikin, amit linkeltél, ha jól emlékszem nincs tárgyalva, hogy melyik pontot kell venni a térbeli forgatási síkon a forgatás centrumának. A forgatás mátrixa a térkoordináták origóját veszi. De ez itt nem ok, mert az a nem origóban lévő objektumot máshova tenné. Az objektum aktuális helye kell szerintem legyen a forgatás (elforgás) centruma. Ezután pedig azt érdemes megvizsgálni, hogy ha az objektum nem pontszerű, hanem van kiterjedése, akkor annak minden kis anyagdarabkája el akarna forogni a saját középpontja körül, ami a szomszédos anyagdarabhoz rögzülést nyírja...
A "kanyarodás" szó elfedi a lényeget, hiszen kanyarodni úgy szoktunk, hogy közen el is fordulunk. Ha szemléletesen szeretnénk fogalmazni, akkor érdemesebb inkább nem két boost eredőjét nézni, hanem több olyan különböző irányú boost-ét, aminek a végén a kiindulási sebességhez jutunk. A Wikipedia ezt nevezi Thomas-precessziónak. Ezt úgy lehet szemléletesen megfogalmazni, hogy egy zárt görbe mentén fix (nagy) nagyságú sebességgel való párhuzamos körbetolás eredménye nem az identitás (ahogy várnánk), hanem egy elfordulás. Minél nagyobb sebességgel történik a dolog, annál nagyobb szögű az elfordulás. Kis sebességnél érzékelhetetlen. Ez olyasmi, mint az ikerparadoxon, de nem elég hozzá egy oda-vissza út, hanem minimum egy háromszög oldalai mentén kell az egyik ikertestvérnek párhuzamosan eltolódnia ahhoz, hogy legyen elfordulás.
Csoportelméleti szempontból nézve pedig az, hogy a boost-ok nem alkotnak csoportot, az olyasmi, mint ahogy a sík különböző pontjai körüli elforgatások sem. Két különböző pont körül való elforgatás eredménye lehet például egy párhuzamos eltolás (ami ugye nem valamilyen pont körüli elforgatás), tehát a kompozíció mint csoportművelet kivezet a valamilyen pont körüli forgatások halmazából, ezért a tér izometriáinak ez a részhalmaza nem alkot csoportot.
