Lenne egy-két kérdésem a B-T paradoxonnal kapcsolatban.
Mondhatjuk-e azt az ideális gömbről, hogy nem létezik rajta olyan véges sok lépésből álló Lebesgue-mérhető ponthalmaz-képzési algoritmus, mely a kontinuumnál kisebb rendszámút sokaságot egyértelműen meghatároz valamilyen jellege alapján?
Egy ideális gömb fölvágásából megszámlálhatóan végtelen sok, az eredetivel megegyező méretű ideális gömb állítható elő?
Van-e olyan rekurzív forma, amely megadja a szabási algoritmus lépéseinek sorba rendezési elvét?
Van-e minden (Haussdorf defi szerinti) dimenziónak mérhetőségi kritériuma?
2^kontinuum, persze. Kontinuum sok Borel halmaz van az R^3 tér természetes topológiájából generálva, ugyanannyi analitikus, és 2^c Lebesgue-mérhető.
Ha pontosan néznénk, be kellene bizonyítani, hogy gömbökből indulva melyik rendszámnál találunk először nem mérhető halmazt, de ezt nem tudom. 2^c, gondolom.
Nagyon érdekes, hogy a Lebesgue-sűrűségtopológiában szintén 2^c nem mérhető halmaz van, és vannak "nagyon" nem mérhetők, e topológián kívül is.
Halmazelméleti szempontból érdekes lenne megnézni, hogy a determináltság olyan változata, amely csak a sűrűségtopológiára vonatkozik, mekkora konzisztencia-erővel rendelkezik. Ez, amennyire láttam, teljesen nyitott kérdéskör.
Valóban nem világos. Ha pl. zárt gömbökből, omega-sok lépésben képezünk halmazokat komplementer és unió (esetleg különbség, metszet) segítségével, akkor csak effektív Borel-halmazokat fogunk kapni, amelyek mind nyilván Lebesgue-mérhetőek. Ez bármilyen rekurzív halmazképzési szabályra igaz. Lehet persze tovább is csinálni, nagyobb rendszámig.
Azt azonban meg lehet mutatni, hogy ha elég nagy ez a rendszám (kontinuum), akkor a gömb összes részhalmaza sorra kerül. Ezek a végtelen-Borel halmazok, amelyek AC alatt a halmaz összes részhalmazát tartalmazzák.
ha a rekurzív azt jelenti, hogy minden pontról egy adott lépésben már eldől, hogy beválasztod-e a halmazba vagy sem, és a lépés mérhető, akkor nyilván nem.
Így van, de az általam felvetett probléma az, hogy ZFC-ben, vagy konzisztens bővítésében lehet-e - akár végtelen - rekurzív algoritmus (mint a Koch-hópehelynél), amely kivágja a gömbből a nem mérhető részeket?
a probléma valójában már a mérhetőség alatt látszódik.
ha lenne egy végesen additív mérték a téren amit megőriz a mozgáscsoport, akkor trükközhetnénk mi Lebesgue nem-mérhető halmazokkal nem tudnánk átdarabolni a kis gömböt a nagyobba. a síkon van ilyen végesen additív mérték, ezért nem működik a paradoxon, akkor sem ha egészen durva halmazokkal próbálkoznánk.
A vágás meglétét ugyanis egy olyan axióma biztosítja, amely csak a létezést bizonyítja, nem képes algoritmust - végtelent sem - adni. Sőt, ha a vágás meglétét csak ez az axióma biztosítja, akkor az egyben azt is jelenti, hogy nincs is végtelen algoritmus sem.
Úgy érzem, ezt mindenképpen javítanom kell.
A Kiválasztási axióma lényege, hogy nagyon általános feltételek között is garantál pl. kiválasztási függvényt. Semmi akadályát nem látom annak, hogy egy algoritmus helyességét, esetleg éppen a Banach-Tarski-féle gömbvágás algoritmusának helyességét ne a Kiválasztási biztosítsa.
Ugyanis az algoritmus-helyesség bizonyítása nyugodtan lehet nemkonstruktív, míg az algoritmus nagyon is konstruktív.
Abban az esetben van nem megvalósítható vágásunk, ha pl. az AC az _összes_ vágások közül kiválasztható egy alkalmas vágást biztosít, és bizonyítjuk, hogy ez lehet nem rekurzív;
de az is lehet, hogy ZFC+mérhető számosság-ban találunk rekurzív szabásmintát.
Az a kérdés, hogy végesen megvalósítható algoritmus lehetséges-e ZF+AC egy bővítésében? Az a sejtésem, hogy nem, mert az sima részeket tartalmazna csupán, amelyek ZF-ben bizonyíthatóan nem lehetnek jók. És megszámlálhatóan végtelen, de véges szabállyal (rekurzívan) adott, mint a Koch-hópehelynél? Ezt viszont nem tudom.
Tud valaki egy online angol-magyar matematikai szótárt? Ha nem, azt tudja valaki , hogy a contractible space mi magyarul? (Az összehúzható olan furán hangzik).
Van egy, a (6643)-ban említetthez hasonló 'átdarabolás', egy 8x8-as négyzet, és egy 13x5-ös téglalap között. Sajnos nem tudom, hogy megy, ha valaki ismeri tegye már be, kösz.
Annak idején volt egy Tudomány nevű magazin, a Scientific American magyar kiadása. Ebben volt egy rovat, amelyben érdekes matematikai problémák voltak. Egyszer olvasgattuk, és szó volt benne a Banach-Tarski-paradoxonról.
Ennek illusztrálásához - mint paradoxont - pont ezt a két "háromszöget" tették be.
Viszonylag korán kikövetkeztettük, hogy ezek nem háromszögek, a BT-paradoxon azonban misztikusabbnak tűnt. Ugyanis aranygömbökkel volt kimondva.
A lényeg az, hogy egy aranygömböt fel lehet bontani véges sok darabra, hogy a darabokból _két_, az eredetivel megegyező térfogatú aranygömb rakható össze.
A cikk - kissé hatásvadász módon - nyitva hagyta a lehetőséget, hogy ezt meg lehet-e csinálni, vagyis lehet-e így aranyat gyártani.
Ezen aztán elkezdtünk fantáziálni.
Az egyetlen akadálynak a cikkben egy fizikus szakvéleményét tekintették, aki szerint az anyag korpuszkuláris szerkezete nem teszi lehetővé a megfelelően finom szabásminta elkészítését.
Valójában azonban akkor sem tudnánk megfelelő gömbrészeket gyártani, ha az anyag nem volna részecsketermészetű. Ugyanis a vágás olyan finom, hogy semmilyen "konstruktív" függvénnyel, véges idő alatt nem tudjuk véghezvinni. Nincs véges algoritmus a vágáshoz, vagyis nem tudjuk az ollót (vagy bármi mást) úgy forgatni, hogy véges idő alatt készen legyünk. A darabok határa ugyanis nagyon töredezett, sehol sincs "sima" rész benne.
Sőt, ennél több is igaz: még (megszámlálhatóan) végtelen algoritmus sincs a vágásra. A vágás meglétét ugyanis egy olyan axióma biztosítja, amely csak a létezést bizonyítja, nem képes algoritmust - végtelent sem - adni. Sőt, ha a vágás meglétét csak ez az axióma biztosítja, akkor az egyben azt is jelenti, hogy nincs is végtelen algoritmus sem.
Ilyen "duplázás" tehát még egy nem-atomi világban sem volna lehetséges.
Ennek ellenére ez az axióma (a Kiválasztási Axióma) nélkülözhetetlen a matematikában.
Mondok végül egy megszámlálhatóan végtelen algormitmussal létrehozott objektumot: a Koch-hópehely.
http://hu.wikipedia.org/wiki/Koch-g%C3%B6rbe
Ezt sem lehet ollóval, véges idő alatt kivágni - de ha megszámlálhatóan végtelen időd van, akkor igen. A Banach-Tarski azonban nem ilyen.
Egyik sem háromszög. A piros háromszög legkisebb szögének tangense 3/8 = 15/40, a zöldé pedig 2/5 = 16/40, tehát a zöldé nagyobb, vagyis az alsó ábrán egy olyan törés van a nagy "háromszög" "átfogóján", ami púpossá teszi, a felsőn meg egy olyan törés, ami horpadtá.
sziasztok...Hátha jó helyen járok..egy kis segitségre volna szükségem,uis nem találom rá a pontos magyarázatot. Tudnátok segiteni???
Tudom,hogy a neten láttam vhol, de nem találom:(( Fontos volna!!!
Kaptam rá egy sztem nem pontos választ,miszerint az alsó háromszög valójában nem is háromszög,hiszen az átfogója nem egyenes,hanem íves...nekem ez olyan..nem is tudom milyennek hangzik...Szóval Várom,hátha tudtok segiteni:)))
