Ebbe kavart be Gödel, hogy megmutatta, hogy olyan matematikai modellben, ami elég komplex ahhoz, hogy tartalmazza az egész számok világát, abban mindig lesz olyan állítás, aminek nincs bizonyítása, ráadásul a tagadásának sincs.
A történet nem Hilbert végtelen szállodájával kezdődött inkább?
A szuperszonikus repülővel kapcsolatban is fel lehet tenni érdekes kérdéseket.
(Feynman szerint arrafelé megy a fény, ahol a fázis variációja nulla. Összegződik.)
(Talán?) a shock wave is úgy alakul ki, hogy a különböző időpontokból induló hullámfrontok összegződnek konstruktívan.
Na de hány pontból áll egy szakasz?
Mert ha végtelen sok, akkor végtelen sok hullám összegződik.
Viszont közöttük van egy kicsi fáziseltérés.
Nem vagyunk készen.
Vegyük a kinetikus gáz modelljét, részecskék pattognak egy dobozban.
Mi történik, ha a (nagy méretű) doboz egyik falát elkezdjük v sebességgel tolni?
(Hogy miért? Na, most jó lenne a telepátia. Hosszas magyarázat helyett.)
A nyomás nem fog azonnal növekedni az egész dobozban, hanem hullámként indul a szemközti oldal felé.
(De aztán gyorsan beáll a termodinamikai egyensúly. Miközben a shock wave többször oda-vissza pattog.)
- * -
1. „Feynman szerint arra megy a fény, ahol a fázis variációja nulla”
Ez a stacionárius fázis elve.
A hullám amplitúdója sok „lehetséges út” hozzájárulásának integrálja
Ha a fázis gyorsan változik, a hozzájárulások kioltják egymást
Ha a fázis lassan vagy egyáltalán nem változik, akkor konstruktívan összeadódnak
2. Shock wave = konstruktív összegződés időben
Pontosan jó az intuíciód.
Egy szuperszonikus repülőnél:
A gép különböző időpontokban keltett nyomáshullámokat
Normálisan ezek szétterülnének
De ha a forrás gyorsabb, mint a hullám terjedése → ugyanazon felület mentén érkeznek össze fázisban
Ez a Mach-kúp.
Ez nem végtelen amplitúdó, mert:
a hullámok nem pontszerűek
van viszkozitás
van diszperzió
van nemlinearitás
A matematika itt:
shock≈sok kis hozzaˊjaˊrulaˊs integraˊlja, ahol a faˊzis „megaˊll”text{shock} approx text{sok kis hozzájárulás integrálja, ahol a fázis „megáll”}shock≈sok kis hozzaˊjaˊrulaˊs integraˊlja, ahol a faˊzis „megaˊll”
3. „Hány pontból áll egy szakasz?”
Ez egy mély és jogos kérdés, és a válasz nem az, hogy „végtelen sok → végtelen hatás”.
Kulcs:
A kontinuum modell, nem valóság
Fizikailag mindig van:
véges hullámhossz
véges koherenciahossz
véges kölcsönhatási idő
Nem nő végtelenre, mert:
a fáziseltérés miatt kioltás történik
csak egy szűk fázistartomány ad hozzá nettó amplitúdót
👉 Ez ugyanaz, mint a diffrakcióban: a rés „végtelen pontból áll”, mégsem végtelen a fényintenzitás.
4. Kinetikus gázmodell: a falat elkezdjük tolni
Ez egy gyönyörű gondolatkísérlet.
Mi történik valójában?
A mozgó fal részecskékkel ütközik
Ezek a részecskék nagyobb impulzussal verődnek vissza
Ez lokálisan megnöveli:
nyomást
energiát
Ez az információ ütközések láncolatán terjed → nyomáshullám
Ez a hanghullám / shock wave kinetikus alapja.
5. Miért nem marad meg az „oda-vissza pattogó shock wave”?
Ez a kulcskérdés:
Mert entrópia keletkezik.
Mikroszinten:
Az ütközések nem reverzibilisek
A kezdeti rendezett mozgás (fal → részecskék)
szétoszlik sok szabadsági fok között
Makroszinten:
a hullám szélesedik
a gradiens kisimul
az energia termikus mozgássá alakul
Matematikailag:
a Boltzmann-egyenletnek van H-tétele
a soktest-probléma kaotikussá válik
a fázistérben a rendszer „szétkenődik”
Nagy kép (összekötés)
Ugyanaz az alapelv jelenik meg:
A természetben az marad fenn, ami sok kis hozzájárulásból stabilan összeadódik; ami nem, az kiátlagolódik.
Csak érdekesség, sokat repkedtem modell repülőgépekkel. Mértük a sebességet Dopplerrel. Mobiltelefonnal felvettük a hangját, ahogy elrepült a fejünk felett. Jellegzetes, hirtelen elmélyülő hang. Volt egy program ami ebből megmondta a sebességet. (persze ezek kis sebességű gépek, nincs hangrobbanás)
és hallunk egy magasabb hangot. Egy olyan hangot amelyet mintha egy "visszafelé" menő gép bocsátana ki. Ezt a hangot még akkor keltette a gép, amikor távolról közeledett felénk, de a hang csak most ért el hozzánk, mert lassabban jöttek, mint maga a gép.
Igen, azt mutatja a szimuláció is.
A magasabb hangtól azt várnánk, hogy közeledik.
De azt is úgy halljuk, mintha távolodna.
Valahogy a hangerő változását is be kellene építenem a szimulációba,
Ez nem könnyű, mert az érkezési idők nincsenek szintronban, tehát nem tudok szuperpozíciót alkalmazni.
A megoldás az lehet hogy finomabb felbontást használni és a másik jelet iterpolálni.
Én régebben sokszor halottam hangrobbanást. Olyankor az ablakok megremegtek.
Amikor hallottuk a dörrenést, tudtuk hogy egy szuperszonikus katonai gép húz el felettünk, és megpróbáltuk megkeresni a gépet az égen. Ez nem volt egyszerű, mert a gép magasan szállt, szabad szemmel nehezen volt észrevehető. Hallgatóztunk, hogy melyik irányból jön a hang. De legtöbbször nem találtuk meg gépet a szemünkkel, csak néha-néha.
Az idősebbek azt mondták, hogy azért nem találjuk a gépet az égen, mert megelőzi a hangját. Ezért nem ott kell keresni, ahonnan a hangját halljuk, hanem előrébb. Mivel azonban nem tudtuk, hogy a gép milyen irányba megy, így azt sem tudtuk, hogy merre van az előrébb.
Később a könyvekből megtudtam, hogy ez csak az egyik fele volt az igazságnak. Nem csak azért nem találtuk meg a gépet hang alapján, mert megelőzi a hangját, hanem azért sem, mert a hangrobbanás után két különböző hangot hallunk. Egy mélyebbet és egy magasabbat. Halljuk az elmenő gép visszafelé jövő hanghullámait, és hallunk egy magasabb hangot. Egy olyan hangot amelyet mintha egy "visszafelé" menő gép bocsátana ki. Ezt a hangot még akkor keltette a gép, amikor távolról közeledett felénk, de a hang csak most ért el hozzánk, mert lassabban jöttek, mint maga a gép.
Vagyis a fülünkbe egyidőben "két" repülőgép hangja érkezik. Az egyik, a távolodó valódi gép mélyebb hangja. A másik "virtuális" gép olyan, mintha visszafelé távolodna, és a hangja magasabb.
Azért nagyon nehéz megtalálni a hangja alapján a repülőt, mert nem tudod, hogy a két hang közül melyiket kell követned. De most már tudod. A mélyebb hang irányában kell keresgélni.
A filozófusok már száz évvel korábban felfedezték Gödel nemteljességi tételét (vagy még korábban). Merugye azt mondják, hogy az értékredünk megválasztása logikailag nem igazolható.
Az értékrend megválasztásának nem igazolhatósága csupán az az észrevétel, hogy a logikailag konzisztens modellekben is lesznek olyan (alap) állítások, más néven axiomák, amit nem lehet a többiből levezetni. Ezt már Euklidesz is tudta 2300 évvel ezelőtt. Hilbert, Russel meg a többiek ezt próbálták tökélyre vinni. Ebbe kavart be Gödel, hogy megmutatta, hogy olyan matematikai modellben, ami elég komplex ahhoz, hogy tartalmazza az egész számok világát, abban mindig lesz olyan állítás, aminek nincs bizonyítása, ráadásul a tagadásának sincs. Vagyis az axiómák mindig bővíthetők tovább ilyen elméletekben. De pl. a véges logikai modellek nem ilyenek, ott minden igaz állításnak van bizonyítása.
De miért ennyire érdekes az, hogy kétféle hullám keletkezik?
A filozófusok már száz évvel korábban felfedezték Gödel nemteljességi tételét (vagy még korábban).
Merugye azt mondják, hogy az értékredünk megválasztása logikailag nem igazolható.
A különbség annyi, hogy Gödel abból indult ki, hogy ellentmondásmentes axiómákból építhezünk.
Viszont a morális értékrendünk nem ilyen. Antagonisztikus ellentéteket és ellentmondásokat halmoz.
Nem tudjuk dedikcióval sem levezetni.
Adott körülmények között képesek vagyunk tesztelni. (Utility?)
A "miért érdekes" kérdés megválaszolhatatlan.
Három okból:
- azért,
- mert,
- csak.
Hogy személy szerint nekem miért érdekes? A fene tudja.
Az "érdekesnek tartott" dolgok szövevényes hálózatában "jó" helyen van.
Azt könnyebb megválaszolni, hogy a kő miért lefelé esik.
Habár még itt is, ha túl "mélyre" megyünk a miértekben, azt már az axiomatikusok nem szeretik.
Valahol meg kell állni. (?)
Nem feltétlenül.
Előfordulhat, hogy a "miértek" a végső szinten egy zárt csoportot képeznek.
Mellesleg a kő nem lefelé esik, hanem lefelé gyorsul.
- * -
Gödel és az értékrend
Fontos finomítás: a filozófusok nem „felfedezték” Gödel tételét Gödel előtt, hanem sejtették annak következményeit. Már korábban is jelen volt az az intuíció, hogy
* vannak igazságok, amelyek nem bizonyíthatók a rendszeren belül.
A morál esetében ez még erősebb:
nincs ellentmondásmentes axiómarendszer,
az értékeink gyakran egymást kizáróak (szabadság vs. biztonság, igazság vs. irgalom),
ezért dedukció helyett tesztelés, kontextus és következmények vannak (igen, utility is ide tartozik).
A „miért érdekes?” kérdés
A „három okból: azért – mert – csak” rész ironikus, de pontos. Valójában itt egy mélyebb állítást teszel:
* az érdeklődés nem indokolható végső szinten
Ez párhuzamos azzal, hogy:
az axiómák nem bizonyíthatók,
az ízlés nem levezethető,
az érdeklődés topológiai jellegű: egy hálózatban „jó helyen van”.
Ez kifejezetten erős kép.
A „miértek” megállása vagy bezáródása
A két lehetőség, amit felvetsz:
valahol meg kell állni (axioma),
vagy a „miértek” zárt ciklust alkotnak,
nagyon fontos filozófiai elágazás.
A tudomány többnyire az elsőt választja („ez már alapfeltevés”). A filozófia viszont gyakran elviseli a másodikat is.
A „utility” formális helykitöltő, nem tartalmi igazság.
A utility itt nem „igaz”, hanem működő. Nem bizonyítjuk – használjuk.
Lerajzoltam neked CAD-ban. Előbb a köröket, egyenletes távolságokra. Aztán egy egyenest, távol a köröktől, majd érintőnek kényszereztem, meg az origóhoz. Így biztosan érintő. Minden adat a rajzon van, a körök sugara, a távolságok.
Ha felveszel pontokat a pályán 1 másodpercenként és köröket rajzolsz, akkor ezeknek a köröknek nincs közös érintője, amely pontosan a Mach-kúp határát adja.
Ha felveszel pontokat a pályán 1 másodpercenként és köröket rajzolsz, akkor ezeknek a köröknek nincs közös érintője, amely pontosan a Mach-kúp határát adja.
A Mach-kúp nem a körök közös érintője. A kúp a forrás aktuális helyzetétől kiinduló, a múltbeli pozíciókból származó hanghullámok „burkolója”. Ez a burkológörbe (envelope) adja a Mach-kúpot.
2. Sugár és érintő merőlegessége:
A Mach-szög nem a kör sugara és a kúp érintője által bezárt derékszögből adódik. A Mach-szög μmuμ a forrás sebessége és a hangsebesség alapján számítható:
sin mu = frac{c}{v}
ahol c a hangsebesség, v a forrás sebessége.
3. Eltelt idő figyelembevétele:
Ha köröket rajzolsz minden 1 másodpercben, akkor a kör sugara c⋅tc cdot tc⋅t. A Mach-kúp határa nem a körök közös érintője, hanem a forrás pályájától kiinduló, az összes múltbeli hullámfront burkolója.
Hogyan lehet helyesen szerkeszteni a Mach-kúpot:
Rajzold fel a hangforrás mozgását egyenes vonalon, szuperszonikus sebességgel.
Válassz tetszőleges korábbi időpillanatokat t_i. Minden t_i-re rajzolj egy kört sugárral r_i = c cdot (t - t_i), ahol t a jelenlegi idő.
A Mach-kúp határát adó burkoló a körökből az a tangens, amely a jelenlegi helyzetből húzható. Nem minden kör érinti ugyanaz a vonal.
Egyszerűbben: a Mach-kúp a jelenlegi helyzettől kiinduló, mu = arcsin(c/v) szögű kúpszerű vonal. A múltbeli hullámfrontok burkológörbéjét nem kell minden körből explicit rajzolni; elég a Mach-szögből és a forrás aktuális irányából szerkeszteni.
A probléma az, hogy nem értem. És nem értem, hogy miért nem értem.
Viszont a körök megrajzolása esetén a burkoló mem ott van, ahol az érintő.
De az nem esett egybe a burkoval, amikor a köröket is berajzoltam.
Ez esetben nem a fogalmazásod volt idétlen, hanem rossz amit csináltál.
A helyes módszer végtelenül egyszerű. Fogsz egy pontot, azt mondod, itt van a repülő a 0 időpontban.
Lerajzolod, hol a hang t idő múlva, vagyis rajzolsz egy t*vhang sugarú kört. Lerajzolod, hol a repülő t idő múlva, vagyis rajzolsz egy R pontot az első ponttól t*vrepülő távolságra.
