Közben kiderült, hogy már éppen nem eleme N-nek, és így R-nek sem. (félrevezetett a wiki... bár van, hogy kiterjesztik ezeket egy végtelen elemmel... szóval kétes volt ez a dolog...)
Feloldódik a kétséged. De amúgy, ha egy végtelen elemként omegát bele is tesszük (kiterjesztjük N-et, és így egyúttal N⊂R-et), akkor ezzel az elemmel definiálhatom úgy az x/ω hányadost, ahogy kívánom, és ahogy tettem.
Félreértelmezel. Nem a rendszámokon lovagolok teljesen. Azzal csupán csak megfogalmazom matematikailag, hogy egy transzfinit nagy számmal osztok. Nyilván erre van szükség, hogy infinitezimálisan kicsiny mennyiségekhez jussak. Szóval nyilván így fogom megfogalmazniva definíciót.
Az N természetes számok megszámlálhatóak, halmazt alkotnak, jól rendezettek. Az omega rendszámok egy része (a még megszámlálható jólrendezett halmazokig) azonosítható N elemeivel. ω∈N∈R Az R halmazon értelmezett az osztás művelete. Akkor nem lehet gond az x/ω kifejezéssel x∈R
"Hanem azzal, hogy létező, megalapozott elemeket hibásan használsz fel."
#Hasraütésre teszed ezeket az állításaidat, mert ezt akarod mondani.
"Olyan tulajdonságokkal rendelkező omega-t használtál, ami nem létezik."
#Itt azt állítod, hogy a matematikában nincs az az omega, ami ott van benne, és szó van róla. Nem is ismered a tulajdonságait. Akkor meg ne állítgass ilyeneket. Azt az érzetet kelted, mintha kompetens lennél a témához, pedig nem.
Ebben a hozzászólásodban tökéletesen igazoltál engem.
1/(n+1)
Én azt látom, hogy n tart omegához, (a természetes számok halmaza tartalmazza omegát) és így végül azt kapod, hogy 1/omega, és nálad epszilon egy nulla és 1/omega közötti nem nulla mennyiség.
Én az 1 helyére írtam egy x valós számot. Ha az 1-et el lehet osztani a minden határon túli (n+1)-el, akkor amit én egyből és egyszerűen felírtam: x/omega, az is ok.
Amennyire emlékszem, az alapgondolat a következő: van egy axiómarendszered (pl. a valós számok testének axiómarendszere), ebben lehetnek olyan, az alaphalmaz egy elemére vonatkozó állítássorozatok (jelöljünk egy ilyet mondjuk úgy, hogy {Sn(x)}n∈ℕ), amelyek bármely véges S0(x),...,Sn(x) részsorozatára lehet olyan x elemet találni, amelyik kielégíti az 1...n-ig az összes állítást egyszerre. Például az An(x) := (0 < x < 1/(n+1)), az éppen ilyen tulajdonságú lesz, a valós számok archimédeszi axiómája miatt. Viszont nincs olyan x∈ℝ, amire az összes (végtelen sok) An(x)-et egyszerre teljesülne. Az NSA alaptétele - biztos van neki rendes neve, csak nem emlékszem, hogy mi -, az úgy szól, hogy van az ℝ-nek olyan ℝ' kiterjesztése, hogy abban bármely, a fentebb leírt tulajdonsággal rendelkező állítássorozathoz lesz univerzális elem, formálisan ∃x∈ℝ'∀n∈ℕ Sn(x) igaz . Pl. a konkrét példában, lesz olyan 0<𝜀∈ℝ', hogy minden n∈ℕ-re 𝜀<1/(n+1) - vagyis 𝜀 egy infinitezimálisan kicsi elem (egyébként a sok közül). És az NSA-ban tényleg úgy definiálódik a differenciálhányados, ahogy azt naívan szeretnénk csinálni, emiatt minden f:ℝ->ℝ függvénynek lesz deriváltja. A nehézség oda tevődik át, hogy hogyan bizonyítod, hogy df/dx az független a dx mint infinitezimális megválasztásától, és valós x-ekre az f'(x) még mindig valós marad. Azt hiszem, pl. ott ahol f nem diffható, ott f'(x) ∈ℝ'ℝ.
De kéretik fenntartásokkal fogadni, amit írtam, mint említettem, 25 éve volt, amikor én ezt tanultam.
Annyi értelme volt - önző szempontból legalábbis - az elmúlt napok komment-viharának, hogy egy kicsit belenéztem az ordinális számok világába. Igen, az algebrájuk valóban érdekesebb, mint amit a számosságok tudnak, ez nekem is újdonság volt. Még az egész osztás általánosítása is megvan benne, azaz x és y =/= 0 ordinálisokhoz létezik egyetlen olyan q és r<y ordinális, hogy x = q*y +r. A q-t vehetjük az x/y kifejezésnek, ha x és y ordinálisok. Csakhogy ez két okból sem működik a te "definíciódra": 1. te ugye valós számokat akarsz elosztani egy transzfinit ordinálissal. Csakhogy a valós számok nem ordinálisak, legfeljebb egy elég szűk részhalmaza az (ezek a természetes számok). De az analízisben bizony az összes valós számra szükségünk van, tehát az ordinális osztás műveletét ki kellene tudni terjeszteni ezekre. De ez még a negatív számokra sem tűnik természetesen módon megoldhatónak, nem hogy a törtekre vagy a valósakra. 2. Felejtsük el egy pillanatra az osztás kiterjeszthetetlenségének a problémáját, és nézzük meg, hogy mit ad az x/ω, ha x természetes szám. x=qω+r egyenletnek megoldása q=0 és r=x, azaz x/ω = 0. Vagyis nagy ajjal-bajjal sikerült a nullát az infinitezimálisan kicsiként definiálnod.
Belekukkantottam a könyvbe, és döbbenten láttam, hogy a monád fogalmát csak használja, de nem definiálja sehol. Aztán rájöttem, hogy csak a ctrl+F nem működik jól a dőlt betűs szövegeken. "monád" helyett "mondá"-t kell beírni a kereső mezőbe :)
Én - vagy negyed százada - vizsgáztam is Csirmaz tanár úrnál ebből a témából. Nézett is nagy szemekkel, hogy minek veszkődik egy fizikus a modellelmélettel... Annak idején nem volt még nyomtatott jegyzet, de amit Csirmaz elmondott előadáson, abból én elég jól meg tudtam érteni az NSA-t.
Tök jó! Nem hittem, hogy magyarul is létezik könyv a témáról. Mivel nem voltál túlságosan bőbeszédű, ideírom, hogy miféle Csitmaz-könyv ez: Csirmaz László - Nemsztenderd analízis. Le is lehet tölteni pdf-ben. Nekem az angol nyelvű Nonstandard Analysis in practice van meg, de az rendes papír kiadásban.
Idézek Csirmaz László könyvének bevezetőjéből. Passzol a témához, sok szálon is. Néhány ide illő részt én emeltem ki.
Bevezetés A nemsztenderd analízis LI végtelen kicsi és végtelen nagy mennyiségek matematikai elmélete. A differenciál- és integrálszámítás felfedezése idején az infinitezimális. vagyis végtelenül kicsiny mennyiségek jelentős szerepet játszottak, elsősorban Isaac Newton (1642-1727) fiuxiós módszerében. Az ilyen ideális mennyiségekkel való számolás problémáit hamar felismerték: a differenciálhányados kiszámításakor a d.x mennyiséggel egy ideig mint nem nulla értékkel számolunk, azután hirtelen ráfogjuk, hogy nulla. A kalkulus rnásik felfedezője, Gottfried Wtlhelm Leibniz (1646-1716), a helyzet tisztázására programot hirdetett meg, melynek célja a számfogalom olyan kiterjesztése volt, amelybe a végtelen kicsi és a végtelen nagy számok egyaránt beleférnek. Ezt az elképzelést a képzetes számok sikeres bevezetése motiválta, amiket a harmadfokú egyenletek képlettel való megoldásakor adódó nehézségek megkerülésére találtak ki. Leibniz és követői végül is nem jártak sikerrel, és a múlt század végétől a „végtelen kicsi" csak illusztráció, a bizonyítások mind Bernhard Bolzano (1781-1848) és Kari Weiei:?rrasí> (1815-1897) nevével fémjelzett „epszilon-deltás" határérték fogalmát használják. Századunk második felére a matematikai logika apparátusa megerősödött, és ezzel a Leibniz által kitűzött cél már elérhetőnek látszott. Különböző kezdeti próbálkozások után a valós számkör végtelen kicsi és végtelen nagy mennyiségekkel való konzisztens kiterjesztése végül is Ábrahám Robinsonnak (1918-1974) sikerült. Első, e témával foglalkozó Non-standard Analysis című dolgozata 1961-ben jelent meg
Egy helyes matematikai konstrukcióba nem lehet eredményesen belekötni. Pont ez a lényeg.
amiket igazából nem is én találtam ki, hanem ott vannak a matematikában, könyvekben elméletekben, levezetésekben, stb. Használt elemek, fogod?
Nem is ezekkel van a probléma. Hanem azzal, hogy létező, megalapozott elemekeket hibásan használsz fel.
A tipikus példa az a vita, amit NevemTeve-vel több körben futottál le. Olyan tulajdonságokkal rendelkező omega-t használtál, ami nem létezik. A "definiálom, ettől kezdve létezik" nem vezethet önellentmondásra. Ha arra vezet, akkor nem jó a definíció, nem építhető rá semmi.
Az sem hitelesíti a hibás módszert, ha valamilyen egyébként helyes állítás bizonyítására használod.
Itt pl. a nemsztenderd analízis "végtelen kicsi" fogalmát próbálod felépíteni. Tudod, hogy nem hülyeség a fogalom, felépítették, sok matematikus ellenőrizte, nem találtak hibát.
Ez azonban nem jelenti azt, hogy egy hibával terhelt konstrukció is jó, mert hasonló tulajdonságú "végtelen kicsi" a célkitűzése.
Newtonnak, Leibniz-nek is volt elképzelése egy ilyen "végtelen kicsi" fogalomról, tudták, hogy nincs pontosan megalapozva, és fel is akarták építeni. Csak egyiküknek sem sikerült.
Annyi különbség van, hogy ők ezt pontosan tudták. Te meg azt gondoltad, hogy megtetted, amit "felépítettél", az egy jó és létező dolog, amiket felhasználtál, azok is, és ha van is egy-két homályos pont az építkezésed logikájában, az nem fontos. Csak kekeckedés ezeket feszegetni, csak rosszindulatú emberek akarnak téged lejáratni. Olyannyira, hogy valamiféle összeesküvést feltételeztél egymást nem ismerő, nagyon különböző matematikai tudásszintű emberek részéről, csak azért, mert észrevettek valami hibát.
Mit szólsz például ahhoz a számtesthez, amely a 0,1,2,3,4 számokból áll (az összeget és szorzatot modulo 5 kell venni, pl. 1+4=0, 2+3=0, 1*1=1, 2*3=1, 4*4=1).
Az a baj, hogy te direkt belekötsz mindenbe, hogy alááss, de érteni semmiképpen nem is szeretnél. Nem az a célod, hanem az alázás.
A másik meg, hogy olyan dolgokat nézel hülyeségeknek, amiket igazából nem is én találtam ki, hanem ott vannak a matematikában, könyvekben elméletekben, levezetésekben, stb. Használt elemek, fogod? Az, hogy én próbálok értelmesen összeállïtani rá egy jó definíciót, az már csak hab a tortán. Vágod?
Olyan modell is van, és használt, amiben R' -beli elemek szorzata nem nullába visz, hanem eggyel lejjebb R'' -be. És nem hagyjuk el ezeket a tagokat, hanem kalkulálunk velük. De mivel másodrenűen kicsinyek, jól indokolt esetben elhagyandók. Más esetben pedig éppen nem.
Erre is van példa több könyvben, pl. Lanau II, Novobátzky konyv.
Mintha ω mibenléte is képlékeny lenne a vita során.
Szám, ami része a valós számok halmazának? Vagy számosság? Esetleg Szabikunál ez ugyanaz?
Esetleg független létező, ami a definíció erejénél fogva megjelenik? Fő tulajdonságai hogy nagy és lehet vele osztani. osztással generálja az infinitezimálist, majd el is felejthetjük, mert csak a termék számít (így aztán nem is érdemes feszegetni a mibenlétét)?
Esetleg legyen ordinal, mert azt kevesen ismerik, és nem valószínű, hogy csak ezért megtanulják? :-)
Lassan ott tartok, hogy egyszerűsítsünk d-vel, aztán annyi.
Az R' halmazon belül csak az összeadás és kivonás művelete van szokványos módon. A szorzás nullába visz csak, ezért nincs inverz elem. Az osztás pedig visszaképez R-be. R valós számmal való szorzás, osztás az összeadás, kivonás műveletéből adódóan értelmezett, valamint van ellentett képzés is, tehát negatív elem.
Ezt írtad: "R a valós számok halmaza tartalmazza az előbbi halmazt"
(nem hiszem, hogy így van, de ez mindegy, te írtad)
A valósakra meg már korábban letárgyaltátok Tevével, hogy nem működik a definíciód, mert nem létezik olyan omega, amire szükséged lenne. Vagy most megint létezik?
Te nem fogod fel, hogy szerepelnek a könyvekben azok az infinitezimálisok, levezetnek vele, meg minden, jól működnek. Márcsak ebből adódóan is létezik jó definíciója. De te továbbra is csak dumálsz, mert nem tudod kimutatni, hogy matematikailag hibás lenne a 45-ben tett definícióm a d.. -s infinitezimálisokra.
